基于相似用兩次的視角求解一類動點(diǎn)路徑問題

0 引子

近期拜讀文[1]，談到用“位似旋轉(zhuǎn)變換”求解動點(diǎn)路徑問題，引發(fā)筆者思考.有關(guān)動點(diǎn)路徑問題，或者與動點(diǎn)有關(guān)的線段最值問題，是當(dāng)下中考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，研究文章見諸許多雜志，各敘己見，文[1]是其中一種觀點(diǎn).但是，作為一線老師，若照搬文[1]的方法，顯然超出學(xué)生的知識范圍及能力范疇，據(jù)此給學(xué)生授課，恐怕學(xué)生難以接受.有沒有比較淺顯的思路，易于操作的方法呢？筆者采取“相似用兩次”的視角，解決此類問題，與讀者們交流，以期能擦出更多智慧的火花

原題回放

問題（見文[1]） 如圖1，已知A（2，4），B為y軸正半軸上一動點(diǎn)，作∠BAC=90°交x軸正半軸于C點(diǎn)，M為BC中點(diǎn)，P（1，0），求PM的最小值

圖1

原解析 如圖1，由條件可知A，B，O，C，四點(diǎn)共圓，∠AOC=∠ABC=∠BAM，cos∠AOC=cos∠ABC=55，AMAB=52，問題等價(jià)于將AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠AOP的度數(shù)，再放大52倍，即定點(diǎn)A，定角∠AOC，定比52.將OA作同樣的變換得AM1（M1在OC上），可證△OAB∽△M1AM，MM1OB=AMAB=52，∠AOB=∠AM1M，故可知M點(diǎn)運(yùn)動路徑為線段M1M2（M2為M運(yùn)動的極端點(diǎn)），且M點(diǎn)路徑M1M2長等于B點(diǎn)路徑長（OB1）的52倍，PM的最小值等于P到M1M2的距離為455

評析 課改以來，數(shù)學(xué)教育界強(qiáng)調(diào)三個理解，尤其強(qiáng)調(diào)教師在理解學(xué)生的基礎(chǔ)進(jìn)行教學(xué).理解學(xué)生是指教師清楚學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)、潛能、需求與差異，清楚學(xué)生學(xué)習(xí)特定數(shù)學(xué)知識已有的認(rèn)知基礎(chǔ)、生長點(diǎn)與潛在困難，清楚學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與認(rèn)知規(guī)律.離開學(xué)生現(xiàn)狀的解題教學(xué)，勢必導(dǎo)致教學(xué)效率不高，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生恐懼心理

文[1]中的例1解題解析會讓學(xué)生產(chǎn)生如下困惑：首先，直線M1M2具體是怎樣的一條直線，這里的說理過程不詳;其次，結(jié)果455是如何求解得的;最后，用“定點(diǎn)A，定角∠AOC，定比52”，這樣描述模型（盡管前面有概括），真的還是有點(diǎn)抽象，其實(shí)它的背景知識本身就是相似用兩次相似用兩次的解題分析：針對以上問題，筆者平時(shí)采用以下方法，分析、引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生解決此類問題.第一步，描點(diǎn).實(shí)驗(yàn)操作，找三個不同位置點(diǎn)M，第一個是起始點(diǎn)M，當(dāng)AB與AO重合時(shí)，點(diǎn)M是圖中OC1中點(diǎn)，即點(diǎn)M1位置，當(dāng)AC1與AO重合時(shí)，點(diǎn)M是圖中OB中點(diǎn)，即點(diǎn)M2位置，第三個點(diǎn)M，任意位置就行，如圖1中的點(diǎn)M;第二步，連線.觀察三點(diǎn)的連線是直線的還是曲線;本題根據(jù)連線觀察，點(diǎn)M運(yùn)動路徑是射線，∠OM1M2是定角.第三步，推理.由題意得，△OAC1∽△BAC，所以AM1OA=AMAB=52，∠M1AM=∠OAB.所以△M1AM∽△OAB.于是∠AM1M=∠AOB，因?yàn)椤螦OB是定角，AM1是定線.因此，M1M2是定線，因此，點(diǎn)M的運(yùn)動路徑是在定線M1M2上.再求得OM1=5，OM2=52，所以PM的最小值等于點(diǎn)P到直線M1M2的垂線段PH的長度，為455

以上解題三步曲，對于求解其它動點(diǎn)的路徑問題，也具普適性.三個步驟中的難點(diǎn)是推理，核心知識是相似三角形的性質(zhì)與判定，涉及基本圖形是有一個公共頂點(diǎn)的兩對相似三角形，第一對相似三角形得出的對應(yīng)角相等與對應(yīng)邊成比例，是第二對相似三角形判定的基礎(chǔ)，再根據(jù)第二對相似三角形性質(zhì)，得出對應(yīng)角相等，可以判定從動點(diǎn)M的路徑在定直線上.在證明過程中，運(yùn)用兩次相似三角形的判定與性質(zhì)，因此，筆者稱之為“相似用兩次”.

