著眼發(fā)展思維能力的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課

鄭圣發(fā)

摘 要：復(fù)習(xí)課是達(dá)成數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要課型，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有重要地位?！皬?fù)”并非簡(jiǎn)單重復(fù)，“習(xí)”也不是簡(jiǎn)單的練習(xí)。隨著課程改革不斷推進(jìn)，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，關(guān)注深度學(xué)習(xí)，提倡結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，成了發(fā)展的新理念。在此理念觀照下的復(fù)習(xí)課，要著眼于發(fā)展思維能力，以達(dá)到更理想的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);思維能力;復(fù)習(xí)課

“抓住雙基串成線，溝通聯(lián)系連成片，溫故知新補(bǔ)缺漏，融會(huì)貫通更熟練”是傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課的意義所在。在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，關(guān)注學(xué)生深度學(xué)習(xí)，凸顯數(shù)學(xué)思考，數(shù)學(xué)思維教學(xué)成為發(fā)展方向的背景下，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課不僅要兼顧知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)，更要優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，橫向溝通知識(shí)，縱向勾連方法，聚焦知識(shí)本質(zhì)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思考，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，使知識(shí)和能力獲得繼續(xù)生長(zhǎng)的力量。

一、以思求聯(lián)，橫向溝通知識(shí)

新授課引導(dǎo)學(xué)生形成基礎(chǔ)知識(shí)，練習(xí)課旨在幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，而復(fù)習(xí)課則要引領(lǐng)學(xué)生將知識(shí)串聯(lián)成網(wǎng)。復(fù)習(xí)課的基本作用在于幫助學(xué)生回顧再現(xiàn)已學(xué)的知識(shí)，梳理聯(lián)系零散的知識(shí)點(diǎn)，結(jié)構(gòu)化重組完整的知識(shí)體系，讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)是整體的。如果想讓學(xué)生理解和掌握所形成的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，僅讓其依靠記憶顯然是無法實(shí)現(xiàn)的，教師需要通過富有思考性的數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)，幫助學(xué)生找到相關(guān)知識(shí)點(diǎn)之間的思維連接點(diǎn)，通過分析、比較、推理等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的、基于思維導(dǎo)向的更深層次的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

例如，復(fù)習(xí)平面圖形的面積時(shí)，師生回顧再現(xiàn)平面圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，梳理形成關(guān)于平面圖形面積公式的網(wǎng)絡(luò)圖。同時(shí)，教師可以適時(shí)拋出兩個(gè)數(shù)學(xué)問題：你覺得哪個(gè)公式比較重要？這些公式可以少記幾個(gè)嗎？首先，把思維落腳點(diǎn)指向某個(gè)公式，從而推導(dǎo)出其他公式。其次，是否可以找到一個(gè)“萬能鑰匙”勾連所有所學(xué)面積的公式，“以一當(dāng)十”。這就有利于深化學(xué)生對(duì)平面圖形公式的理解，把學(xué)生的思維聚焦于各面積公式之間的“聯(lián)系”。經(jīng)過分析討論，比較長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積后，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)這些平面圖形的面積計(jì)算公式都是可以相互轉(zhuǎn)化推導(dǎo)的。學(xué)生可能認(rèn)為長(zhǎng)方形的面積公式比較重要，也可能認(rèn)為三角形的面積公式比較重要，學(xué)生無論覺得哪個(gè)公式更重要，只要能運(yùn)用它推導(dǎo)出其他的面積公式就達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)。再次，更進(jìn)一步，通過微課等手段，動(dòng)態(tài)演示，直觀呈現(xiàn)：梯形面積公式=（上底+下底）×高÷2，可以統(tǒng)領(lǐng)所學(xué)的平面圖形各公式。比如，平行四邊形其實(shí)就是上底與下底相等的梯形，三角形就是上底為0的梯形等，讓學(xué)生明確所學(xué)的平面圖形面積計(jì)算可以統(tǒng)整為梯形面積計(jì)算，這就將小學(xué)階段平面圖形的面積計(jì)算公式串聯(lián)在一起。

二、以思求通，縱向勾連關(guān)系

由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)教材是根據(jù)兒童已有的經(jīng)驗(yàn)、心理發(fā)展規(guī)律按螺旋上升的結(jié)構(gòu)編排的，某一知識(shí)點(diǎn)的概念和應(yīng)用往往分布在不同的年級(jí)教材中。教材的分冊(cè)編寫和教學(xué)的分課時(shí)推進(jìn)容易讓知識(shí)的整體性變得斷裂或隱蔽。這也就意味著，我們不僅要橫向溝通某一單元、某一冊(cè)的知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，還要縱向勾連各個(gè)年級(jí)，引導(dǎo)學(xué)生深入知識(shí)的本質(zhì)，從本質(zhì)入手抓關(guān)聯(lián)，把前后看似互不相關(guān)的概念和應(yīng)用也串聯(lián)起來，深化學(xué)生的認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

