內(nèi)化數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的“思”與“辨”

吳維蕓

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》施行近十年來，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，已經(jīng)成為廣大數(shù)學(xué)教師的共識。經(jīng)驗(yàn)是人對活動(dòng)的個(gè)體體驗(yàn)，具有不穩(wěn)定性、可變性和差異性;“經(jīng)歷”不等于“獲得”，經(jīng)驗(yàn)也不代表能力。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生展開“思”與“辨”，由“經(jīng)歷”向“獲得”轉(zhuǎn)化，將不穩(wěn)定的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定的能力。 具體地，在探究活動(dòng)中，思過程，辨規(guī)律;在操作活動(dòng)中，思方法，辨本質(zhì);在實(shí)踐活動(dòng)中，思復(fù)合，辨體驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)探究操作實(shí)踐

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》施行近十年來，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，已經(jīng)成為廣大數(shù)學(xué)教師的共識。眾所周知，經(jīng)驗(yàn)是人對活動(dòng)的個(gè)體體驗(yàn)，具有不穩(wěn)定性、可變性和差異性;“經(jīng)歷”不等于“獲得”，經(jīng)驗(yàn)也不代表能力。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生展開“思”與“辨”，由“經(jīng)歷”向“獲得”轉(zhuǎn)化，將不穩(wěn)定的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定的能力。

一、自主探究活動(dòng)：思過程，辨規(guī)律

探究是數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要形式，是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，對具體的研究素材進(jìn)行數(shù)學(xué)探究和規(guī)律發(fā)現(xiàn)的過程。學(xué)生自主經(jīng)歷探究活動(dòng)，不僅是學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的思維思考的基本途徑，也是積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要陣地。由于數(shù)學(xué)課堂一貫地重視“基礎(chǔ)知識”和“基本技能”，很多教師往往把教學(xué)重點(diǎn)落在結(jié)論上，殊不知結(jié)論的獲得離不開過程。過程是豐富多彩的，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的價(jià)值。引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中思考過程、辨析規(guī)律，才能把學(xué)生在自主探究活動(dòng)中獲得的零碎的個(gè)人感受上升到與“雙基”相融合的理性經(jīng)驗(yàn)。

例如，在學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)乘法”后，教師安排了如下探究題：

在學(xué)生嘗試觀察、計(jì)算、驗(yàn)證后，教師引導(dǎo)學(xué)生交流：（1）你發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？每一題的規(guī)律分別是什么？（2）你是怎么發(fā)現(xiàn)每一題的規(guī)律的？（3）這三題的規(guī)律有什么不同？能給它們分分類嗎？

這個(gè)自主探究活動(dòng)實(shí)際上是分兩個(gè)層次進(jìn)行的。第一個(gè)層次，讓學(xué)生自主觀察，通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律計(jì)算出結(jié)果。經(jīng)歷這一過程，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)之間的大小關(guān)系，感覺到尋找分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系是有方法的，但這樣的感覺是模糊的、粗淺的，甚至可能有一定的偏差。因此，教師需要安排第二層次的教學(xué)?！澳闶窃趺窗l(fā)現(xiàn)每一題的規(guī)律的”，實(shí)際上就是引導(dǎo)學(xué)生對探究過程中最重要的部分進(jìn)行回顧和反思，把內(nèi)隱的經(jīng)驗(yàn)通過語言表達(dá)出來。而“這三題的規(guī)律有什么不同？能給它們分分類嗎”，則引導(dǎo)學(xué)生思辨這一類規(guī)律問題的核心，發(fā)現(xiàn)三道例題的目標(biāo)指向是各不相同的：第一題是把分?jǐn)?shù)的分子和分母分開來思考的，學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了找整數(shù)規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，在這里就能把已有的經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用到分子或分母的規(guī)律發(fā)現(xiàn)中，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的提升;在第二題中，通過前三個(gè)分?jǐn)?shù)，學(xué)生得到的猜想是“分母不變，分子依次除以2”，但第五個(gè)分?jǐn)?shù)的分母變成了20，這讓學(xué)生意識到要把分?jǐn)?shù)看成一個(gè)整體，依次乘12;有了第二題的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在解決第三題時(shí)的難點(diǎn)就變成了思考從23到1（結(jié)合從1到32）發(fā)生的變化，即“倒數(shù)”的運(yùn)用。

