淺析函數(shù)型綜合題的解題策略

黃江泉

【摘要】函數(shù)型綜合題是各地中考試題中最基本、最常見(jiàn)的綜合題，它不僅是知識(shí)的綜合，一道題目中往往綜合考查函數(shù)、幾何等知識(shí)，而且是方法的綜合，同一道題目往往綜合考查初中數(shù)學(xué)的各種方法。函數(shù)型中考綜合題的常見(jiàn)解題策略有巧妙轉(zhuǎn)化、合理分類(lèi)、數(shù)形結(jié)合、方程為橋等。

【關(guān)鍵詞】函數(shù);綜合題;解題策略

函數(shù)型綜合題是各地中考試題中最基本、最常見(jiàn)的綜合題，它不僅是知識(shí)的綜合，一道題目中往往綜合考查函數(shù)、幾何等知識(shí)，而且是方法的綜合，同一道題目往往綜合考查初中數(shù)學(xué)的各種方法。因此，探索函數(shù)型綜合題的解題策略，對(duì)提高學(xué)生的綜合解題能力和義務(wù)教育質(zhì)量有著十分重要的意義。

下面結(jié)合近年各地中考，具體分析函數(shù)型綜合題的基本解題策略。

一、巧妙轉(zhuǎn)化，化難為易

轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)最基本的思想，復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化，陌生問(wèn)題向熟悉問(wèn)題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)解題的基本策略和方法。函數(shù)型綜合題的解題策略更是如此，不僅要善于把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，如面積最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為底邊（即線段）的最大值問(wèn)題，周長(zhǎng)最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最短路程，全等或相似問(wèn)題轉(zhuǎn)化為角的相等問(wèn)題進(jìn)而轉(zhuǎn)化為邊的比問(wèn)題等;而且要善于把方法轉(zhuǎn)化，如把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度，再把線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為方程，這些都是解決函數(shù)型綜合題的基本方法。

例1（2015廣西貴港）：如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn) 和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為.

（1）求拋物線的解析式并寫(xiě)出其頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）若動(dòng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)的拋物線上，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)稱軸上：

①當(dāng)，且時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

②當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

思路分析：?jiǎn)栴}②的基本思路是把求四邊形面積的最大值轉(zhuǎn)化為求一條線段的最大值，即過(guò)作軸的平行線與相交所得線段的最大值即可。

例2（2016廣西貴港）：如圖2，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（1）求該拋物線的解析式.

（2）若點(diǎn)為軸下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路分析：?jiǎn)栴}（3）的基本思路是把角相等的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段的比，即過(guò)作于，過(guò)作軸于，要使，只需要引入點(diǎn)坐標(biāo)并轉(zhuǎn)化為相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入，即可把問(wèn)題解決。

例3（2017江蘇鹽城改編）：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn).

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）點(diǎn)為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)：

①連接、，設(shè)直線交線段于點(diǎn)，△CDE的面積為，△BCE的面積為，求的最大值.

②拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的橫坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路分析：?jiǎn)栴}（2）①中，△CDE和△BCE是等高三角形，因而首先要把面積比轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)底邊的比，即，觀察發(fā)現(xiàn)，過(guò)作軸的平行線交于，則為定值，故想到過(guò)作軸的平行線交于，則;于是，求的最大值就轉(zhuǎn)化成了求DM的最大值了，這就是我們比較熟悉的問(wèn)題了。

在（2）②中，要使得，過(guò)作軸的平行線交拋物線于，則，故只要，就有.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，問(wèn)題即可解決。

解題中，能否一步步實(shí)現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)化，就是解題的突破口和關(guān)鍵了。

二、合理分類(lèi)，逐一擊破

分類(lèi)討論思想也是初中數(shù)學(xué)最重要的思想，很多問(wèn)題都同時(shí)存在多個(gè)不同的情況，這個(gè)時(shí)候就要對(duì)各種情況進(jìn)行分類(lèi)并逐類(lèi)解決，才能得出問(wèn)題的全部結(jié)果。很多函數(shù)型綜合題都包含多個(gè)未知情況，因此，分類(lèi)討論是解決函數(shù)型綜合題的關(guān)鍵。

如例3中，“△BCD是直角三角形”就有三種情況：或或，只有進(jìn)行分類(lèi)討論、排除，才能得出正確、完整的答案。

例4（2018廣西貴港）：如圖4，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn).

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

（2）若是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接.

①求線段的最大值.

②當(dāng)△PCM是以為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

思路分析：?jiǎn)栴}（2）②中，“△PCM是以為一腰的等腰三角形”包含了兩種情況：和，如果不進(jìn)行分類(lèi)討論，就無(wú)法得出結(jié)果。

例5（2019廣西貴港）：如圖5，已知拋物線的頂點(diǎn)為，與軸相交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

（1）求拋物線的表達(dá)式.

（2）寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)并求直線的表達(dá)式.

（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)、分別在拋物線和對(duì)稱軸上，當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求、兩點(diǎn)的坐標(biāo).

思路分析：?jiǎn)栴}（3）中，“以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形”也有兩種可能：是平行四邊形的一條邊和是平行四邊形的對(duì)角線，必須進(jìn)行分類(lèi)討論。

三、數(shù)形結(jié)合，避繁就簡(jiǎn)

數(shù)形結(jié)合是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，把圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系或者把數(shù)量關(guān)系用圖形的性質(zhì)來(lái)表示，使問(wèn)題更簡(jiǎn)單更直觀，以利于問(wèn)題的解決。數(shù)形結(jié)合往往可以將問(wèn)題簡(jiǎn)單化，因而是解決函數(shù)型綜合題的重要橋梁。

如例2中，在求的長(zhǎng)度時(shí)，充分運(yùn)用圖中隱含的等腰直角三角形的性質(zhì)就比較簡(jiǎn)單。

例4中，在求的長(zhǎng)度時(shí)，固然可以用代數(shù)方法解決：先設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，然后求出的解析式，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出。但充分利用圖中的幾何性質(zhì)，問(wèn)題就會(huì)更簡(jiǎn)單。事實(shí)上，△BOC是等腰直角三角形，因而，而，這樣求就更簡(jiǎn)單了。

例5中，當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí)有，但如果直接用這個(gè)條件列方程解決，問(wèn)題就比較復(fù)雜;而充分利用圖形平移的性質(zhì)來(lái)考慮，點(diǎn)向左平移2個(gè)單位、向下平移4個(gè)單位得到，同樣，點(diǎn)向左平移2個(gè)單位、向下平移4個(gè)單位得到，即，，這樣問(wèn)題就簡(jiǎn)單了。

例6（2013四川）：如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、在軸上，點(diǎn)、在軸上，且，，拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)，直線與拋物線交于另一點(diǎn).

（1）求這條拋物線的解析式.

（2）為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路分析：?jiǎn)栴}（2）中，充分運(yùn)用特殊圖形的性質(zhì)，問(wèn)題也異常簡(jiǎn)單。先分類(lèi)，當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)與軸交于，則△AOF為等腰直角三角形，故點(diǎn)坐標(biāo)為，的解析式為，聯(lián)合方程組即可求得點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，則，此時(shí)只能與重合;當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，很容易看出也只能與重合。

【參考文獻(xiàn)】

馮璽.挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì) 凸顯育人價(jià)值——對(duì)近年寧夏中考試卷中二次函數(shù)綜合題的幾點(diǎn)思考[J] .初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（16）：34-36.

余麗，朱昌寶.中考二次函數(shù)綜合題賞析[J] .數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2007（11）：28-30.