在“淺顯”中求“深刻”

姜華

摘要：估算是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分。而估算難教、難學(xué)是不爭的事實(shí)：估算任務(wù)的主觀性、估算方法與結(jié)果的開放性、思維過程的復(fù)雜性等，常常導(dǎo)致教師與學(xué)生熟悉的思維方式呈現(xiàn)對立狀態(tài)。在理解估算內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，厘清蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第一學(xué)段估算內(nèi)容的編排脈絡(luò)，透析估算教學(xué)的現(xiàn)狀：看詞辨估，以假估代真估，取精算舍估算。進(jìn)而尋求將估算內(nèi)容與教學(xué)融入數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的實(shí)施策略——擇需而估：凸顯估算意義;比優(yōu)巧估：優(yōu)化估算方法;以用促估：培養(yǎng)估算意識。

關(guān)鍵詞：估算估算教學(xué)估算方法估算意識

估算是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）更是將估算作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、應(yīng)用意識、運(yùn)算能力、推理能力的重要方法和手段。但是估算難教、難學(xué)是不爭的事實(shí)：估算任務(wù)的主觀性、估算方法與結(jié)果的開放性、思維過程的復(fù)雜性等，常常導(dǎo)致教師與學(xué)生熟悉的思維方式呈現(xiàn)對立狀態(tài)。很多一線教師有著這樣的困惑：估算教學(xué)并未真正地融入小學(xué)數(shù)學(xué)課程。因此需要理解估算的內(nèi)涵，厘清教材中估算內(nèi)容的編排脈絡(luò)，透析估算教學(xué)的現(xiàn)狀，進(jìn)而尋求將估算內(nèi)容與教學(xué)融入數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的實(shí)施策略，實(shí)現(xiàn)估算教學(xué)的課程目標(biāo)。下面，筆者以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第一學(xué)段的部分估算內(nèi)容為例，嘗試對以上問題進(jìn)行解讀和分析。

一、估算的內(nèi)涵及教材編排特點(diǎn)

估算主要指在計算或測量中，無法或無須精確計算或測量時所采用的一種數(shù)學(xué)方法。廣義的估算包括對數(shù)量的估計、度量的估計、計算的估計，分別簡稱為估數(shù)、估測、估算（狹義）。估數(shù)、估測、估算（狹義）三者并不是孤立的，而是相互補(bǔ)充、互相促進(jìn)的。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對第一學(xué)段估算教學(xué)的目標(biāo)要求有：在生活情境中感受大數(shù)的意義，并能進(jìn)行估計;能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡單估算，體會估算在生活中的作用;能估測一些物體的長度，并進(jìn)行測量;會估計給定簡單圖形的面積。針對上述目標(biāo)，教材編排了如表1所示的估算內(nèi)容。

可以看到，估數(shù)和估算（狹義）主要出現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，而估測主要出現(xiàn)在“圖形與幾何”領(lǐng)域。估算教學(xué)的起點(diǎn)是對數(shù)量的估計，以估數(shù)為基礎(chǔ)，逐步過渡到估測和估算（狹義）。估數(shù)，從數(shù)的概念的角度來劃分主要有整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩類，從數(shù)的范圍的擴(kuò)展可劃分為四個階段——20以內(nèi)、100以內(nèi)、萬以內(nèi)、分?jǐn)?shù)。估測內(nèi)容的編排穿插于“計量單位”的教學(xué)中，主要涉及時間、長度、質(zhì)量、面積單位等，其中有關(guān)長度和質(zhì)量的估計也是分多步進(jìn)行的。估算（狹義）分為四類，分別是對加、減、乘、除運(yùn)算結(jié)果的估計。教材在呈現(xiàn)數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運(yùn)算、常見的量和測量等教學(xué)內(nèi)容時，有意識地利用數(shù)量的估計、度量的估測進(jìn)行估算的滲透，為估算教學(xué)做知識鋪墊和思想準(zhǔn)備。