通過以上兩個(gè)層次的回顧，學(xué)生思辨了自主探究活動(dòng)的過程，將原來積淀的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)和低層次的思維經(jīng)驗(yàn)不斷升華，抽象得到解決這一類問題的基本路徑。

二、動(dòng)手操作活動(dòng)：思方法，辨本質(zhì)

小學(xué)生的思維以直觀形象為主，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需認(rèn)識比較抽象一般的數(shù)學(xué)知識。對此，可以安排動(dòng)手操作活動(dòng)幫助學(xué)生完成這一過程。在動(dòng)手操作活動(dòng)中，學(xué)生能通過具體的操作行為，接觸到豐富的學(xué)習(xí)材料，形成直觀經(jīng)驗(yàn)。

例如，在《認(rèn)識長方形和正方形》一課中，為了研究“長方形的特征”，教師提供了如圖1所示的3組小棒，讓學(xué)生選一組圍長方形。

然后，展開了如下交流——

師你們選的是哪一組？

生（展示圍法，如圖2）第②組。

師為什么不選其他兩組呢？

生第①組小棒長度不一，圍不成長方形。

生第③組小棒長度都一樣，圍出來的是正方形。

師（出示圖3）老師也用第②組小棒圍了一個(gè)圖形，它是長方形嗎？

生不是。

師為什么不是？

生要把同樣長度的小棒面對面放。

師（同步板書）就是對邊相等。（出示圖4）那這個(gè)圖形滿足對邊相等條件，為什么還不是呢？

生邊要對齊，不能斜。

師把邊對齊以后，什么發(fā)生了變化？

生角。

師用三角尺上的直角去比一比，看看這四個(gè)角是什么角？

（學(xué)生操作后得到結(jié)論：四個(gè)角都是直角。教師同步板書。）

師所以，我們就得到了長方形的特征：對邊相等，四個(gè)角都是直角。

學(xué)生選擇小棒圍長方形的過程用時(shí)較少，但是動(dòng)手試一試的操作活動(dòng)讓他們獲得了對長方形邊長特征的直觀感受。這是構(gòu)建個(gè)人理解不可或缺的重要經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)然，這樣的感受明顯帶有個(gè)體認(rèn)識的成分，還存在原始、模糊的情況。因此，在學(xué)生完成了操作活動(dòng)后，教師帶領(lǐng)學(xué)生反思圍長方形的方法，即解決“怎么選”和“怎么擺”的問題。當(dāng)然，回顧的是方法，思辨的卻是長方形的本質(zhì)特征。教師先展示學(xué)生正確的圍法，使其建立清晰的表象。在表象建立后，學(xué)生需要完成從操作經(jīng)驗(yàn)到思維經(jīng)驗(yàn)的提升，因此教師安排了兩次示錯(cuò)：第一次示錯(cuò)，突出“相對的邊長度相等”;第二次示錯(cuò)，借邊的位置關(guān)系發(fā)現(xiàn)角的特征。通過這兩次示錯(cuò)，把學(xué)生對長方形模棱兩可的生活經(jīng)驗(yàn)提升為正確、清晰、數(shù)學(xué)化的認(rèn)知，即長方形的特征要從邊和角兩個(gè)方面思考。

三、綜合實(shí)踐活動(dòng)：思復(fù)合，辨體驗(yàn)

數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)，是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的創(chuàng)造性過程，也是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要載體。在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，復(fù)合程度越高的問題對學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)要求也越高，有許多活動(dòng)都需要學(xué)生有多種經(jīng)驗(yàn)參與其中：既要有操作的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也要有探究的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，甚至需要應(yīng)用意識的加入。在經(jīng)歷問題的解決過程之后，引導(dǎo)學(xué)生對解決問題的過程、策略進(jìn)行思辨，對解決問題過程中的感悟進(jìn)行分析，有助于學(xué)生完成知識的聯(lián)結(jié)、經(jīng)驗(yàn)的提升。