例如，復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的加減法時(shí)，就需要把整數(shù)加減法、小數(shù)加減法聯(lián)系起來，弄清整數(shù)加減法把個(gè)位對(duì)齊，小數(shù)加減法把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊都是把相同的計(jì)數(shù)單位對(duì)齊，異分母分?jǐn)?shù)相加減的通分其實(shí)也是轉(zhuǎn)化為相同的計(jì)數(shù)單位。這樣就把小學(xué)階段的加減法的算理置于同一框架內(nèi)，把不同的運(yùn)算法則通過探究數(shù)學(xué)本質(zhì)“系”在一起。進(jìn)一步，還可以通過1元+1角需要先統(tǒng)一計(jì)量單位這一熟知的生活原型，拓展相同單位才可直接相加減的本質(zhì)特征，幫助學(xué)生再次鞏固這一運(yùn)算的道理，提升學(xué)生的計(jì)算能力。

又如，在復(fù)習(xí)運(yùn)算律時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生思考：學(xué)習(xí)運(yùn)算律是不是只為了簡(jiǎn)便算法？已學(xué)過的什么知識(shí)與這些運(yùn)算律有關(guān)系？促使學(xué)生去回憶過去的知識(shí)中有哪些與加法、乘法運(yùn)算律有關(guān)，回顧反思列豎式計(jì)算加法和乘法的驗(yàn)算常常采用交換位置再計(jì)算、加減乘除口算等都與運(yùn)算律息息相關(guān)。進(jìn)一步，通過“同構(gòu)”形如相遇問題的不同數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些數(shù)學(xué)問題的兩種方法，其實(shí)都是基于ax+bx=（a+b）x的化簡(jiǎn)和乘法分配律的具體應(yīng)用。這樣的教學(xué)有助于學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的縱向勾連，形成對(duì)解決問題方法的完善認(rèn)知，并上升到模型化認(rèn)知。

三、以思求辯，擇優(yōu)策略方法

隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)生不僅積累了數(shù)學(xué)知識(shí)，還掌握了越來越多的解決問題的策略、方法。對(duì)學(xué)生而言，每節(jié)課獲取的新知識(shí)、新方法能即時(shí)促進(jìn)能力發(fā)展，但在單元或期末等后續(xù)學(xué)習(xí)中就會(huì)有困惑：新知識(shí)與原有的知識(shí)有什么不同，有什么聯(lián)系，新方法與老方法有什么異同點(diǎn)，究竟是按照以前的老方法做還是按新方法做，如何選擇合適的方法等。對(duì)學(xué)生而言，獲得的知識(shí)越多、掌握的方法越多并非代表越有進(jìn)步，教師如果沒有引導(dǎo)辨析，往往會(huì)給學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)牟呗曰蚍椒ㄔ斐衫_。

一個(gè)最典型的例子是選擇列方程還是算術(shù)法解應(yīng)用題。學(xué)生受長(zhǎng)期練習(xí)影響已經(jīng)習(xí)慣于將所有問題由逆轉(zhuǎn)順了，不管遇到什么數(shù)學(xué)問題，第一反應(yīng)都是套用公式列算式解答。學(xué)習(xí)完列方程解決問題后，學(xué)生并非是排斥列方程，要么是慣性使然選擇算術(shù)解，要么對(duì)哪些問題適合、哪些問題不適合列方程解似是而非，不能辨析，無所適從。

在復(fù)習(xí)列方程解應(yīng)用題時(shí)，有必要設(shè)計(jì)一個(gè)辨識(shí)度高的題組：

（1）甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，相對(duì)而行，甲車每小時(shí)行60千米，乙車每小時(shí)行64千米，出發(fā)5小時(shí)后相遇。兩地相距多少千米？

（2）甲、乙兩車同時(shí)從相距620千米的A、B兩地出發(fā)，相對(duì)而行，甲車每小時(shí)行60千米，乙車每小時(shí)行64千米。出發(fā)幾小時(shí)后相遇？

（3）甲、乙兩車同時(shí)從相距620千米的A、B兩地出發(fā)，相對(duì)而行，乙車每小時(shí)比甲車多行4千米，出發(fā)5小時(shí)后相遇。甲、乙兩車每小時(shí)分別行駛多少千米？

在學(xué)生獨(dú)立完成后，讓其比較算術(shù)解和方程解的數(shù)量關(guān)系，感受兩種解法的聯(lián)系與區(qū)別。然后引發(fā)思考：既然算術(shù)法能解這些問題，為什么還要學(xué)習(xí)方程解？什么時(shí)候算術(shù)解比較方便，什么時(shí)候選用方程解更合適？讓學(xué)生在比較、辨析過程中理清兩種方法的優(yōu)勢(shì)，以達(dá)到根據(jù)不同的數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)問題，靈活選用不同的策略及方法的復(fù)習(xí)目標(biāo)。

