面向軟體多指手的指尖接觸力學建模①

陳凌峰 張亞琪 馬小龍 蔡世波 鮑官軍

(浙江工業(yè)大學機械工程學院 杭州 310023)

0 引 言

近年來，軟體機器人成為熱門的研究方向[1]，使用軟材料制成的軟體機械手也引起了國內(nèi)外研究學者的廣泛關(guān)注和研究[2-6]。以軟材料代替剛性材料為解決剛性機械手環(huán)境適應性差、交互安全性差等問題提供了新的思路。從生物學角度來看，各種軟組織是生物體中不可或缺的組成部分。柔軟的組織使生物具有極強的環(huán)境適應能力，而且在運動時具有極好的動態(tài)特性[7,8]。于是研究學者從仿生學得到靈感，使用軟材料來設計和制造軟體手，充分發(fā)揮軟材料固有的柔順性以及粘彈性和遲滯性等特性，使之具有與生物體相媲美的適應性和靈活性以及交互安全性。因此，軟體機械手所具有的復雜環(huán)境適應性、交互安全性等性能優(yōu)勢將使其在社會生產(chǎn)和生活的諸多方面發(fā)揮重要作用。

軟體多指手在本體結(jié)構(gòu)上，尤其是材料的柔性上和人手類似，但是要使軟體多指手像人手一樣靈活，還需要相應的控制理論和方法。目前的軟體多指手研究多數(shù)停留在開環(huán)抓取研究，僅文獻[9]通過位姿解算實現(xiàn)了對目標物體表面形貌的間接感知。傳統(tǒng)的機器人多指靈巧手以剛性的關(guān)節(jié)型機械結(jié)構(gòu)為主，已經(jīng)形成了較為成熟的理論和方法，例如目標物體聚類分析、抓持位形規(guī)劃、抓持觸點規(guī)劃、抓持力分配、手指關(guān)節(jié)力分配、物體操控等。這些理論方法中，目標物體聚類分析、抓持位形規(guī)劃、抓持觸點規(guī)劃不牽涉到具體的多指手結(jié)構(gòu)和參數(shù)，同樣適用于軟體機械手。然而，由于結(jié)構(gòu)原理的差異，基于傳統(tǒng)剛性關(guān)節(jié)型機器人理論的剛性機械手的抓持力控制和目標物體操控方法并不適用于軟體結(jié)構(gòu)的多指靈巧手。文獻分析表明，針對軟體多指手的目標物體抓持過程交互作用機理、抓持規(guī)劃理論等方面的研究尚未開展。

手指與目標物體的作用機理和數(shù)學模型是進行多指靈巧手抓持規(guī)劃的力學基礎，軟體多指手由于其特殊的手指材料和結(jié)構(gòu)，不能直接借用剛性手指的無摩擦點接觸或有摩擦點接觸模型[10]，為數(shù)不多的軟指接觸模型[11,12]也只是在有摩擦點接觸模型的基礎上增加了摩擦力矩項，依然是針對剛性結(jié)構(gòu)的多指靈巧手。所以，研究軟指尖接觸力模型等針對軟體多指手與目標物體的作用機理，并建立數(shù)學模型對軟體手的控制和抓持規(guī)劃具有重要意義。

軟指接觸力在抓持穩(wěn)定性以及安全性和操縱過程的處理中起著重要作用。抓取力的估計需要知道接觸特性，包括法向接觸力和接觸面積之間的關(guān)系，以及手指-物體界面處的壓力分布情況。Xydas等人[13,14]開發(fā)了一個有限元模型，對半球形軟指尖進行了有限元分析，并與實驗結(jié)果進行了比較，以進一步了解軟指接觸行為。基于非線性彈性有限元建模，他們研究了具有非線性大變形的軟指接觸。有限元方法可以觀察諸如手指接觸區(qū)域內(nèi)的接觸壓力和非線性的力-位移關(guān)系等的參數(shù)。Kao等人[15]實驗證明由變形引起的彈性力與指尖的位移呈冪律關(guān)系，并且認為他們的理論包含了赫茲接觸。然而，這些研究沒有區(qū)分軟指尖的材料非線性和由指尖的半球形引起的幾何非線性，并且只定義了一個同時包含2個非線性效果的參數(shù)。因此，難以找出基于模型的模擬結(jié)果與實際實驗結(jié)果之間的差異原因。由于他們提出的模型的復雜性，這些研究不適用于軟指操縱系統(tǒng)的運動方程分析。雖然有限元分析可以在軟指尖上得到應力分布和彈力，但這些模擬結(jié)果取決于所選的單元和網(wǎng)格劃分。

