各美其美 美美與共

扈保洪

【摘 要】 考慮到對一組數(shù)據(jù)離散意義的刻畫與離散程度的量化密切相關(guān)的特點，文章將教科書（青島版）中“數(shù)據(jù)的離散程度”和“方差”兩節(jié)內(nèi)容進行了整合，在使其內(nèi)容更加凝練的同時，主要探討了第1課時的教學(xué)問題，并給出新穎的教學(xué)設(shè)計

【關(guān)鍵詞】 離散程度;散點圖;教學(xué)設(shè)計

在一次區(qū)級教學(xué)能手評選活動中，筆者有幸聆聽了幾節(jié)課，課的內(nèi)容分別是“4.4?數(shù)據(jù)的離散程度”和“4.5?方差（第1課時）”（見青島版八年級數(shù)學(xué)教課書（上冊），130—137）.聽課引發(fā)筆者對上述教學(xué)內(nèi)容的關(guān)注和探究，因而有了自己的教學(xué)思考及設(shè)計.現(xiàn)整理成文，與同仁交流.

1 基于課程目標(biāo)的教學(xué)分析

1.1 目標(biāo)與現(xiàn)狀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對“數(shù)據(jù)的離散程度”及其相關(guān)內(nèi)容，規(guī)定了以下教學(xué)目標(biāo)：

（1）體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，會計算簡單數(shù)據(jù)的方差;

（2）知道可以通過樣本方差推斷總體方差;

（3）能解釋統(tǒng)計結(jié)果，根據(jù)結(jié)果做出簡單地判斷和預(yù)測，并能進行交流

顯然，在上述目標(biāo)體系中，“體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，會計算簡單數(shù)據(jù)的方差”，是教學(xué)的關(guān)鍵，屬于重中之重.而在該條具有二元結(jié)構(gòu)（“體會意義”和“簡單應(yīng)用”）的目標(biāo)中，“體會意義”進而提煉方差公式又起著主導(dǎo)作用.但由于揭示數(shù)據(jù)離散意義的過程比較繁瑣，更難以使學(xué)生真正理解方差公式的直觀意義，故面對上述同樣的課程目標(biāo)體系，不同的教科書的處理方式卻有很大差別.例如：

“20.2?數(shù)據(jù)的波動程度（第1課時）”（見人教版八年級數(shù)學(xué)教科書（下冊））的編排思路為：認(rèn)識研究數(shù)據(jù)離散程度的必要性→直接給出方差公式，并結(jié)合散點圖簡單解釋其意義→方差公式的簡單應(yīng)用.這種教學(xué)設(shè)計匠心獨運，它不僅使學(xué)生對數(shù)據(jù)離散程度的意義有所了解，而且巧妙的避開了教學(xué)難點，讓學(xué)生把更多精力投入到運用方差公式解決實際問題上來，因而有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.按照這樣的設(shè)計進行教學(xué)，既省時又省力，很適合在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較薄弱的班級使用

而“4.4?數(shù)據(jù)的離散程度和4.5?方差（第1課時）”的編排思路為：認(rèn)識研究數(shù)據(jù)離散程度的必要性→利用散點圖刻畫數(shù)據(jù)離散的意義→以離差為背景，提煉方差公式→方差公式的簡單應(yīng)用.這種教學(xué)設(shè)計立意高遠，它以數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo)，注重刻畫數(shù)據(jù)離散的意義，充分展現(xiàn)方差公式的提煉過程，因而抓住了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要契機，能使他們經(jīng)歷研究一個數(shù)學(xué)對象的完整過程，有利于學(xué)生砥礪思維，去聯(lián)想、去創(chuàng)造，對提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)極其有益

鑒于不同的教學(xué)設(shè)計各美其美的現(xiàn)狀，如果能創(chuàng)新設(shè)計思路，美美與共，就上述內(nèi)容推出愈加完善的教學(xué)設(shè)計成果，那么對教學(xué)無疑具有重要意義.

