淺談指向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

丁靜

摘要：在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，重視數(shù)學(xué)概念的引入方法，注重概念的形成過程，加強概念的遷移應(yīng)用，可以促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)，有效地提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)和思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念教學(xué);深度學(xué)習(xí)

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）23-035

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。如果學(xué)生沒有學(xué)好數(shù)學(xué)概念，那么對數(shù)學(xué)公式、定理和方法就不可能理解，就不能順利開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，最終也不能促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，達到深度學(xué)習(xí)。那么，如何在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中開展深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)呢？

一、巧引入，趣化概念教學(xué)的序章

概念引入是概念教學(xué)的第一步，也是概念形成的基礎(chǔ)。概念教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體的實例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程。在引入中創(chuàng)設(shè)各種情境，給予學(xué)生學(xué)習(xí)體驗。沉浸體驗式學(xué)習(xí)是深度學(xué)習(xí)的重要學(xué)習(xí)方式。下面介紹幾種引入數(shù)學(xué)概念的方法：

1.創(chuàng)設(shè)問題情境引入新概念

我們可以創(chuàng)設(shè)具有趣味性，探索性的問題情境，激發(fā)學(xué)生概念學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生在對問題的分析中，歸納和抽象出概念的本質(zhì)特征。

例如：在講解等可能性概念時。由于概念比較長，為幫助學(xué)生理解，我們可以引入這樣的問題情境。江蘇省乒乓球比賽在市體育館舉行，我校每班發(fā)到一張入場券，現(xiàn)在我班有兩名同學(xué)小盧和小錢為此名額爭得面紅耳赤，你能為他們支招嗎？從現(xiàn)實出發(fā)，因為當(dāng)時上這節(jié)課的時候市體育館正在舉行江蘇省乒乓球比賽，所以問題一出來，就吸引學(xué)生，學(xué)生積極投入出主意，有的說拋硬幣，拋圖釘，抽簽，擲骰子，通過不同的主意幫助學(xué)生歸納出事件發(fā)生等可能的概念。

2.創(chuàng)設(shè)虛擬情境引入新概念

運用人工智能、三維動畫、模擬仿真等技術(shù)，構(gòu)建一個集聲音、畫面、場景、人物（角色）等要素于一體的體驗式虛擬學(xué)習(xí)空間。

例如講解勾股定理時，可以利用多媒體為學(xué)生展示勾股樹，引導(dǎo)學(xué)生在觀看動畫過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，增強了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望。

3.從實際生活中引入新概念

引入數(shù)學(xué)概念要根據(jù)概念類型，以具體的典型材料和實例為基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)情境，幫助學(xué)生完成由感知材料到理性認識的過渡。

例如：在講解三角形概念時，我們可以列舉生活中含有三角形的實物，大到宏偉的建筑物，高樓大廈，飛機機翼，小到分子結(jié)構(gòu)，使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實世界中抽象出幾何模型的過程。

4.用類比的方法引入新概念

類比不僅是思維的一種重要形式，也是引入新概念的一種重要方法。對于相關(guān)的概念要進行類比、分析，弄清內(nèi)在聯(lián)系，歸納出概念的本質(zhì)特征。

例如：由電影票上都標有“第x排第y座”的字樣，得出“用一對有序?qū)崝?shù)確定點的位置”，由“溫度計”引導(dǎo)學(xué)生認識“數(shù)軸”，用“分數(shù)”類比“分式”等概念的教學(xué)，都可以通過類比引入。

5.介紹數(shù)學(xué)史引入新概念

知識只有通過情感體驗融入學(xué)習(xí)者的心理結(jié)構(gòu)，內(nèi)化為學(xué)習(xí)者的心理結(jié)構(gòu)，再內(nèi)化為學(xué)習(xí)者的情感、態(tài)度和價值觀，才能實現(xiàn)其最大價值概念的形成。

例如在“平面直角坐標系”教學(xué)中，教師可與學(xué)生分享著名數(shù)學(xué)家笛卡爾的故事：笛卡爾在夢中觀察一只蜘蛛結(jié)網(wǎng)，然后由其結(jié)網(wǎng)的距離、運動軌跡等規(guī)律發(fā)明了平面直角坐標系。學(xué)生在此過程中會因故事的有趣而產(chǎn)生對平面直角坐標系這個知識點的濃烈興趣，繼而會迫切地想知道由蜘蛛結(jié)網(wǎng)啟發(fā)而生成的數(shù)學(xué)知識是何種形式。這樣教師便有效地激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)興趣。