本文對軟指尖和目標物體的接觸作了簡化和抽象，建立軟指尖和目標物體正向接觸的模型。提出了軟指尖的微分表示方法，建立了軟指尖接觸的力學模型，揭示出軟指尖與目標物體的接觸機理?；谠撃Ｐ?，研究了軟指接觸力以及接觸摩擦力矩的分布情況。在此基礎上更進一步研究了任意方向接觸的情況，提出了軟指尖靜態(tài)彈性模型。最后對軟指尖接觸理論進行了有限元分析和實驗驗證，通過對比分析，表明理論模型的有效性。

1 軟指尖正向接觸建模

1.1 軟指尖正向接觸幾何模型

本文以半球形來表示軟體手指的軟指尖，當軟指尖和剛性物體接觸時，會存在一定的變形。多指手靈巧手的軟指尖在接觸目標物體時，典型的正向接觸如圖1所示。

圖1 指尖-物體正向接觸

圖1展示了軟指尖沿法向接觸剛性目標物體的接觸狀態(tài)。假設軟指尖的半徑為a，則圓表面上的點滿足如下關(guān)系：

x2+z2=a2

(1)

其中a為半球半徑。指尖表面C點的x坐標在平面中表示為

Cx=(a-d0)tanθ

(2)

其中，d0表示軟指尖的變形量，θ表示接觸角，如圖1所示。聯(lián)立式(1)和式(2)，C點的z坐標可以表示為

(3)

則CB在z方向的長度表示為

CB=Cz-(a-d0)

(4)

CB的長度在物理上表示軟指尖表面上的一點在接觸變形時的變形量。最大接觸角θmax可以表示為

(5)

通常情況下，軟指尖接觸面的接觸面積隨指尖變形量的增大而增大。當變形量為d0的時候，如圖2所示，在接觸面B點處的半徑為

r=(a-d0)tanθ

(6)

對上式兩邊求微分可以得到半徑的微分dr如式(7)所示。

(7)

于是得到因變形而產(chǎn)生的接觸面積的微分可以表示如下：

(8)

圖2 接觸面的微分

1.2 軟指尖的微分表示及接觸力分析

對于如圖1所示的半球形指尖和目標物體的接觸模型中，指尖和目標物體形成的接觸面形狀沿著軟指尖的法線對稱。為了得到合適的半球形指尖接觸力學模型，提出2個關(guān)于材料特性的假設。

(1)忽略材料的不可壓縮性。

(2)構(gòu)成軟指尖的材料楊氏模量是常數(shù)。

使用微積分的思想將軟指尖視為無限個柱狀微元的組合，每一個柱狀微元的軸向沿著z軸方向。圖3對于每一個這樣的微元進行了力學分析，圖4畫出了3個這樣的柱狀微元，微元受到的應力表示為

(9)

其中，F(xiàn)是面積為S的微元受到的接觸力的大小。

圖3 指尖微元

圖4 指尖的微分示意圖

當一個小的壓縮接觸力施加到指尖微元，微元的長度會被壓縮，壓縮應變ε定義為軟指微元長度的微小變化，如式(10)所示。

(10)

其中ε是無量綱的，在受到壓縮力的情況下，ε是負值。在機器人抓持任務中，多是屬于這種情況。根據(jù)軟指尖的材料特性和微元的受力分析，使用楊氏模量，微元的受力關(guān)系如式(11)所示。

(11)

另一方面，微元受到的壓力表示為

(12)

聯(lián)立式(11)和式(12)，微元上的受力情況最終可以表示為

(13)