1.2? 教學(xué)設(shè)想

基于上述課程目標(biāo)體系的要求，考慮到數(shù)據(jù)離散意義的刻畫與其離散程度的量化密切相關(guān)，前者能自然升華為后者的特征，筆者認(rèn)為教學(xué)上述內(nèi)容時，可在保持青島版教科書立意深刻這一風(fēng)格的基礎(chǔ)上，汲取人教版教科書內(nèi)容凝練的優(yōu)點，將“4.5?方差”整合到“4.4?數(shù)據(jù)的離散程度”中，從而把對數(shù)據(jù)離散意義的刻畫與提煉方差公式有機融合起來，以達到內(nèi)容更精當(dāng)、思路更自然、過程更精煉的目的.這樣處理可在教學(xué)內(nèi)容基本保持不變的情況下，教學(xué)時間由原來的3課時縮減為2課時，其中第一課時的教學(xué)目標(biāo)為“體會刻畫離散程度的意義”，并提煉出方差公式;第二課時的目標(biāo)為運用公式“計算簡單數(shù)據(jù)的方差”，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識

特別地，對第一課時的教學(xué)作如下構(gòu)思：

（1）構(gòu)建合理的邏輯過程，強化數(shù)據(jù)分析的基本套路

為了使《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》所規(guī)定的目標(biāo)落地生根，教學(xué)中本著“學(xué)生是主體，教師為主導(dǎo)”的課程理念，以學(xué)生為中心，引導(dǎo)他們積極思考，主動探索，充分利用方差公式的提煉過程，設(shè)計一些更富有啟發(fā)性的探究活動：

①通過一個僅由數(shù)據(jù)的集中指標(biāo)難以解答的典型問題搭橋引渡，促使學(xué)生拓展思路，在原有知識的基礎(chǔ)上做出較為自然的選擇，想到畫統(tǒng)計圖（散點圖）考察數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，并由此引出課題：“數(shù)據(jù)的離散程度”

②不直接給出方差公式，而是站在育人的高度，運用幾何直觀手段啟迪想象，使學(xué)生通過直覺聯(lián)想，從散點圖上直接找出反映每個數(shù)據(jù)點離散狀況的量及其表達式，再因勢利導(dǎo)，考察這組表達式的集中趨勢，得到反映所有數(shù)據(jù)點平均離散狀態(tài)的綜合表達式，并以此為鋪墊拾級而上，逐步提煉方差公式

（2）注重對數(shù)據(jù)離散的意義進行刻畫，打牢離散程度的量化根基

因為數(shù)據(jù)離散的意義內(nèi)涵較為深刻，學(xué)生不好理解，所以不僅通過具有辯證性質(zhì)的動態(tài)散點圖模型把復(fù)雜的問題形象化，變深奧為淺顯，便于學(xué)生由淺入深地理解與把握;還要用不同形式的散點圖創(chuàng)設(shè)在比較、發(fā)現(xiàn)中螺旋上升的教學(xué)思維模式，在此框架下組織學(xué)生互動交流，啟發(fā)他們從不同的側(cè)面深刻領(lǐng)悟數(shù)據(jù)離散的意義，進而得出反映數(shù)據(jù)離散情況的不同量化標(biāo)準(zhǔn)及量化表達式，最后擇優(yōu)而選得到結(jié)論

（3）用數(shù)學(xué)符號代替數(shù)據(jù)進行推理，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識

將問題中的具體數(shù)據(jù)用符號代替，可充分發(fā)揮字母表示數(shù)的優(yōu)越性，進一步挖掘數(shù)據(jù)內(nèi)在的邏輯力量，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維過程，使學(xué)生能夠根據(jù)數(shù)據(jù)中所蘊涵的信息，更好地表達思想和進行數(shù)學(xué)推理，從而將他們的認(rèn)識不斷引向深入，直至發(fā)現(xiàn)數(shù)量規(guī)律性.這樣，既能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識，又有助于順利達成教學(xué)目標(biāo).

