關(guān)于一道物理奧賽試題的學(xué)習(xí)及思考

楊思鋒

摘要：物理奧林匹克競賽是一項(xiàng)非常專業(yè)的物理學(xué)習(xí)和研究活動，深受廣大高中理科學(xué)生的歡迎。它已經(jīng)成為中學(xué)物理課程學(xué)習(xí)中有益的補(bǔ)充。本文通過對一道競賽試題的解析，說明物理學(xué)習(xí)與實(shí)際生產(chǎn)、生活的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：物理奧林匹克競賽;試題分析

每年物理奧賽的復(fù)賽試題都是由國內(nèi)幾個一流高校的教師命制的。試題基本是他們科研工作的另一種形式的呈現(xiàn)，既有科學(xué)理論的探索，也有科學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的反映，其特點(diǎn)就是理論和實(shí)際相結(jié)合。與其他物理題相比（如高考試題、學(xué)業(yè)水平考試試題、教材上的習(xí)題等），它們更接近運(yùn)用物理學(xué)的知識解決實(shí)際的問題——這是物理學(xué)習(xí)目的的重要方面。

2019年的全國復(fù)賽試題，在聯(lián)系實(shí)際方面表現(xiàn)得更為合理，對高中物理課堂教學(xué)具有很好地啟示作用。下面舉一例進(jìn)行說明。

如圖a，旅行車上有一個半徑為R的三腳圓凳（可視為剛性結(jié)構(gòu)），三個相同凳腳的端點(diǎn)連線（均水平）構(gòu)成邊長為a的等邊三角形，凳子質(zhì)心位于其軸上的G點(diǎn)，半徑為r的一圓筒形薄壁茶杯放在凳面上，杯底中心位于凳面中心O點(diǎn)處，茶杯質(zhì)量為m（遠(yuǎn)小于凳子質(zhì)量），其中杯底質(zhì)量為m5（杯壁和杯底各自的質(zhì)量分布都是均勻的），杯高為H（與杯高相比，杯底厚度可忽略）。杯中盛有茶水，茶水密度為ρ。重力加速度為g。

（1）為了使茶水杯所盛茶水盡可能多并保持足夠穩(wěn)定，杯中茶水的最佳高度是多少？

（2）現(xiàn)該茶水杯的底面邊緣剛好緩慢滑移到與圓凳的邊緣內(nèi)切于D點(diǎn)時靜止（凳面邊有小凸緣，防止物體滑出;凳面和凳面邊的凸緣各自的質(zhì)量分布都是均勻的），且OD⊥AC（見圖b），求此時旅行車內(nèi)底板對各凳腳的支持力相對于滑移前（該茶水杯位于凳面中心處）的改變。

我們可以從以下幾方面對該試題進(jìn)行學(xué)習(xí)和體會。

一、用物理知識解決實(shí)際問題的第一步，是建構(gòu)知識模型。

由于中學(xué)生的知識水平狀況，試題明確了幾個模型：（1）三腳圓凳——剛體（即結(jié)構(gòu)，包括形狀不發(fā)生變化）;（2）薄壁茶杯——不考慮茶杯的側(cè)壁厚度，即認(rèn)為杯壁的半徑為r不變;（3）茶杯質(zhì)量遠(yuǎn)小于凳子質(zhì)量——保證凳子不翻到（車底板對三個腳的支持力大于零）;（4）杯壁和杯底各自的質(zhì)量分布都是均勻的;凳面和凳面邊的凸緣各自的質(zhì)量分布都是均勻的——可以用一般的幾何知識進(jìn)行計算（避免微積分等過于細(xì)致、復(fù)雜的運(yùn)算）。

二、下面只討論第一問的解答要求（第二問的要求解答過程相對直接一些，只需要列出豎直方向上力的平衡方程，和以AC為軸時的力矩平衡方程，聯(lián)立起來就可以了。）

首先是建立可行的坐標(biāo)（系），即以凳面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過O點(diǎn)向上的豎直線為y軸，（x軸相應(yīng)靈活確定）。然后，我們進(jìn)行細(xì)致的分析和處理。

（1）具有普遍性的思考方法

從物理上看，物體的穩(wěn)定性，即是要求其質(zhì)心（有時與重心意義相同）位置較低。于是我們寫出茶杯（包括其中的茶水）的質(zhì)心位置表達(dá)式為

y質(zhì)心=4m5H2+ρ（r

2h）hm+ρ（r

2h）。

由于往杯中加水的過程中，水杯整體的質(zhì)心先是逐漸降低，然后再逐漸升高。要實(shí)現(xiàn)茶水杯所盛茶水盡可能多并保持足夠穩(wěn)定的要求，物理上就是要求水杯的質(zhì)心盡可能接近凳面，處于最低點(diǎn)位置，即在上面的表達(dá)式中，當(dāng)h為何值時，y質(zhì)心最小。于是由

dy質(zhì)心dh=0，可以計算出h=hmax=mρr

2-1±1+4Hρr

25m，舍去負(fù)值，即得結(jié)論為hmax=mρr

21+4Hρr

25m-1。

（2）一種物理思想性很強(qiáng)的處理方法

上面同樣的分析知道，當(dāng)杯中所加入水的高度正好等于此時水杯（整體）的質(zhì)心高度時，這時水杯質(zhì)心距離凳面最近;再繼續(xù)加水，會使水杯的質(zhì)心開始升高（——這是物理觀念和科學(xué)思維素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)）。

于是有h=y質(zhì)心=4m5H2+ρ（r

2h）hm+ρ（r

2h），很快得出與上面相同的結(jié)論。

（3）一種不同平常的想法

如果水杯的穩(wěn)定性從另一個角度思考，即考慮車輛加速（或轉(zhuǎn)彎）造成水杯傾斜。這種情況下，我們寫出水杯整體的質(zhì)心x坐標(biāo)表達(dá)式。將該表達(dá)式對傾斜角度θ（水杯底面與水平凳面的夾角）求微分。根據(jù)極值條件求出相應(yīng)的加入水的高度（豎直情況時）h，即為hmax。我們可以比較該結(jié)果與前面結(jié)果的關(guān)系。

與此想法相對應(yīng)，可以有如下的定性結(jié)論，即當(dāng)x質(zhì)心=xmax=r（水杯底面半徑）時，就對應(yīng)加入水的高度（豎直情況時）h，即為hmax。

如果上面的結(jié)論都相同，這個結(jié)果就具有實(shí)際生產(chǎn)層面的意義了。

責(zé)任編輯：黃大燦