從式(13)中可以發(fā)現(xiàn)軟指微元表面的接觸力取決于壓力分布、軟指微元的長度及其變化量、接觸面積和軟指尖的楊氏模量。

將軟指尖視為一組有無限個軟指微元組成的模型，如圖4所示，軟指尖的變形可以看成是由各個微元變形的組合。由于指尖的力由壓力產(chǎn)生，所以所有的微元的壓力分布就決定了指尖總的接觸力。接觸力分布的表達式為

(14)

根據(jù)式(14)可以繪制出軟指尖的壓力分布圖，圖5(a)、(b)和(c)展示了根據(jù)變形量d0分別為1 mm、2 mm和3 mm時的理論接觸壓力分布情況，從接觸力分布圖可以看出接觸中央的接觸力最大，越往接觸的邊緣接觸力越小，直至接觸邊緣的接觸力為零。這種現(xiàn)象很容易從軟指尖的微分模型中得到解釋，由于接觸中心微元的應變最大，相應產(chǎn)生的接觸壓力也最大，而接觸邊緣的微元沒有壓縮變形，故產(chǎn)生的接觸壓力為零。

(a) d0=1 mm

(b) d0=2 mm

(c) d0=3 mm

對軟指尖接觸力分布進行積分，可以求得接觸面總的接觸力Fc。

(15)

其中，E表示指尖的楊氏模量，可以通過實驗的方法得到。根據(jù)軟指尖的變形情況，長度參數(shù)L的表達式為

(16)

ΔL的表達式為

(17)

從式(15)可以看出，接觸力Fc只是軟指尖的變形量d0的函數(shù)，并且指尖接觸力和變形量d0的平方成正比。

根據(jù)軟指尖接觸力，容易求得軟指尖接觸所能提供的最大摩擦力Ff為

Ff=Fc·μ

(18)

接觸面上各點最大摩擦力對接觸面的中心點取矩得到接觸摩擦力矩的分布M。

(19)

根據(jù)式(19)可以畫出如圖6所示的接觸摩擦力矩分布圖。由于是對接觸面的中心點取矩，故接觸面中心的摩擦力矩為0。在接觸面的邊緣，由于接觸力趨于0，故所能提供的摩擦力為0，因此摩擦力矩也為0。因為軟指尖接觸可以提供接觸摩擦力

圖6 接觸摩擦力矩分布圖

矩，所以當物體受到一個繞軸線的外力矩擾動時，軟指尖會產(chǎn)生一個反方向的摩擦力矩與之平衡，從而使軟指尖對目標物體的抓持更加穩(wěn)定。這也是軟指尖接觸與點接觸或摩擦點接觸的區(qū)別之一。

2 軟指尖靜態(tài)接觸彈性模型

對軟指尖正向接觸模型作推廣，更進一步研究軟指尖和目標任意方向接觸的情況。一般化的指尖-物體接觸模型如圖7所示，和正向接觸模型相比，該模型引入了接觸的方向角θp和方位角Φ。為了建立軟指尖的彈性力方程，將半球形軟指尖視為一組無限數(shù)量的虛擬線彈簧組合而成，圖7展示了一個這樣的線彈簧PR。為了簡化方程的推導過程，同樣以材料的不可壓縮性假設和楊氏模量為常數(shù)的假設為前提進行分析計算。

圖7 一般化的指尖-物體接觸模型

2.1 軟指尖剛度

根據(jù)接觸面的方程xsinθp+zcosθp=a-d，彈性力dF可以表示為

dF=k·PQ

(20)

如圖8所示，設k0為彈簧的剛度系數(shù)，dS0為截面積，L0是用于計算楊氏模量的柱形樣本的原始長度，E是軟指尖的楊氏模量。根據(jù)線性材料的特性，以下式子成立：

σ=Eε

(21)

從而得到：

(22)

圖8 軟指尖內(nèi)的彈簧微元

進一步得到：

(23)

其中，F(xiàn)表示柱形樣本受到的壓力，δx是壓縮的位移。由于假設了楊氏模量是一個不變的物理常數(shù)，所以以下的方程是成立的。

(24)

從而k可以表示為

(25)

設K是如圖7所示軟指尖整個變形部分的剛度，K可以表示為

(26)

其中，

(27)

(28)