1 相似用兩次的應(yīng)用

當(dāng)下許多中考題，或者復(fù)習(xí)資料，有許多類似的求解動點(diǎn)路徑問題，下面列舉三例講解如何運(yùn)用“相似用兩次”，解此類數(shù)學(xué)問題

例1 如圖2，拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為頂點(diǎn)，線段PA上有一個動點(diǎn)D，以CD為底向下作等腰直角三角形△CDE，其中∠CED=90°，則AE的最小值為

圖2

解析 第一步：描點(diǎn).如圖2，將主動點(diǎn)D運(yùn)動至點(diǎn)A，則點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，再將點(diǎn)D運(yùn)動點(diǎn)至P，則E點(diǎn)與點(diǎn)G重合.第二步，連線.顯然點(diǎn)G、點(diǎn)E、點(diǎn)O三點(diǎn)在同一直線上.第三步，推理.由題意得，OA=OC=3，所以等腰直角三角形CDE相似等腰直角三角形CAO，于是CDCA=CECO，∠DCA=∠ECO，于是，△ACD∽△OCE.因此，∠CAD=∠COE，即tan∠COE=tan∠CAP=PCAC=13.從而確定動點(diǎn)E在定直線OG上.最后，再用“面積用兩次”思想，即S△AOG=12AO·GM=12OG·AH，求得AH=91010

例2 如圖3，A（63，0），AB=BO，∠ABO=120°，動點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動，在坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)D，使AD=DC，∠ADC=120°，連結(jié)OD，則OD的最小值為

圖3

解析 依據(jù)三步法中的前兩個步驟，可以得出，點(diǎn)D的運(yùn)動路徑是射線BD.下面論證射線BD是定直線上.由已知△OAB∽△CAD，ABAO=ADAC=13，∠BAD=∠OAC，所以△BAD∽△OAC.所以∠DBA=∠COA=90°.所以∠OBE=∠OEB=30°.于是，點(diǎn)D的運(yùn)動路徑是射線BD.則OD的最小值就是O點(diǎn)到直線DB的距離，易求得最小值為3

例3 如圖4，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為23的一個定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=-x于點(diǎn)N.若點(diǎn)P是線段ON上的一個動點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動，求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動的路徑長是

圖4

解析 如圖4，同樣運(yùn)用三步驟中的三點(diǎn)法確定，從動點(diǎn)B的運(yùn)動路徑是線段B1B2.下面重點(diǎn)求運(yùn)動路徑B1B2的長.由已知△P1AB1∽△NAB2，AB1AP1=AB2AN=13，∠B2AB1=∠NAP1，所以△B1AB2∽△P1AN.所以∠B1B2A=∠P1NA=45°.所以點(diǎn)P運(yùn)動路徑B1B2是定線段.因?yàn)椤鰾1AB2∽△P1AN，所以B1B2P1N=AB2AN=13，B1B2=23×2×13=22.本題是2013年浙江省湖州市中考數(shù)學(xué)試卷第16題，也是壓軸填空題，顯然當(dāng)年對大部分考生來講是個挑戰(zhàn)題，對學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)的學(xué)生更是一個難以逾越的坎.2 教學(xué)啟示2.1 重視用兩次思想在解題中的運(yùn)用

本文筆者采用“相似用兩次”的視角求解一類動點(diǎn)路徑問題，本質(zhì)是“用兩次”數(shù)學(xué)思想方法在求解一類問題中的運(yùn)用.那么，什么是“用兩次”數(shù)學(xué)思想呢？波利亞曾言：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關(guān)系.”這就是算兩次原理，又稱富比尼（G.Fubini）原理.單墫教授編著的《算兩次》中，將算兩次原理形象地比喻成“三步舞曲”，即從2個方面考慮一個適當(dāng)量，“一方面……，另一方面……，綜合起來可得……”，如果一個數(shù)學(xué)研究對象具有“雙重身份”或“兩面性”，也就是說既滿足條件A又滿足條件B，就可以考慮使用這種方法.本文筆者采用“相似用兩次”，可以說是對這個數(shù)學(xué)思想方法的延伸.其實(shí)，初中數(shù)學(xué)中，還有可以用“用兩次”思想方法解題的案例，下面再舉兩例