以上介紹了5種引入概念的方法，當(dāng)然還有其他的方法，比如利用學(xué)具，操作體驗等方法，不管是何種方法，我們都要創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生體驗。體驗是深度學(xué)習(xí)的本質(zhì)使然。深度學(xué)習(xí)需要情境體驗。在概念教學(xué)中要創(chuàng)設(shè)各種情境，引導(dǎo)學(xué)生求知的欲望。

二、重過程，強化概念的形成過程

1.把概念的生成過程問題化

問題是數(shù)學(xué)活動的心臟。問題探究式學(xué)習(xí)是深度學(xué)習(xí)的重要學(xué)習(xí)方式。將數(shù)學(xué)概念的形成過程、形式化的數(shù)學(xué)概念及一些相關(guān)的材料轉(zhuǎn)化為富有生活意義的問題，形成問題情境，從而把學(xué)生帶入問題中。在問題探究中“學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”，使概念學(xué)習(xí)變?yōu)閷W(xué)生的內(nèi)在需求。

例如：在引出圓的集合的定義時，可以設(shè)計問題1.生活中離不開圓，你能解釋為什么車輪做成圓形的呢？后續(xù)再設(shè)計追問，歸納得出圓上各點到定點的距離都等于定長這個結(jié)論;再設(shè)計問題2.同學(xué)們在玩投圈游戲時，如何站游戲才公平？幫助學(xué)生體會：到定點的距離都等于定長的點都在同一個圓上這個結(jié)論。通過這兩個問題的探究和分析，將學(xué)生的生活經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)認知，學(xué)生在充分理解的基礎(chǔ)上形成圓的集合定義就非常自然了。

2.把握概念的內(nèi)涵和外延

概念的內(nèi)涵就是反映在概念中的對象的本質(zhì)屬性，它說明概念反映的事物是什么樣的。概念的外延是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對象，它說明概念所反映的是哪些事物。它反映的是概念的量的方面。

例如：“平行四邊形”的內(nèi)涵是“兩組對邊分別平行”，它揭示了“平行四邊形”與“四邊形”的隸屬關(guān)系，以及它們之間的區(qū)別性。其中的關(guān)鍵詞“兩組對邊分別平行”，既可以作為平行四邊形的判定方法，又可以是平行四邊形的一個性質(zhì);“平行四邊形”的外延是指矩形、菱形、正方形的全體，我們還可以通過表格的形式幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵和外延，幫助形成一個完整的概念認知地過，既符合學(xué)生的認知需要，又體現(xiàn)了概念形成的特點。

3.抓住概念間的聯(lián)系和區(qū)別

數(shù)學(xué)概念不是孤立的，而是存在著橫向與縱向的關(guān)系。在教學(xué)時我們可以把有關(guān)的概念串聯(lián)起來，充分揭示它們之間的內(nèi)在規(guī)律，啟發(fā)學(xué)生進行系統(tǒng)歸納，明確概念的聯(lián)系和區(qū)別。

（1）類比聯(lián)想并列相關(guān)的概念。例如：二次根式的加減就是合并同類二次根式，它可以與初一的整式加減中的合并同類項類比，使合并同類根式與合并同類項的新舊意義迅速得到同化。在類比中找特點，在聯(lián)想中求共性，把數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化。

（2）對比區(qū)別容易混淆的概念。例如：學(xué)完“冪的運算”可以把初一下學(xué)期的冪的乘除乘方運算和上學(xué)期的加減運算放在一起找出他們的區(qū)別和聯(lián)系。通過對比加深對概念的理解，避免混淆，從而提高學(xué)生認知概念的清晰度。

（3）圖表體現(xiàn)從屬關(guān)系的概念。以圖表的形式表現(xiàn)出來，便于學(xué)生將概念系統(tǒng)化、條理化，有利于記憶和理解。例如：平行四邊形，菱形，矩形，正方形用這張圖表示他們的從屬關(guān)系一目了然，進一步加深了對他們之間的聯(lián)系和區(qū)別的理解。

三、重延展，活化概念的遷移應(yīng)用

遷移應(yīng)用是深度學(xué)習(xí)的重要特征，把新學(xué)的知識與已知的概念、原理聯(lián)系起來，促進新知識的學(xué)習(xí)與新技能的形成。布魯姆的教學(xué)目標認知維度中把應(yīng)用、分析、評價、創(chuàng)造歸為遷移，屬于深度學(xué)習(xí)范疇，深度學(xué)習(xí)課堂重視知識的遷移。