其中，ell表示如圖7所示的橢圓區(qū)域。借助于Matlab對式(26)做一個數(shù)值積分，發(fā)現(xiàn)不同方向角下的指尖剛度是一個常數(shù)，這表明指尖剛度K與目標物體的方向角無關(guān)。

如圖9所示，設Σ′是從Σ坐標系轉(zhuǎn)換到O′的坐標系，Σ″是z′軸轉(zhuǎn)過θp角度的圓柱坐標系。設r是以點C為圓心的接觸圓的半徑，φ是繞著z， z′和z″軸的公共旋轉(zhuǎn)角。Σ′坐標系中的(x′， y′)和Σ″坐標系中的(r， φ)的關(guān)系可以表示為

x′=rcosφcosθp

(29)

y′=rsinφ

(30)

由于(x， y)和(x′， y′)的關(guān)系可以表示為

x=x′+(a-d)sinθp

(31)

y=y′

(32)

所以，Σ坐標系和Σ″坐標系的變量轉(zhuǎn)換可以表示為

x=rcosφcosθp+(a-d)sinθp

(33)

y=rsinφ

(34)

同時，如圖9所示的軟指尖底面的橢圓區(qū)域根據(jù)以上的轉(zhuǎn)換規(guī)則可以轉(zhuǎn)換為圓形區(qū)域，即(r, φ)的積分區(qū)域范圍分別是[0,ac]和[0, 2π]。

圖9 各坐標系的變換關(guān)系

于是，令x=rcosφcosθp+(a-d)sinθp，y=rsinφ，則式(26)可以變換為

(35)

由于K是一個和θp無關(guān)的常數(shù)，因此令式(35)中的θp=0得到：

(36)

2.2 軟指尖彈性力

根據(jù)式(20)、式(25)和幾何關(guān)系QT=PQcosθp(如圖9所示)，彈性力F可以寫成：

(37)

與K的推導過程相類似，對式(37)作變量轉(zhuǎn)換，式(37)變成：

(38)

其中，

(39)

在式(38)中，B(r, φ)對應于式(35)括號中的被積函數(shù)，即：

(40)

與式(36)的推導方法類似，最終計算得到彈性力F的表達式為

(41)

3 軟指尖接觸有限元仿真

有限元法求解的原理是把連續(xù)的求解區(qū)域分割成有限個單元，并在每個單元上指定有限個結(jié)點，假設一個簡單的函數(shù)近似地表示其位移分布規(guī)律，再利用彈塑性理論中的變分原理或其他方法，建立單元結(jié)點的力和位移之間的力學特性關(guān)系，得到一組以結(jié)點位移為未知量的代數(shù)方程組，從而求解結(jié)點的位移分量。進而利用插值函數(shù)確定單元集合體上的場函數(shù)。由位移求出應變，由應變求出應力。本文使用Abaqus2017來求解軟指尖與目標物體的接觸問題，通過有限元仿真結(jié)果和上述理論分析結(jié)果的對比來驗證理論結(jié)果的正確性。

Abaqus有限元分析過程可分為建模階段、計算階段和后處理階段。建模階段是根據(jù)結(jié)構(gòu)實際形狀和實際工況條件建立有限元分析的計算模型，從而為有限元數(shù)值計算提供必要的輸入數(shù)據(jù)。有限元建模的中心任務是結(jié)構(gòu)離散，即劃分網(wǎng)格。計算階段的任務是完成有限元方法有關(guān)的數(shù)值計算，這部分工作由有限元分析軟件控制并在計算機上自動完成。后處理是對計算輸出的結(jié)果進行必要的處理，并按一定方式顯示出來，以便對問題進行分析。

根據(jù)圖7的理論分析模型建立的有限元分析幾何模型如圖10所示，對于軟指尖與目標物體正向接觸的情況，采用1/4球體進行建模。1/4球體代表軟指尖，目標物體通過一條直線來模擬。對于非正向接觸的情況采用半球模型進行建模，改變直線的傾角以實現(xiàn)不同接觸角的加載仿真。在仿真中設置軟指尖的半徑R為20，分別對接觸角θ等于0 °、10 °、20 °、30 °的情況進行仿真。