例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級下冊在“比例尺”內(nèi)容之后，安排了“你家在學(xué)校的什么方向？從學(xué)校到你家的距離大約有多遠(yuǎn)？先確定比例尺，再把你家的位置在下圖（見圖5）中表示出來，與同學(xué)交流”的綜合實(shí)踐活動(dòng)，旨在幫助學(xué)生在問題解決中加深對比例尺的概念及其應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識。

你家在學(xué)校的什么方向？從學(xué)校到你家的距離大約有多遠(yuǎn)？先確定比例尺，再把你家的位置在下圖中表示出來，與同學(xué)交流。

對此，可以在教學(xué)前，讓學(xué)生走一走從學(xué)校到家的路，記一記方向，估一估距離。課上，首先讓學(xué)生在圖上指一指、說一說自己家的位置以及學(xué)校到家的距離，然后引導(dǎo)學(xué)生用“我家在學(xué)校的（）方向，距離學(xué)校大約（）千米”的格式來表達(dá)。接著，讓學(xué)生量一量所給長方形地圖的長、寬，確定一個(gè)合適的比例尺，并標(biāo)在圖中。這里，選取兩種典型的比例尺（數(shù)值比例尺、線段比例尺）進(jìn)行全班交流。最后，讓學(xué)生在圖中畫出自己家的位置，畫好后交給同桌，由同桌根據(jù)圖示猜測對方家的位置和學(xué)校到其家的距離。

解決這個(gè)實(shí)際問題，需要用到“確定方向”“估算距離”“比例尺”這三個(gè)知識點(diǎn)，由于問題本身的實(shí)踐性、綜合性和開放性，所以對學(xué)生來講是有一定難度的。首先，雖然學(xué)生在第一學(xué)段學(xué)習(xí)了“認(rèn)方向”，也在“認(rèn)識千米”的學(xué)習(xí)過程中積累過“步測”的經(jīng)驗(yàn)，但是這個(gè)經(jīng)驗(yàn)并沒有在實(shí)踐中得到梳理、驗(yàn)證和應(yīng)用。因此，通過“走一走”“指一指”等活動(dòng)去激活經(jīng)驗(yàn)。其次，學(xué)生在本單元學(xué)習(xí)了比例尺的意義，也能運(yùn)用比例尺解決一些簡單的實(shí)際問題。通過對“家到學(xué)校的實(shí)際距離”與“圖紙所給的可用空間”的衡量，確定一個(gè)合適的比例尺，學(xué)生就能將前面學(xué)習(xí)中積累下來的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用于生活，對活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行再認(rèn)識、再體驗(yàn)。此外，通過對比例尺確定過程的思辨，學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)得到了概念化和形式化。最后，安排同桌互相交換讀圖驗(yàn)證，一方面是讓學(xué)生對思維過程進(jìn)行質(zhì)疑和補(bǔ)充，另一方面也使學(xué)生能夠?qū)φ麄€(gè)問題解決過程中的關(guān)鍵經(jīng)驗(yàn)要素進(jìn)行回顧和分析，有利于多種經(jīng)驗(yàn)的復(fù)合和提升。

值得注意的是，無論學(xué)生經(jīng)歷怎樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)行怎樣的思辨活動(dòng)，都需要積極的情感意志加入。因此，在學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，教師在引導(dǎo)學(xué)生對活動(dòng)要素進(jìn)行思辨的同時(shí)，也要關(guān)注學(xué)生或成功或失敗的情緒體驗(yàn)。

總之，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，需要教師明確目標(biāo)，根據(jù)數(shù)學(xué)活動(dòng)的類型，確定學(xué)生活動(dòng)的方式，使學(xué)生通過經(jīng)歷產(chǎn)生體驗(yàn)，經(jīng)過思辨形成探究的、操作的、情感的或復(fù)合的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。