2 基于教學(xué)分析的活動設(shè)計

2.1 問題情境

（1）提出問題

過渡語：在學(xué)習(xí)了數(shù)據(jù)的集中趨勢后，就可以對一組數(shù)據(jù)的一般水平有一個大體的把握，但是，僅僅用集中指標(biāo)來描述一組數(shù)據(jù)是遠遠不夠的.對此，請思考下面的問題：

時代中學(xué)田徑隊的甲、乙兩名運動員最近8次百米跑的訓(xùn)練成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

現(xiàn)要從甲、乙兩名運動員中挑選一人代表學(xué)校參加區(qū)級運動會，選誰去比較好呢？

（2）情境導(dǎo)航

提問：對于這個問題，要想知道選哪位運動員比較好，首先應(yīng)看他們的平均成績（強調(diào)：平均成績是各個訓(xùn)練成績的偶然性、隨機性特征互相抵消后的穩(wěn)定值，它是對所提供的成績信息運用得最充分的指標(biāo)），可是兩人的平均成績相同，都是12.5s.這種情況下，你認(rèn)為應(yīng)怎樣比較兩名運動員的訓(xùn)練水平呢？

意圖：推陳出新，將學(xué)生的思維引向考察訓(xùn)練成績的離散情況，想到把統(tǒng)計數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計圖

預(yù)設(shè)：若學(xué)生提出比較兩組成績的中位數(shù)或眾數(shù)，則指明它們的中位數(shù)都是12.45s、眾數(shù)都是12.2s，以便將學(xué)生的思路及時引導(dǎo)到畫統(tǒng)計圖上來;若學(xué)生的思路轉(zhuǎn)換有困難，則引導(dǎo)學(xué)生回顧七年級學(xué)過的“數(shù)據(jù)的收集、整理與描述”等相關(guān)知識.

2.2 建構(gòu)活動

提問1：既然要用統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù)，那么你能畫出兩個散點圖（提醒：根據(jù)畫折線統(tǒng)計圖時描點的方法來畫即可）分別描述甲、乙兩名運動員的訓(xùn)練成績嗎？

意圖：把統(tǒng)計數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計圖（見圖1），使學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)中體驗數(shù)據(jù)分析的基本套路

甲百米跑的成績統(tǒng)計圖乙百米跑的成績統(tǒng)計圖圖1預(yù)設(shè)：糾正學(xué)生畫圖中的錯誤，指導(dǎo)他們準(zhǔn)確地畫出散點圖模型

追問1：通過所畫的散點圖（圖1），你發(fā)現(xiàn)了什么？如果把平均成績也畫到散點圖中，那么你又發(fā)現(xiàn)了什么？（甲的成績上下波動性較大，因而比較分散，其平均成績的代表性差;乙的成績上下波動性較小，因而比較集中，其平均成績的代表性好）

意圖：在直觀上的邏輯與邏輯中的直觀相得益彰的氛圍中，使學(xué)生初步了解數(shù)據(jù)離散的意義

預(yù)設(shè)：教給學(xué)生借助散點圖提取數(shù)據(jù)信息的方法，并及時糾正他們認(rèn)識上的偏差

提問2：如果把圖1稱為橫向排序式散點圖，那么你能以平均成績?yōu)橹行?，畫出旋轉(zhuǎn)排序式散點圖嗎？（見圖2）甲百米跑的成績統(tǒng)計圖乙百米跑的成績統(tǒng)計圖圖2

意圖：引導(dǎo)學(xué)生換一種參考框架考察數(shù)據(jù)的離散問題，使他們進一步體驗數(shù)據(jù)分析的套路，積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

預(yù)設(shè)：若學(xué)生畫圖有困難，則提醒他們想象射擊或射箭時所用靶子的形象，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確畫出旋轉(zhuǎn)排序式散點圖模型

追問2：根據(jù)圖2觀察兩組成績的分布情況，所得結(jié)論與由圖1所得結(jié)論相同嗎？

（不完全相同.從圖2看：甲的成績在多個方向上波動，且幅度較大，比較分散，其平均成績的代表性差;乙的成績在多個方向上波動，且幅度較小，比較集中，其平均成績的代表性好）

意圖：通過用圖2刻畫數(shù)據(jù)的離散狀態(tài)，豐富學(xué)生對數(shù)據(jù)離散的感性認(rèn)識，培養(yǎng)他們的直觀想象力

預(yù)設(shè)：教給學(xué)生讀圖的方法，引導(dǎo)他們仔細觀察，并對所得結(jié)論進行充分的交流.