這樣的編排，充分尊重了兒童的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。以“長度估測”為例，二年級學(xué)生身邊許多物體的長度是用厘米或米計量的，他們暫時還沒有能力以千米為單位計量較長的長度。因此五個常用的長度單位中，厘米和米適合低年級學(xué)生學(xué)習(xí)。教材遵循學(xué)生的發(fā)展規(guī)律和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)先后安排了“米和厘米”“分米和毫米”“千米”的度量估測。

但是，對比蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，我們會發(fā)現(xiàn)，在“精算”與“估算”的配比上，“精算”所占的比例更大，“估算”似乎只是一種點(diǎn)綴。而且，教材中估算內(nèi)容的編排是間隔的，學(xué)生雖然在某一階段掌握了一定的估算方法，但自主運(yùn)用的意識可能會隨著時間的推移而逐漸淡化。

厘清教材編排體系，辯證地看待教材對估算內(nèi)容的安排，也就不難理解估算教學(xué)的現(xiàn)狀了。

二、估算教學(xué)的現(xiàn)狀

（一） 看詞辨估

教材在編排估算教學(xué)內(nèi)容時，通常會出現(xiàn)“估一估”“大約”等明確的指令化要求，相關(guān)指示估算的詞伴隨著估算進(jìn)入了教材。因此就出現(xiàn)了兩種現(xiàn)象。一是學(xué)生只有在明確看到“估計”“大約”等指示詞時，才會主動采用估算的策略去解決問題。而類似于圖1所示的實(shí)際問題是沒有“大約”的估算。因?yàn)轭}中沒有出現(xiàn)“大約”一詞，學(xué)生的第一反應(yīng)幾乎都是精算，很少會想到估算。二是學(xué)生一看到“大約”，就采用估算。如下頁圖2所示問題中的“大約”其實(shí)是無法準(zhǔn)確但比較接近的意思，實(shí)際上是統(tǒng)計中“平均”的意思，因此可以說“每平方米闊葉林每月平均能放出2千克氧氣”。

此類問題的敘述中有“大約”，但是不應(yīng)該估算。學(xué)生在解答此題時常常會陷入“大約”的誤區(qū)，將18取近似數(shù)20來估算。

看到“大約”才估算，看到“大約”就估算，用“大約”等指示詞作為是否需要估算的判斷標(biāo)準(zhǔn)，可以反映出學(xué)生窄化了對估算的理解。在估算學(xué)習(xí)的初級階段，“估一估”“大約”等明確的指示詞是必要的。但是在學(xué)習(xí)過程中，“被指令”太多，學(xué)生會失去主動估算、自覺估算的意識;估算就成了明確指令下的一種條件反射，被異化為一種被動要求。

（二） 以假估代真估

在教材或教輔中經(jīng)常會出現(xiàn)類似圖3的練習(xí)，要求“先估計，再測量”，旨在發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)其數(shù)感和量感，提升其思維的敏捷性和靈活性。但是從實(shí)際教與學(xué)的情況來看，教師和學(xué)生往往都會將此類練習(xí)中的估測部分一帶而過。筆者曾針對此現(xiàn)象對一線教師做過訪談：部分教師因?yàn)樽非笳n堂教學(xué)的速度或者降低作業(yè)批改的復(fù)雜度，就直接“跳”過估算這一環(huán)節(jié);部分教師僅僅是讓學(xué)生隨意地估測一下，不會引導(dǎo)學(xué)生對估算結(jié)果進(jìn)行分析和評價。教師的忽略和隨意必然導(dǎo)致學(xué)生的應(yīng)付了之：學(xué)生會覺得估測是多此一舉，反正還是要測量出精確值的。因此有些“精明”的學(xué)生，常常是“先測量，再估算”，他們會在實(shí)際的測量結(jié)果附近任意找一個數(shù)填一填，有的還故意將差距拉大，來表明“我真的估計了”。