圖10 仿真幾何模型示意圖

劃分網(wǎng)格是建立有限元模型的一個重要環(huán)節(jié)，有限元網(wǎng)格數(shù)量的多少和質(zhì)量的好壞直接影響到計算結(jié)果的精度和計算規(guī)模的大小。一般來講，網(wǎng)格數(shù)量增加，計算精度會有所提高，但同時計算規(guī)模也會增加，所以在確定網(wǎng)格數(shù)量時應該權(quán)衡這2個參數(shù)。網(wǎng)格較少時，增加網(wǎng)格數(shù)量可以顯著提高計算精度，而計算時間不會有很大的增加。所以應注意增加網(wǎng)格數(shù)量后的經(jīng)濟性[16]。為了更加精確地捕捉模型在變形中微小的變化，對模型中接觸區(qū)域的網(wǎng)格進行細化。如圖11所示，將指尖的接觸模型分為3個具有不同網(wǎng)格密度的區(qū)域，兼顧了計算的精度和計算的時間。由于接觸發(fā)生在軟指尖的表層，為減少計算時間，同時減小計算誤差，軟指尖外圍的區(qū)域具有最大的網(wǎng)格密度。其中，區(qū)域I為半球的外圍區(qū)域，徑向范圍約為半徑的1/4，區(qū)域II為半球的中層區(qū)域，其徑向范圍約為半徑的1/4，區(qū)域III為半球的中心區(qū)域，半徑為半球半徑的1/2。半球體外圍具有最大的網(wǎng)格密度，并通過反復地調(diào)整網(wǎng)格密度和分析步長使得模型收斂，最終模型由CAX4R四邊形單元構(gòu)成，接觸區(qū)域最小網(wǎng)格大小為0.2。

圖11 軟指尖的有限元接觸模型網(wǎng)格

軟指尖的材料為硅膠，屬于超彈性材料，對于這種類型的材料，Abaqus提供了多種本構(gòu)模型供選擇，包括Mooney-Rivlin、Neo Hooke、Yeoh、OGden等。對于較大變形的情況，使用OGden本構(gòu)模型可以很好地模擬，故在仿真中選用OGden作為本構(gòu)模型，并輸入相應的實驗數(shù)據(jù)定義材料的屬性。

在有限元仿真中，邊界條件的確定至關(guān)重要，邊界條件直接影響仿真的精度，甚至會影響收斂性。該模型的邊界條件如圖12所示。半球底邊上的節(jié)點在各個方向都是固定的，該邊界條件是有效的，原因是軟指尖一般固定在手指上不會發(fā)生移動。在對稱面上的節(jié)點進行x方向的約束，由于對稱性約束，

圖12 模型的邊界條件和載荷

對稱面上的節(jié)點只能在y方向上移動。對于以直線代替的剛性目標物體，要求它只能沿y軸方向平移，所以除了對稱性約束，即x方向上的約束之外，還要約束其面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)。

在接觸問題的模擬中一般有2種施加載荷的方法，給剛性平板施加位移，然后計算產(chǎn)生的接觸載荷；給剛性平板施加壓力，然后計算得到位移。在本文的接觸模型中，采取的是第2種方法，通過施加不同的壓力載荷，來求解相應的接觸參數(shù)，因為施加壓力可以極大地降低所建立模型的收斂難度。并且在對模型進行分析時，如果直接加載相應的壓力載荷，整個接觸分析可能不會收斂，所以可以通過先施加一個較小的壓力載荷，使接觸平穩(wěn)，隨后再施加實際的壓力載荷。這樣雖然會增加分析步的數(shù)目，但可以使模型有效收斂，從而減小了計算時間。

建立完指尖接觸的有限元模型之后，創(chuàng)建作業(yè)并提交分析運行，等待計算完成即可得到有限元仿真的結(jié)果。軟指尖在一定壓力載荷下的變形圖如圖13所示，從軟指尖的接觸變形圖可以看出，仿真結(jié)果的變形情況和實際情況非常相似。

