從培養(yǎng)中學數(shù)學教師的角度淺談《數(shù)學分析》的教學

摘?要：一名合格的中學數(shù)學教師要有扎實的專業(yè)基礎和完整的理論知識體系，更要有不斷學習研究的能力，這對大學課程的教學提出了更高的要求。本文以《數(shù)學分析》中和中學數(shù)學內容聯(lián)系緊密的內容為例來談談如何在教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學學習和研究的能力。

關鍵詞：數(shù)學分析;中學數(shù)學;數(shù)學能力

很多學生認為《數(shù)學分析》這門課對數(shù)學專業(yè)的后繼課程比較重要，但是對中學數(shù)學教學幫助不大，對于以后想從事中學數(shù)學教育的學生來說，還不如多熟悉一下中學教材。我們指出，這是一個極其錯誤的觀念，作為中學數(shù)學教師，要有深厚扎實的數(shù)學基礎知識、數(shù)學學科完整的理論體系和開闊的數(shù)學視野，在教學中才能高屋建瓴、深入淺出。這對大學課程的教學提出了更高的要求，如何在課程的教學中培養(yǎng)學生數(shù)學思想、數(shù)學觀念、數(shù)學品質并幫助學生構建系統(tǒng)的數(shù)學知識理論體系？下面我們以《數(shù)學分析》這門課程中與中學數(shù)學聯(lián)系緊密的內容為例，來談談如何在教學中培養(yǎng)學生的這些能力。

一、 “實數(shù)”理論教學

在初中二年級時我們就知道正的整數(shù)和分數(shù)，負的整數(shù)和分數(shù)以及零，叫作有理數(shù)，它是無限循環(huán)小數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。為什么大學課程《數(shù)學分析》還要再講實數(shù)，而且將實數(shù)理論看得這么重要？這是因為數(shù)學分析的主要研究對象是實函數(shù)，主要研究課題是這些函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性與級數(shù)展開。

許多數(shù)學家進行長期大量的研究發(fā)現(xiàn)，這些理論的基礎是嚴格的極限理論，而人們發(fā)現(xiàn)極限理論的基本原理依賴于實數(shù)的完備性，從而需要了解實數(shù)的發(fā)展并對它給出嚴格的定義。

我們最熟悉的是正整數(shù)1，對其作加法我們就得到了所有正整數(shù)集合

如果我們對做減法就會導致零和負數(shù)的產生，從而得到了全體整數(shù)集合

如果我們對做除法運算，便產生了分數(shù)，從而我們得到了所有的有理數(shù)集合

很長時間內，大家都認為數(shù)就是有理數(shù)，都可以寫成兩個整數(shù)的商。直到畢達哥拉斯的一個學生發(fā)現(xiàn)兩直角邊為1的三角形的斜邊的長不能寫成兩個整數(shù)的商，才發(fā)現(xiàn)了新的數(shù)。那么問題就來了，這樣的數(shù)應該怎樣定義呢？

我們中學教材說無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，這個說法只能說明它是實數(shù)的一種表示，而作為定義是欠妥的。因為我們是將無理數(shù)看成是它的不足近似所構成的有理點列的極限值。而極限理論是依賴于實數(shù)的完備性理論的，這樣我們就犯了邏輯上的錯誤。為了解決這個問題，很多數(shù)學家做了很多努力，最后圓滿地給出了無理數(shù)的定義，其中最主要的是戴德金和康托建立的實數(shù)理論（相關定義見[1][2][3]）。我們簡要敘述一下康托的實數(shù)理論，他注意到在有理數(shù)內的基本列有的收斂，有的不收斂。于是他將收斂的有理基本列定義為有理數(shù)，不收斂的有理基本列定義為無理數(shù)，這樣實數(shù)就是有理基本列的全體。

實數(shù)域與有理數(shù)域的一個重要差別在于實數(shù)集布滿了整個實軸，它是連續(xù)不斷的，這種連續(xù)性也稱為實數(shù)的完備性，它本質上說明了實數(shù)域對極限運算是封閉的。換言之，當實數(shù)域中的一個序列無限接近一個數(shù)時，這個數(shù)一定還在這個域中?？坍媽崝?shù)的完備性有很多種等價的說法，它們分別是：單調有界定理、閉區(qū)間套定理、致密性定理、柯西收斂準則、有限覆蓋定理和確界原理（相關定義見[1][2][3]）。

實數(shù)的完備性理論建立起來后，我們就可以自由地討論極限理論了，以此為工具研究函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性以及級數(shù)展開。在高維歐氏空間或者無窮維度量空間中討論極限理論，也必須先建立相應的完備性理論。

通過對實數(shù)理論的系統(tǒng)分析，讓學生理解了這一理論的重要性，對整個中小學階段所學的實數(shù)的相關性質有了重新的認識，提高了數(shù)學品味，為他們以后走上中學講臺打下了基礎。

二、 “函數(shù)”理論教學

一個變量完全由其他量所確定，我們稱前者為因變量，后者為自變量，它們之間的這種確定性的依賴關系稱為函數(shù)關系。對于大多數(shù)學生而言，他們認為所謂函數(shù)關系就是由解析表達式所表示的關系，例如y=sinx+2x+5。

數(shù)學分析課程中還有很多這樣和中學內容銜接很緊密的內容，我們應該在教學過程中培養(yǎng)學生的學習和思考的習慣，強調數(shù)學概念及其發(fā)展歷史，探究問題存在的條件，思考概念的廣義化，強調數(shù)學問題中的數(shù)學思想和數(shù)學觀念，打好堅實的基礎，擴大數(shù)學視野，將所學理論知識形成體系并應用于實際問題。

參考文獻：

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第五版）[M].高等教育出版社，2019.

[2]伍勝健.數(shù)學分析[M].北京大學出版社，2011.

[3]陶哲軒.陶哲軒實分析[M].人民郵電出版社，2012.

作者簡介：

唐樹安，貴州省貴陽市，貴州師范大學數(shù)學科學學院。