教材預(yù)設(shè)的估測活動被虛假估算所代替，估算過程形式化——這歸根結(jié)底是教師對估算教學(xué)的價值認(rèn)識不到位。

（三） 取精算舍估算

筆者曾用問題“小紅家到學(xué)校有500米的路程，小紅早上上學(xué)，每分鐘走72米，8分鐘能走到學(xué)校嗎”，分兩個階段在四個班級進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)，分析學(xué)生的解題策略。實(shí)驗(yàn)的兩個時間段分別安排在學(xué)生學(xué)習(xí)了“兩位數(shù)乘一位數(shù)的估算”和“兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算”之后，四個班級分別是A班（32人）、B班（33人）、C班（31人）、D班（31人）。

第一階段的實(shí)驗(yàn)選擇了A班和B班，共65人參與。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表2。

43.1%的學(xué)生選擇了精算的策略，正確率達(dá)到85.7%;56.9%的學(xué)生選擇了估算的策略，正確率為37.8%。為什么采用估算策略的人數(shù)高于精算？一是，實(shí)驗(yàn)時間選在了學(xué)生剛學(xué)完“兩位數(shù)乘一位數(shù)的估算”之后，知識“熱度”還比較高，“印象度”還比較深刻。根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，他們在此時會采用“老師教什么就用什么”的解題方式。二是，部分學(xué)生還不會兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算，所以只能選擇估算。此題估算的知識背景是整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)，計算難度低。

第二階段的實(shí)驗(yàn)選擇了C班和D班，共62人參與。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見下頁表3。

80.6%的學(xué)生選擇了精算的策略，正確率達(dá)到94.0%;19.4%的學(xué)生選擇了估算的策略，正確率為58.3%。在學(xué)習(xí)了“兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算”之后，絕大部分學(xué)生自然地選擇了精算，正確率也比較高;對比之下，只有少部分學(xué)生采用了估算的解題方法，正確率偏低。分析采用估算策略的學(xué)生的思路，發(fā)現(xiàn)多人出現(xiàn)了估算步驟完整，但結(jié)論發(fā)生錯誤的現(xiàn)象。

從對學(xué)生的訪談中，筆者發(fā)現(xiàn)：學(xué)生普遍覺得估算有風(fēng)險，采用需謹(jǐn)慎。估算只是對結(jié)果所在區(qū)域范圍的描述，沒有精算出的定值準(zhǔn)確，因此在運(yùn)用估算解決實(shí)際問題的過程中，會產(chǎn)生拿不準(zhǔn)的感覺。這種“拿不準(zhǔn)”的感覺有時會影響判斷，因此更愿意選擇精算。

三、深耕教材，讓估算教學(xué)由“淺顯”走向“深刻”

（一）擇需而估：凸顯估算意義

估算教學(xué)，必定涉及估算方法的教學(xué)，簡而言之就是“怎么估”。很多教師對此會有細(xì)化的要求及格式指導(dǎo)。學(xué)生在練習(xí)時往往會成為“數(shù)學(xué)的搬運(yùn)工”，只會套用規(guī)定的方法、格式，而無法理解為什么這么估，不能了解估算的意義和價值。

例如，一年級下冊第三單元中的一道數(shù)星星的題目（見圖4），要求學(xué)生“邊數(shù)邊估”。這是“大約”一詞在教材中首次正式出現(xiàn)。在這個單元，學(xué)生要認(rèn)識21—100的整數(shù)。而在本課之前的教材中出現(xiàn)過類似的題目（見圖5），其要求還是“數(shù)”?！懊繑?shù)10顆圈一圈，邊數(shù)邊估”，其實(shí)是對估算方法的指導(dǎo)。但是為什么這樣估，學(xué)生不明其因。