圖13 軟指尖變形的位移云圖

在得到有限元仿真的結(jié)果后，需要從結(jié)果數(shù)據(jù)文件中提取需要的數(shù)據(jù)以便于和理論的結(jié)論進行對比。在Abaqus中不能直接獲取壓力載荷關(guān)于軟指尖變形量之間的關(guān)系數(shù)據(jù)和曲線，因此，需要對仿真的結(jié)果做進一步的后處理。在Abaqus中可以通過Visualization模塊中的工具獲取節(jié)點的位移和時間的關(guān)系數(shù)據(jù)曲線以及壓力載荷和時間的關(guān)系數(shù)據(jù)。而借助Visualization模塊自帶的Combine(X，X)可以將以上兩者綜合起來得到壓力載荷和節(jié)點位移之間的關(guān)系數(shù)據(jù)和曲線。軟指尖的變形量是通過剛性平板的y方向的位移計算得到的，平板y方向的位移乘上傾角的余弦值即得到指尖的變形量。對于不同的壓力載荷，軟指尖的變形量不同，通過提取不同壓力載荷下的剛性平板位移來計算得到軟指尖的變形量。

通過以上的處理得到了在θ=0 °時，軟指尖的變形量和壓力載荷的關(guān)系曲線和數(shù)據(jù)。通過Matlab將仿真獲得的變形量和壓力之間的關(guān)系曲線和理論分析得到的曲線畫在同一幅圖上，以便于對比兩者之間的關(guān)系，如圖14(a)所示，圖中的虛線表示理論曲線，實線表示有限元仿真曲線。

在本次仿真中還分析了不同接觸角情況下的指尖變形量和壓力之間的關(guān)系，根據(jù)圖10所示，分別建立接觸角為10 °、20 °、30 °的有限元仿真幾何模型。和以上平壓接觸的處理方式類似，通過建模、計算、后處理得到了接觸角為10 °、20 °、30 °情況下指尖變形量和接觸壓力的關(guān)系曲線和理論曲線的對比圖，分別如圖14(b)、(c)、(d)所示。

從4幅理論和仿真的曲線對比圖來看，每幅圖理論曲線和仿真曲線的關(guān)系基本類似。在軟指尖的變形量小于5 mm時，對于接觸角等于0 °、10 °、20 °、30 °，有限元曲線和理論曲線基本吻合。但是當指尖的變形量超過5 mm時，有限元曲線和理論產(chǎn)生了偏離，在相同的變形量時，仿真的接觸壓力要大于理論計算得到的接觸壓力，而且隨著變形量的增大，兩者的差距越來越大。這是因為在理論分析的時候忽略了材料的不可壓縮性，當軟指尖的變形量不大時，這種不可壓縮性對指尖的變形幾乎無影響，但是一旦軟指的變形量超過一定的范圍，這種材料不可壓縮性產(chǎn)生的效應就變得十分明顯。這種效應造成的結(jié)果是需要使用更大的力才能使軟指尖產(chǎn)生少量的壓縮變形，這也是當指尖變形量大于5 mm時接觸壓力快速增加的原因。所以從仿真結(jié)果和理論結(jié)果的對比分析發(fā)現(xiàn)，理論有一定的適用范圍，在變形量不是較大以至于不可忽略材料的不可壓縮性時，理論都可以適用，而且理論可以比較準確地描述指尖接觸力和變形量之間的關(guān)系。

(a) 接觸角θ=0 °

(b) 接觸角θ=10 °

(c) 接觸角θ=20 °

(d) 接觸角θ=30 °

圖14 不同接觸角下壓力于變形量的關(guān)系對比圖

4 實驗驗證

壓縮樣品采用3D打印的模具制作，如圖15所示。軟指尖樣品的直徑分別為20 mm、30 mm、40 mm，彈性模量分別為1 MPa和0.3 MPa。

軟指尖的壓縮實驗在如圖16(a)所示的REGER 3010萬能試驗機上完成，該試驗機適用于對橡膠、塑料、金屬等材料進行拉伸、壓縮等力學性能測試。實驗系統(tǒng)具有開放的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，允許用戶隨機調(diào)用結(jié)果參數(shù)和過程數(shù)據(jù)。實驗數(shù)據(jù)可方便導入Excel表格，方便用戶后期處理。