四、以思求透，多維思考感悟

數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)需要“時(shí)習(xí)之”，離不開練習(xí)過程，復(fù)習(xí)課更是如此。復(fù)習(xí)課的練習(xí)需要根據(jù)知識(shí)的重難點(diǎn)和學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)的疑惑及易錯(cuò)點(diǎn)，從不同角度精心設(shè)計(jì)。練習(xí)設(shè)計(jì)不在多，不在難，而是讓練習(xí)超越訓(xùn)練技能和解題的方法，幫助學(xué)生形成通透的思維能力。

例如，在復(fù)習(xí)立體圖形的表面積和體積時(shí)，設(shè)計(jì)如下的練習(xí)：請(qǐng)判斷下面各題與求表面積有關(guān)還是與求體積有關(guān)。制作一個(gè)盒子需要多少鐵皮？水池里有多少噸水？在游泳池的四周貼上瓷磚，需要多少塊瓷磚？油漆一個(gè)圓柱形柱子，需要多少油漆？……這一組習(xí)題帶著“？”卻都沒有具體數(shù)值，也不需要學(xué)生計(jì)算。有的放矢地設(shè)計(jì)精致化的習(xí)題，打破了學(xué)生看到數(shù)學(xué)問題就要?jiǎng)邮钟?jì)算的思維定式，促使他們整體考察問題與所學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，辨析所學(xué)知識(shí)所適用的情境，深化對(duì)表面積和體積概念的理解，推動(dòng)學(xué)生由“動(dòng)手”轉(zhuǎn)向“動(dòng)腦”。

又如，在教授“運(yùn)算定律和性質(zhì)的整理和復(fù)習(xí)”一課時(shí)，可以從基礎(chǔ)知識(shí)的理解維度設(shè)計(jì)一組題目，讓學(xué)生判斷：能不能簡(jiǎn)便計(jì)算？如果能，用了什么定律或性質(zhì)？還可以從思維能力提升的視角設(shè)計(jì)兩題：一是在兩位數(shù)乘法的豎式計(jì)算中運(yùn)用了哪條運(yùn)算定律？讓學(xué)生感悟在數(shù)學(xué)運(yùn)算中蘊(yùn)含著乘法分配律。二是解釋說明求制作一個(gè)長(zhǎng)4dm、寬3dm、高5dm的長(zhǎng)方體通風(fēng)管鐵皮用料，用算式4×2×5+3×2×5或（4+4+3+3）×5的合理性。精心設(shè)計(jì)多視角的練習(xí)，讓學(xué)生感悟乘法分配律應(yīng)用的廣泛性。

五、以思求新，構(gòu)建思維接口

復(fù)習(xí)課的一個(gè)重要目的在于使知識(shí)和能力獲得繼續(xù)生長(zhǎng)的力量，理解和掌握的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)該是開放的，可以隨時(shí)進(jìn)行擴(kuò)展，為學(xué)習(xí)新知識(shí)留好思維的接口。學(xué)生的學(xué)習(xí)能力不僅表現(xiàn)在已經(jīng)掌握多少知識(shí)、方法，還表現(xiàn)在是否具備學(xué)習(xí)新知識(shí)的思維基礎(chǔ)，是否能在此基礎(chǔ)上自主探究，獲取知識(shí)。教師不僅要熟悉現(xiàn)階段的教材前后聯(lián)系，還要對(duì)中學(xué)教材有所了解。

例如，在長(zhǎng)方體、正方體體積復(fù)習(xí)課中，教師可以設(shè)計(jì)思考問題：計(jì)算長(zhǎng)方體的體積只能是底面積×高嗎？知道一個(gè)左側(cè)面（橫截面）和一條長(zhǎng)，能否求出它的面積？引導(dǎo)學(xué)生明確長(zhǎng)方體、正方體的體積計(jì)算方法可以統(tǒng)一為底面積×高。接著引發(fā)思考：如果把長(zhǎng)方體截去一塊，這時(shí)還能用底面積×高計(jì)算體積嗎？引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)說理：設(shè)原長(zhǎng)方體的底面積是S，高是h，截去部分的底面積是S1，剩下部分的底面積是S2，那么剩下部分的體積為Sh-h=（S-S1）h=S2h，可見這類立體圖形的體積都可以用底面積×高。這樣的復(fù)習(xí)活動(dòng)，就為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)圓柱體積種下思維種子，留下思維接口。

總之，在重視學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、技能學(xué)習(xí)的同時(shí)，強(qiáng)調(diào)將復(fù)習(xí)課與數(shù)學(xué)思維更好地聯(lián)系起來，并非是復(fù)習(xí)教學(xué)新增添的成分，恰恰相反，這為我們進(jìn)一步改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)指明了一個(gè)重要方向。但值得注意的是，要兼顧不同學(xué)生的認(rèn)知水平，把握好思維的度，設(shè)計(jì)的問題不要一味追求上不封頂，要能促使絕大多數(shù)學(xué)生參與其中。提出的問題不僅要具有開放性，也要有利于發(fā)展學(xué)生的縝密思維。

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