若將題目改為“估一估，大約有幾十顆”，學(xué)生就會感到特別為難。心理學(xué)研究表明，人本能感知到的而不用一個個數(shù)出來的物體的數(shù)量最多是5個。面對這么多毫無排列規(guī)律的圖案，學(xué)生很難估計，因此他們第一反應(yīng)報出來的答案，不僅眾說紛紜，而且十之八九是“猜的”，與準(zhǔn)確值的差距也較大。這種情況下，讓學(xué)生先“數(shù)出10顆圈一圈”，然后估一估，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)，估計的數(shù)值范圍小了一些，但離準(zhǔn)確值還有差距;再圈出10顆，有了兩個10顆作為參照物，估出的數(shù)值范圍就更小了，與準(zhǔn)確值就更接近了……這樣的教學(xué)過程就很好地詮釋了“邊數(shù)邊估”的內(nèi)涵，也讓學(xué)生懂得了為什么要“每數(shù)10顆圈一圈”，明白了估計物體的數(shù)量并不是毫無根據(jù)地猜測。

（二）比優(yōu)巧估：優(yōu)化估算方法

估算在數(shù)學(xué)課程中呈現(xiàn)出的基本矛盾之一就是，估算方法的靈活性不同于通常標(biāo)準(zhǔn)算法結(jié)果的確定性。開放的估算方法，自然會帶來多樣的估算結(jié)果。面對眾多估算結(jié)果，是一帶而過還是進(jìn)一步優(yōu)化處理，是值得深思的問題。

例如，上文圖3的練習(xí)，將估計值與實(shí)際值放在同一表格中呈現(xiàn)，旨在進(jìn)一步將兩列數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，感受相差值，從而進(jìn)行估測方法的優(yōu)化。

再如，二年級上冊中的一道測量手掌寬和一拃長的題目（見下頁圖6），就為估測的優(yōu)化埋下了伏筆。手掌的寬度、一拃的長度……這些“身體尺”學(xué)生很感興趣，就容易記住相應(yīng)的長度數(shù)據(jù)，因此，在估測橡皮、粉筆、數(shù)學(xué)書的長度時，就可以借用“身體尺”輔助。這樣“以物估物”，其實(shí)就是基于需要靈活選擇估測的單位。在這樣的估測和實(shí)測的對比下，學(xué)生體會到：“身體尺”也能幫助估測長度，但是要得到準(zhǔn)確的結(jié)果，還是要用尺量。

（三）以用促估：培養(yǎng)估算意識

三年級上冊第一單元中，所有“整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)的估算”的內(nèi)容全部安排了問題情境。這說明教材十分注重以實(shí)際問題為載體，以兒童的生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)為生長點(diǎn)，精心選擇問題情境編排估算內(nèi)容的教學(xué)，重視在問題解決中增強(qiáng)學(xué)生的估算意識。但是當(dāng)面對如圖7所示的一組練習(xí)時，一些學(xué)生又陷入了精算的“坑”。學(xué)生被情境所困，剝離情境后，主動自覺估算的意識就比較淡薄了。用估算的方法解決這些問題，從算式的計算程序來看，其強(qiáng)度和難度都有所下降，而從整體思維的角度來看，會涉及分析、判斷、合情推理等，其思維含量又遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于精確計算的程序性思維。

意識難教，但是可以耐心地培養(yǎng)。教材只是提供了最基本的教學(xué)內(nèi)容，只是教學(xué)的“中介材料”，并不是教學(xué)的全部。我們應(yīng)活用教材，改編估算素材，不斷地提供機(jī)會，讓學(xué)生在精算與估算的互動中碰撞，在碰撞中對比，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化頓悟，提升學(xué)生自覺估算的意識。

估算方法的教學(xué)很重要，而估算意識的培養(yǎng)更為重要。筆者主張，意識先行、方法相伴。技能技巧是可以通過學(xué)習(xí)、訓(xùn)練獲得并強(qiáng)化的，而在什么情境下選擇估算策略，這樣的意識是比較難以習(xí)得的，卻是學(xué)生學(xué)習(xí)能力的真正體現(xiàn)。深耕教材，改編教材，努力挖掘教材中隱含的估算素材，為學(xué)生搭建估算的平臺，才能促使學(xué)生真正把估算內(nèi)化為一種自覺行為。

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