在進行完標定等準備工作之后，對樣品進行壓縮實驗，如圖16(b)所示。在實驗中，按照位移的方式加載，根據(jù)硅膠材料的性質(zhì)設置了壓縮速率為2 mm/min，根據(jù)不同指尖的大小、彈性模量設置合適的加載量以免超過力傳感器的量程。對于每一種軟指尖進行了3次重復實驗。測試完成后，將每組實驗的數(shù)據(jù)導出到Excel表格。通過Matlab畫出壓力和變形量的關(guān)系曲線，如圖17和圖18所示。

圖15 軟指尖樣品

(a) REGER 3010萬能試驗機

(b) 樣品壓縮實驗

圖17畫出了彈性模量為1 MPa，直徑分別為20 mm、30 mm、40 mm的軟指尖壓力和變形量之間的關(guān)系，其中的虛線表示理論仿真曲線，從理論仿真結(jié)果來看，指尖的接觸壓力和變形量有關(guān)而和指尖的直徑無關(guān)。根據(jù)實驗曲線和理論曲線的對比可以發(fā)現(xiàn)，直徑為40 mm的軟指尖實驗曲線和理論曲線最為吻合，直徑為30 mm的軟指尖次之，直徑為30 mm的軟指尖只有在變形量小于3 mm時與理論曲線重合，當變形量超過3 mm時，實驗曲線和理論產(chǎn)生了偏離，在相同的變形量時，實驗的接觸壓力要大于理論計算得到的接觸壓力，而且隨著變形量的增大，兩者的差距越來越大。這是因為在理論分析的時候忽略了材料的不可壓縮性，當軟指尖的變形量不大時，這種不可壓縮性對指尖的變形幾乎無影響，但是一旦軟指的變形量超過一定的百分比，這種材料不可壓縮性產(chǎn)生的效應就變得較為明顯。這種效應造成的結(jié)果是需要使用更大的力才能使軟指尖產(chǎn)生少量的壓縮變形，這也是當指尖變形量超過一定的百分比時接觸壓力快速增加的原因。所以從實驗結(jié)果和理論結(jié)果的對比分析發(fā)現(xiàn)，理論有一定的適用范圍，在變形量不是較大以至于不可忽略材料的不可壓縮性時，理論都可以適用，而且理論可以比較準確地描述指尖接觸力和變形量之間的關(guān)系。

圖17 同一彈性模量不同直徑的指尖變形量與壓力的關(guān)系曲線

圖18畫出了直徑為40 mm，彈性模量分別為1 MPa和0.3 MPa的軟指尖壓力和變形量之間的關(guān)系，其中的虛線表示理論仿真曲線。對比不同彈性模量的實驗曲線，在相同的變形量時，彈性模量大的指尖所產(chǎn)生的接觸壓力大于彈性模量小的指尖，這一點符合理論的結(jié)果。通過對比實驗和理論曲線，無論是彈性模量為1 MPa還是0.3 MPa，在變形量較小(小于30%)時都和理論曲線吻合，在變形量較大時發(fā)生偏離，原因與上述的分析相同。此外在軟指尖彈性模量較小時，實驗曲線和理論曲線吻合的范圍更大。

圖18 不同彈性模量指尖變形量與壓力的關(guān)系曲線

5 結(jié) 論

本文以軟指尖為研究對象，建立了軟指尖和目標物體正向接觸的模型。提出了軟指尖的微分表示方法，有效地解決了非線性接觸建模的難點，建立了軟指接觸的力學模型。探究了軟指尖接觸機理，研究了軟指接觸力及接觸摩擦力矩的分布情況。并且提出了一般化的軟指尖靜態(tài)接觸彈性模型，推導出了軟指尖剛度和彈性力的表達式。此外，進行了軟指尖接觸的有限元仿真及驗證實驗，結(jié)果表明，本文提出的理論模型在軟指尖變形量不超過30%時與實際情況吻合良好，但是變形量過大時會產(chǎn)生偏差。這是由于理論分析忽略了材料的不可壓縮性，在實際情況下，當軟材料的變形量過大時，材料的不可壓縮性會變得明顯。