2.3 領(lǐng)悟意義

提問1：根據(jù)圖1和圖2的直觀意義，你能對兩圖中數(shù)據(jù)點xi（i=1，2，…，8）相對于平均數(shù)x的離散狀態(tài)分別進行描述和量化嗎？

意圖：利用散點圖模型中的參變量，引導(dǎo)學(xué)生從動、靜兩方面辯證認(rèn)識數(shù)據(jù)的離散問題，并在變化中探尋不變量（量化指標(biāo)），敏銳地捕捉來自圖形和數(shù)據(jù)的雙重信息

預(yù)設(shè)：提醒學(xué)生注意，在散點圖中變量ti，θi表示數(shù)據(jù)點xi是動點，它反映出數(shù)據(jù)xi的出現(xiàn)時機具有隨機性這一本質(zhì)特征.并引導(dǎo)學(xué)生互動交流及小結(jié)

（在圖1中，不僅因為數(shù)據(jù)點xi的靜態(tài)位置有確定的偏移距離和方向，而且當(dāng)ti變化時，數(shù)據(jù)點xi也只是在一條水平的定直線上移動（參考圖1中x1的軌跡），其偏移距離和方向始終不變，所以可用“偏移距離xi-x+向下（或向上）的單一方向”（向量的平移）來表示數(shù)據(jù)點xi相對于平均數(shù)x的位置，即這個相對位置不隨數(shù)據(jù)xi出現(xiàn)時機的變化而改變，因而用距離xi-x量化xi相對于x的離散狀態(tài).在圖2中，因為數(shù)據(jù)點xi所在射線的旋轉(zhuǎn)角是θi，所以xi的偏離方向只是相對固定的.而當(dāng)θi（0°≤θi<360°）變化時，數(shù)據(jù)點xi的運動軌跡是以點x為圓心、以xi-x為半徑的圓，故可用“偏移距離xi-x+任意方向”（向量的旋轉(zhuǎn)）來表示xi相對于x的位置，即這個相對位置隨著數(shù)據(jù)xi出現(xiàn)時機的變化而變化，因而用該“分布圓”的面積π（xi-x）2量化數(shù)據(jù)點xi的離散狀態(tài)）

追問：在分別找出兩圖中各點離散狀態(tài)的量化表達式后，那么數(shù)據(jù)組x1，x2，…，x8的離散狀態(tài)又應(yīng)該怎樣量化呢？請寫出其量化表達式

（在圖1中，用各偏移距離的平均數(shù)來量化，表達式為x1-x+x2-x+…+x8-x8?（Ⅰ）;在圖2中，用各分布圓面積的平均數(shù)（不妨稱其為“平均分布圓”的面積）來量化，表達式為π·（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x8-x）28?（Ⅱ））

意圖： 通過由簡單到復(fù)雜、由分散到集中（趨勢）的邏輯過程，誘導(dǎo)學(xué)生的思維向著揭示一組數(shù)據(jù)離散意義的本質(zhì)特征聚焦

預(yù)設(shè)：如果有學(xué)生不能寫出上述兩式，應(yīng)該是沒弄清每一點離散的意義，可就此問題進行輔導(dǎo)

提問2：上述（Ⅰ）、（Ⅱ）兩式表明，可從不同視角量化數(shù)據(jù)的離散狀態(tài).那么，根據(jù)自己的生活經(jīng)驗，你認(rèn)為用它們中哪一個表示數(shù)據(jù)組x1，x2，…，x8離散狀態(tài)更好呢？

意圖：把學(xué)生的知識學(xué)習(xí)植根于厚重的生活底蘊之中，并通過分析、比較兩種量化方法的優(yōu)劣，使學(xué)生更準(zhǔn)確地把握數(shù)據(jù)離散的含義