例4 如圖5，正方形ABCD和CEFG的邊長分別為a，b，求△AEG的面積

圖5

解析 方法1：如圖5，連結(jié)AC.則AC∥GE.所以S△AGE=S△CGE=12b2

方法2：如圖5，S四邊形ACEG=S△AGE+S△ACE=S△ACG+S△GCE，所以S△AGE+12ab=12ab+12b2.即S△AGE=12b2

評注 這是一道經(jīng)典的幾何題，其實(shí)還有其它的解法.這里的第一種方法采用等積變形，比較簡單，另外，△AEG的面積與正方形ABCD的邊長無關(guān).第二種方法是“面積用兩次”，對于同一個四邊形ACEG，面積算兩次，可以概括為“上+下=左+右”，具有非常美妙的對稱結(jié)構(gòu)

例5 如圖6，△ABC中，若CA=3，AB=5，BC=7，求△ABC的面積

圖6

解析 作AB邊上的高CH

設(shè)AH=x.由勾股定理得，CH2=BC2-BH2=CA2-AH2，

所以72-（x+5）2=32-x2.解這個方程得，x=32

于是，求得CH=323.所以△ABC的面積為1543

評注 本題借助線段CH用兩次，接著勾股定理用兩次，建立方程，從而解決問題.2.2 解題教學(xué)應(yīng)避免劍走偏鋒

課堂教學(xué)是教與學(xué)的雙邊活動，教的秘訣在于適度，學(xué)的真諦在于感悟.著名國學(xué)大師在《人間詞話》中對詩人的最高境界給予精辟的描述：“詩人與宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外.入乎其內(nèi)，故能寫之，出乎其外，故能觀之.”教之道在于“度”，學(xué)之道在于“悟”.解題教學(xué)何嘗不是如此呢？入乎其內(nèi)，就是要鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考，合作探究，從自己的砥礪前行中獲得體驗(yàn);出乎其外，就是通過豐富多彩數(shù)學(xué)問題的解決，覺得數(shù)學(xué)好玩，能感悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而獲得對數(shù)學(xué)問題的理解從直觀想象到內(nèi)在邏輯推理.最近比較流行的“模型化”，如文[1]，確實(shí)豐富了學(xué)生的解題技巧，為解決問題提供了一條快捷通道，甚至在一定程度打開了解題思維的另一扇窗，但過于夸大“模型”的功能，在學(xué)生沒有充分理解掌握的前提下，勢必會加重學(xué)生的心里壓力，并且要花大量時(shí)間進(jìn)行講解歸納，效果不一定理想，有點(diǎn)劍走偏鋒的感覺.2019年寧波市的中考幾何壓軸題，學(xué)生考試時(shí)先入為主，想方設(shè)法尋找模型，結(jié)果無功而返，都覺得有被老師欺騙的感覺.究其原因，都是模型惹的禍.命題者的良苦用心是盡量避開模型，重點(diǎn)考察學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學(xué)思想方法，尤其是對核心知識的理解與掌握，體現(xiàn)考試的公平性，命題評價(jià)組對這題評價(jià)很高，這也是今后命題的一種方向.解決動點(diǎn)路徑問題，筆者本文采取三步曲的解題方法，其實(shí)也是解其它動點(diǎn)路徑問題的通性通法，在這個過程中，如果再抽象出文[1]中的模型，這樣更有利于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn).教師的教育視野決定了教育的品位，解題教學(xué)應(yīng)注重“啟、誘、導(dǎo)、探、悟”，在問題解決的突破口，轉(zhuǎn)換的方向、化歸的手段及運(yùn)算的變形上，通過讓學(xué)生嘗試分析、感悟領(lǐng)會，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為自身的能力，實(shí)現(xiàn)真正意義上的深度學(xué)習(xí)

參考文獻(xiàn)

[1]吳國慶，顏永洪.一類動點(diǎn)路徑模型及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中），2019（8）.

[2]陳明儒.證兩次相似解平面幾何競賽題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2014（1）

作者簡介 陳明儒，男，中學(xué)正高級教師，浙江省特級教師，寧波市名教師.專注于課堂教學(xué)研究，尤其擅長優(yōu)等生的培養(yǎng)，有近百人在全國初中數(shù)學(xué)競賽中獲一、二、三等獎，并多次獲浙江省初中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師稱號，有30多篇教研文章在省級及以上刊物（或核心刊物）上發(fā)表.