帶有臨界項(xiàng)的薛定諤-泊松系統(tǒng)的基態(tài)解

董思雨,馮曉晶

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山西 太原 030006)

1 引言及主要結(jié)論

薛定諤-泊松系統(tǒng)作為描述帶電粒子和電磁場(chǎng)相互作用的孤波模型, 在量子力學(xué)和半導(dǎo)體理論中應(yīng)用廣泛[1-3]。文獻(xiàn)[1-2]研究了薛定諤-麥克斯韋方程, 文獻(xiàn)[3]研究了模擬電磁波在等離子體中傳播的薛定諤方程。 近年來(lái), 許多數(shù)學(xué)家研究了如下薛定諤-泊松系統(tǒng)

(1)

解的存在性和多重性, 其中V、K、f是連續(xù)函數(shù)。此后,學(xué)者們對(duì)系統(tǒng)(1)在V、K、f的不同假設(shè)下展開深入研究[4-7]。 當(dāng)f是周期漸近線性函數(shù)且滿足單調(diào)性條件,文獻(xiàn)[4]運(yùn)用Nehari流形方法獲得系統(tǒng)(1)基態(tài)解的存在性, 且當(dāng)f具奇性時(shí), 得到了系統(tǒng)(1)無(wú)窮多幾何不同解的存在性。文獻(xiàn)[5]討論了V為徑向函數(shù)且f滿足超線性增長(zhǎng)條件時(shí), 系統(tǒng)(1)存在無(wú)窮多解。當(dāng)V(x)≡1,f(t)=|t|p-1t(1

近幾年, 臨界薛定諤-泊松系統(tǒng)相關(guān)研究備受關(guān)注。帶有臨界非線性項(xiàng)的薛定諤-泊松系統(tǒng)得到廣泛研究[7-10]。文獻(xiàn)[8]研究了系統(tǒng)

(2)

基態(tài)解的存在性, 在V,K的特定假設(shè)下,利用變分方法證明了式(2)至少存在一個(gè)正的基態(tài)解。 在f(x,u)=λf(x)u+|u|4u時(shí), 文獻(xiàn)[9]通過(guò)變分方法得到式(2)至少存在一個(gè)基態(tài)變號(hào)解且證明了其能量是基態(tài)解能量的2倍。 在f(x,u)=u5時(shí),文獻(xiàn)[10]利用環(huán)繞引理研究了高能量解的存在性。 帶有臨界非局部項(xiàng)的薛定諤-泊松系統(tǒng)也得到廣泛研究[11-12]。文獻(xiàn)[11]研究了如下帶有非局部項(xiàng)的薛定諤-泊松系統(tǒng)

(3)

通過(guò)運(yùn)用山路定理和集中緊性原理得到了系統(tǒng)(4)正解的存在性。

設(shè)E:={h∈L∞(R3):|{x∈R3:|h(x)|≥ε}|<∞,?ε>0}。 本文研究如下帶有雙臨界項(xiàng)的薛定諤-泊松系統(tǒng)

(4)

基態(tài)解的存在性, 其中V∈C(R3)和f∈C(R3×R,R)是漸近周期函數(shù)。假設(shè):

H2) ?Vp∈L∞(R3), 關(guān)于xi(i=1,2,3)是1-周期的, 使得對(duì)于一致的x∈R3, 有V-Vp∈E, 且V(x)≤Vp(x)。

S1) ?q∈(4,6), 使得?(x,t)∈R3×R, 有|f(x,t)|≤C(1+|t|q-1),其中C>0。

S6)fp∈C(R3×R,R), 關(guān)于xi(i=1,2,3)是1-周期的, 使得?(x,t)∈R3×R, 有

ⅰ) |fp(x,t)|≤|f(x,t)|;

ⅱ) |fp(x,t)|-|f(x,t)|≤|h(x)|(|t|+|t|q-1),h∈E;

ⅳ) ?(x,t)∈R3×R, 都有fp(x,t)t≥0。

主要定理如下:

定理1 假設(shè)H1)～H2)及S1)～S6)成立, 系統(tǒng)(4)至少存在一個(gè)基態(tài)解。

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)

命題1[12]下列性質(zhì)成立:

(5)

容易驗(yàn)證系統(tǒng)(4)的弱解是下面能量泛函的臨界點(diǎn)。

3 定理的證明

為了證明主要結(jié)果,首先給出以下引理。

證明 (ⅰ) 當(dāng)t>0, 令g(t):=I(tu), 又g′(t)=〈I′(tu),u〉=0?tu∈N。

ⅲ) 根據(jù)S1)和S2), ?ε>0, ?Cε>0, 使得對(duì)一切(x,t)∈R3×R, 有

(6)

由ⅰ)知, 當(dāng)u∈S1, ?tu>0, 使得tuu∈N。 故當(dāng)ε>0足夠小時(shí), 由式(6)得

M|u|μ-L|u|2≤F(x,u)

(7)

因此,

又由S3), 有

得出矛盾。 因而?Cw>0,使得tu≤Cw。

ⅲ) 當(dāng)ρ>0充分小時(shí), ?u∈Sρ, 有

顯然,?u∈N, ?t1>0, 使得t1u∈Sρ。 因此由引理1中ⅰ)得

(8)

引理2I在N上強(qiáng)制。

證明

即當(dāng)u∈N且‖u‖→∞, 有I(u)→∞。

定義uε(x)=η(x)Uε(x), 當(dāng)ε→0+, 有

(9)

(10)

其中Ks(2≤s<6)是正常數(shù)。

從而根據(jù)引理4和式(10), 當(dāng)ε>0足夠小時(shí),有

引理7[16]ⅰ) 若{wn}是Ψ的1個(gè) (PS) 序列, 則 {m(wn)} 是I的1個(gè) (PS)序列。 若 {un} 是I的1個(gè)(PS)序列, 則 {m-1(un)} 是Ψ的1個(gè) (PS) 序列。

ⅲ) 在N上I的極小值點(diǎn)是系統(tǒng)(4)的基態(tài)解。

定理1的證明 根據(jù)引理7中ⅲ), 只需證c即可。

若u≠0，則u∈N且c≤I(u).根據(jù)范數(shù)的弱下半連續(xù),Fatou引理及S3)可得

即I(u)=c。即證。

若u=0，由集中緊性原理[18]得知只有如下2種情況:

ⅱ) 非消失, 即?R>0, 使得

(11)

如果情況(ⅰ)出現(xiàn), 根據(jù)文獻(xiàn)[19]中的引理3.8, 在Ls(R3)(2

(12)

則有

(13)

下證Ip(v)=c。先證Ip(v)≤c。事實(shí)上,根據(jù){un}的有界性和引理8有

因此有

綜上, 由引理7的ⅲ)得系統(tǒng)(4)基態(tài)解的存在性。

4 結(jié) 語(yǔ)

應(yīng)用集中緊性原理和Nehari流形的方法獲得系統(tǒng)基態(tài)解的存在性。由于系統(tǒng)含有位勢(shì)函數(shù)和非線性項(xiàng), 需通過(guò)應(yīng)用周期函數(shù)逼近和增長(zhǎng)性條件的方法獲得臨界值的存在性;由于系統(tǒng)具有雙臨界項(xiàng), 缺乏緊性, 需應(yīng)用集中緊性原理獲得基態(tài)解的存在性。