1.遷移應(yīng)用，促進問題的有效解決

從深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵來看，非常重視學(xué)習(xí)的遷移應(yīng)用，要引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念，通過變式將所學(xué)知識運用在新情境中解決問題，達到遷移的目的。

例如：在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)k的幾何意義時可設(shè)計

問題1.如圖，點A在雙曲線y=6/x上運動，過點A向兩坐標軸作垂線段得矩形ABOC，試判斷矩形ABOC面積的變化情況，并說明理由。

變式1.若點A在第三象限的雙曲線圖像上運動，上述結(jié)論成立嗎？

變式2.若修改反比例函數(shù)的表達式，上述結(jié)論還能成立嗎？

變式3.在問題1中，若連接AO，則△AOB的面積是______________ ，△AOC的面積是 _____________。

變式4.對于y=k/x（k≠0），則△AOB的面積是_____________ ，△AOC的面積是 _____________。

通過精心設(shè)計典型性的問題和變式，讓學(xué)生通過多層次、多角度的練習(xí)，來達到正確理解概念、鞏固概念的目的。深度學(xué)習(xí)需要學(xué)生置身于具體的情境之中提出問題，并通過對比、分析、比較、概括和歸納，以及調(diào)研、實驗、問題求解以及創(chuàng)造等學(xué)習(xí)活動，對于問題作出自己的判斷，從而尋找出解決問題的有效方法。

2.遷移應(yīng)用，建立新舊知識間的聯(lián)系

從深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵來看，非常重視學(xué)習(xí)的遷移應(yīng)用，要引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念，通過“數(shù)學(xué)活動”將所學(xué)知識運用在新情境中解決問題，達到遷移的目的。以學(xué)生的認知為基礎(chǔ)，充分挖掘概念的內(nèi)涵，以學(xué)生的認知為基礎(chǔ)，不斷豐富概念內(nèi)涵，在理解概念的基礎(chǔ)上學(xué)會遷移與運用。

例如學(xué)生結(jié)束了一次函數(shù)整章的學(xué)習(xí)后，對函數(shù)的認識往往停留在運用規(guī)律性結(jié)論解決具體問題的層面上，缺乏方法的提煉與能力的提升，可以通過活動幫助學(xué)生掌握研究函數(shù)問題的一般方法?？稍O(shè)計

活動1.回憶函數(shù)y=2x圖像及其性質(zhì)的探究過程，向?qū)W生提問函數(shù)的性質(zhì)在表格和解析式中是否有體現(xiàn)？

活動2.教師分別以圖像、解析式、表格三種不同形式展示三個函數(shù)，請學(xué)生分別從函數(shù)的三種不同表示方法分析函數(shù)的性質(zhì)。

活動3.探究函數(shù)y=x+1/x的性質(zhì)。

活動4.探究函數(shù)y=2x3-x的性質(zhì)。

學(xué)生應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)初步探究的一般方法進行合作探究，遷移鞏固所學(xué)方法，提升合作交流能力，獲得成功的體驗，達到深度學(xué)習(xí)。

3.遷移應(yīng)用，促進學(xué)習(xí)過程的建構(gòu)反思

進行反思性的建構(gòu)是深度學(xué)習(xí)的重要特征。數(shù)學(xué)知識之間是存在內(nèi)在聯(lián)系的，提高學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的知識聯(lián)結(jié)能力是實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的體現(xiàn)。在教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生反思所學(xué)，在數(shù)學(xué)原理、定義以及法則之間組織起有效的認識結(jié)構(gòu)，從而形成知識網(wǎng)絡(luò)，在此過程中實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

我們還可以引導(dǎo)學(xué)生通過思維導(dǎo)圖的方式梳理各概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，在此反思建構(gòu)過程中學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解得到再認識和再升華，從而形成不同的類別、形態(tài)以及性質(zhì)的知識結(jié)構(gòu)。實現(xiàn)學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念認知的擴展和延伸。

走向深度學(xué)習(xí)是課改的必然要求，也是課改深度的重要標志。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，我們應(yīng)采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科知識的認知深度和思維深度，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力、批判性思維能力、自主學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)造性思維能力以及信息素養(yǎng)和協(xié)作能力，從而有效地提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)和思維品質(zhì)。

（作者單位：太倉市第二中學(xué)，江蘇 太倉215400）