多元函數(shù)泰勒公式教學案例

李國權(quán)

摘? 要：泰勒公式是研究函數(shù)的重要工具之一，是許多數(shù)值算法和近似計算的理論基礎(chǔ)。針對泰勒公式這一教學目標，通過對一元函數(shù)泰勒公式進行對照講解教學，從而使得教學任務(wù)能夠順利完成，實現(xiàn)溫故知新的目的。

關(guān)鍵詞：對照教學? 泰勒公式? 偏導(dǎo)數(shù)? 導(dǎo)數(shù)

中圖分類號：O172 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）03（c）-0255-02

數(shù)學分析是本科數(shù)學專業(yè)學生的學科基礎(chǔ)課程[1]，將歷時3個學期，約300學時，是聯(lián)系初等數(shù)學與現(xiàn)代數(shù)學的紐帶，是后續(xù)課程學習的基礎(chǔ)[2]。通過該課程的學習，使學生在專業(yè)課的學習中儲備了必需的基礎(chǔ)知識，同時提高了運用數(shù)學概念、思想和方法研究事物的數(shù)學關(guān)系的能力，提高了思想和觀點的邏輯性、準確性，增強了自身的科學素養(yǎng)，培養(yǎng)了學生的自我學習能力。是學生創(chuàng)新能力形成，最終養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)的一種重要途徑。泰勒公式是研究函數(shù)的一個重要工具，是許多數(shù)值算法和近似計算的理論基礎(chǔ)。泰勒公式是大學數(shù)學乃至全部高等數(shù)學中的一個特別重要的內(nèi)容，是微積分理論的最一般情形。它建立了函數(shù)增量、自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，它可將一些復(fù)雜難以理解的函數(shù)近似地表示為簡單易于理解的多項式函數(shù)。這種化繁為簡、化難為易的功能，使泰勒公式成為分析和研究其他方面問題的有力工具[3]。然而對于多元函數(shù)的泰勒公式，其形式上看來相對復(fù)雜，但與一元函數(shù)的泰勒公式并無本質(zhì)上的區(qū)別。該文將探究對照教學法在此節(jié)內(nèi)容的教學設(shè)計。

1? 教學目標

定理1 （多元中值定理）設(shè)二元函數(shù)f（x，y）在閉區(qū)域D內(nèi)可微。對D上任意兩點成立：

定理1的結(jié)論與一元函數(shù)的微分中值定理在形式上是一致的，證明方法可以通過構(gòu)造一元函數(shù)，并在[0，1]上使用Lagrange中值定理即可證明。教學過程中幫助學生回憶一元函數(shù)微分中值定理的證明過程，并對照學習。

定理2 （多元泰勒公式）若函數(shù)f在點P0（x0，y0）的某鄰域∪（P0）內(nèi)有直到n+1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對∪（P0）內(nèi)任一點（x0+△x，y0+△y），存在相應(yīng)的0∈（0，1，使f（x0+h，y0+k）

注：Taylor公式的幾種形式。

若函數(shù)f（x，y）在點P0（x0，y0）的某領(lǐng)域內(nèi)有直到n+1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：

（1）

其中

（2）為方便，記h=△x，k=△y，則：

其中

（3）

其中

這是用微分表示的Taylor公式，它與一元函數(shù)的Taylor公式在形式上更為接近，由此也可以看到一元函數(shù)中在二元函數(shù)的對應(yīng)物是。

2? 教學內(nèi)容

（1）講解并證明定理1。首先，引導(dǎo)學生觀察并發(fā)現(xiàn)定理的結(jié)論和一元函數(shù)微分中值定理的結(jié)論在形式上是相似;其次，幫助學生回憶一元函數(shù)微分中值定理的證明方法;最后，帶領(lǐng)學生一起完成定理1的證明。然而對于一元函數(shù)微分中值定理可以看作是泰勒公式的1階展開形式，那么多元函數(shù)有類似的泰勒公式嗎？

（2）回答上述問題，進行定理2的學習。證明過程通過回憶一元泰勒公式的證明方法，引導(dǎo)學生構(gòu)造輔助函數(shù)進行證明，因為證明的關(guān)鍵在于如何構(gòu)造輔助函數(shù)，所有如何引導(dǎo)學生是本節(jié)課的難點之一。

（3）舉例練習。

例1.近似計算（1.08）3.96。

分析問題：需要計算在（1.08，3.96）處的值，而f（1.4）=1，于是，令（x0，y0）=（1，4），△x=0.08，△y=-0.04，從而將f（1.08，3.96）=f（x0+△x，y0+△y）在（x0，y0）處泰勒展開，進行近似計算。

3? 教學效果及反思

數(shù)學教學是師生互動的數(shù)學思維的行為活動。教師在教學中要引領(lǐng)學生分析問題，這樣有利于學生在數(shù)學課程的學習中提高學生分析解決問題的能力。該節(jié)課通過對照教學，既幫助學生回憶復(fù)習之前的學習內(nèi)容，同時能夠從以前的解題思路中尋找出解決新問題的方法，達到訓練學生創(chuàng)新能力的目的。對照教學法不但可以溫故還可以知新，激發(fā)學生學習的熱情，加深對知識的理解，提高學生的綜合素質(zhì)。

參考文獻

[1] 歐陽光中，朱學炎.數(shù)學分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2018.

[2] 彭艷貴，趙立純，徐搖偉.數(shù)學師范專業(yè)基礎(chǔ)課程數(shù)學分析的改革與實踐研究[J].鞍山師范學院學報，2019（4）：1-6.

[3] 秦國強.多元函數(shù)的泰勒公式及其應(yīng)用[J].呂梁教育學院學報，2013（2）：103-105.