預(yù)設(shè)：啟發(fā)學(xué)生圍繞“分布離散”這一關(guān)鍵詞列舉實例，進而結(jié)合實例互動交流并小結(jié).（舉例來說，向水中投一石子，泛起的波紋是從中心向外逐漸擴散的;打靶時的彈著點是圍繞靶心分布的.顯然，這些事例均符合圖2中用“偏移距離+任意方向”表示數(shù)據(jù)點位置的原理（即體現(xiàn)數(shù)據(jù)的隨機性），而不符合圖1的原理，這是因為圖1把數(shù)據(jù)的離散抽象成了狹隘的比較數(shù)據(jù)大小的問題，使“偏移距離+任意方向”變?yōu)椤捌凭嚯x+向上（下）方向”，因而使數(shù)據(jù)離散問題的本源性特征有所傷逝，所以用（Ⅰ）式反映數(shù)據(jù)的離散狀態(tài)往往存在著一定的片面性（一般不常用），故（Ⅱ）式較好一些.這充分表明：數(shù)據(jù)離散的意義包含著數(shù)據(jù)間的差異和離散方向兩方面的內(nèi)涵，二者不可偏廢（方向雖不是量化指標(biāo)，但它卻影響著量化的方式）.在這樣的意義下，數(shù)據(jù)的離散程度反映的則是數(shù)據(jù)間分布離散和差異的程度）

2.4 提煉公式

提問：既然用（Ⅱ）式量化數(shù)據(jù)組x1，x2，…，x8的離散狀態(tài)比較好，那就請你指出（Ⅱ）式中影響量化結(jié)果大小的部分？

意圖：追求簡潔、簡單、簡約，從反映一組數(shù)據(jù)離散狀態(tài)的表達式中分離出其關(guān)鍵部分，為提煉方差公式搭建臺階.（（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x8-x）28）

過渡語：由于（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x8-x）28決定著量化結(jié)果的大小，為簡單起見，不妨用它來刻畫數(shù)據(jù)組x1，x2，…，x8的離散程度，并將其稱為該組數(shù)據(jù)的方差

追問：一般地，對于數(shù)據(jù)組x1，x2，x3，…，xn?，設(shè)其平均數(shù)為x，方差為s2，請寫出計算該組數(shù)據(jù)方差的公式.你能說明方差的大小與離散程度的對應(yīng)關(guān)系以及s在圖2中的幾何意義嗎？

（①公式：s2=（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2n;②關(guān)系：方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大，反之則反是;③幾何意義：s在圖2中表示一組數(shù)據(jù)的“平均分布圓”的半徑）

意圖：由特殊到一般，使學(xué)生在合情推理中建構(gòu)方差的意義，提升其數(shù)學(xué)建模能力.

2.5 驗證與小結(jié)

利用方差公式解答本節(jié)課開始時提出的問題，驗證方差公式的合理性.（其余略去）意圖：通過驗證與小結(jié)讓本節(jié)課的結(jié)尾煥發(fā)新的生機與活力，從而更有效地促使學(xué)生反思活動過程，領(lǐng)悟和欣賞所得經(jīng)驗，并將活動經(jīng)驗及時升華為理論，使其成為后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點和依據(jù).

3 基于活動設(shè)計的結(jié)語

上述教學(xué)設(shè)計的價值訴求在于，注重發(fā)展學(xué)生的“數(shù)據(jù)分析”“直觀想象”“數(shù)學(xué)建?！钡葦?shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并通過營造蘊含多樣活動的“情境串”，不斷強化幾何直觀、合情推理等思維策略在數(shù)據(jù)分析中的作用，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)多種學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析基本套路的機會，特別是引領(lǐng)學(xué)生通過實質(zhì)性的數(shù)學(xué)思考，理解和掌握數(shù)據(jù)分析的知識與技能，體會和運用其思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.顯然，要做到這些，教師自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是關(guān)鍵.只有教師自己具有研究的意識和能力，才能設(shè)計出思維含金量高的探究活動，進而讓學(xué)生在活動中思索，在思索中創(chuàng)新，在創(chuàng)新中提升;只有把握了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，才能靈活運用啟發(fā)式和因材施教原則，循循善誘，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí);只有深諳課堂教學(xué)規(guī)律，才能以獨具匠心的教學(xué)手法，設(shè)計出層次分明、疏密有致，適時而動、相機而止的教學(xué)活動，使教學(xué)過程中各要素間的搭配有一種恰到好處的協(xié)調(diào)與美感.總之，要把學(xué)生的知識學(xué)習(xí)過程轉(zhuǎn)化為提升其認(rèn)識事物智慧的過程，教師必須在“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教法”上花心思下苦功.