高中數學之數列核心概念教學策略初探

鄧宏江

摘要：數列是高中數學重要內容之一，每年高考與三角函數、平面向量板塊輪換以解答題形式考試，難度一般較易或中等，當然也有以壓軸題的難度考查的情況。在平時的教學中，教材上數列內容無法滿足高考的需要，教師需額外補充的內容較多。數列中核心概念教學一直以來不被教師重視，很多時候按教學大綱既定內容安排教學，或根據自己對高考研究作適當的補充，筆者認為補充教學內容不是對教材內容的延續(xù)，而是對教材內容的深入應用，希望本文能對大家以后的教學有一些啟發(fā)和幫助。

關鍵詞：數列;核心概念;教學策略

中圖分類號：G623.2? 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）24-085

教育部《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》的文件提出，注重學生的核心素養(yǎng)、以及學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，落實到高中數學學科教育的終極目標：會用數學的眼光觀察世界;會用數學的思維思考世界;會用數學語言表達世界，具體到教學上來就是培養(yǎng)學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等六大核心素養(yǎng)與能力。數列作為培養(yǎng)學生邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養(yǎng)的重要內容，教師應該怎樣把握核心概念？怎樣突破核心能力？最終達到培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

一、數列中的核心概念

關于數列中的核心概念，它包括數列通項公式、推導公式、等差等比數列以及前n項和等知識的理解。它是高中學生需要清楚的核心概念，在數列知識推導過程中，涉及到各類轉化以及運算。關于等差數列知識理解的核心觀念，在通項公式方面，其數列地推公式可以表示為：an=an-1+an-2。

前n項和：一般地，我們稱a1+a2+a3+...+an為數列{an}的前n項和，用Sn表示，即Sn=a1+a2+a3+...an。

二、核心概念的突破策略

1.追尋、遵循數學問題提出的內在邏輯

數學問題是從數的方面或形的方面提出的，它的提出既是自然的、合理的，也是有意義，弄清楚數學問題產生的背景與內在邏輯既有助于學生更好地理解知識的本質，有助于學生學會用數學眼光發(fā)現和解決問題。

2.將數學文化與核心概念教學完美結合

數學文化如同中國文化一樣博大精深，它不僅在數學研究方面有重要影響，而且在人類的生存發(fā)展和社會文明方面也有重要的指導作用，它與人類的進步，發(fā)展密不可分。筆者作為一線數學教師，教師有義務在數學知識教授過程中將數學文化融入其中。

3.注重知識的內涵，提升綜合運用能力

高中數學的魅力在于隨著對知識的深度研究，越來越體會到數學知識給人們帶來無窮的奧妙。在數學教學中，教師需要將核心概念進行深挖，理解核心概念，認識核心思想，把握知識的內涵，傳遞核心價值。使學生通過知識內涵的深入學習，提升綜合運用能力。

4.利用生活實例，培養(yǎng)應用能力

數學中大部分內容就是人們在生產生活實踐中總結與發(fā)展而來，運用生活實例服務于教學，回歸數學本質，真正實現用數學的思維思考生活，最終培養(yǎng)學生的應用能力。

三、數列核心概念教學具體實施

1.數列定義

數列定義是眾多核心概念中最簡單，最基礎的。在數列概念認知過程中，學生能夠將數學文化與數學知識進行總結，它突破了學生的學習思維，如在《九章算術》、《孫子算經》等名著中都有著很多與數列有關的一些趣味知識。運用這些有趣的數學文化作為課堂導入，既能弘揚中華五千年文化，還能在數學知識教學過程中，將數學內容進行分析，使得課堂教學效果變得更加高效。

2.通項公式與遞推公式

通項公式與遞推公式是給出數列的重要方式，通項公式能更具表達式直接求任意項，而遞推公式需要根據給出的一項逐項求解，有一定難度，因此高考命題熱衷于給出遞推公式求通項公式的考查。在教學中，多數教師將遞推公式求通項作為專題補充，認為這樣更為系統，但是學生在學習這一部分內容時感覺內容較多，記不住這么多的類型，即使記住又不能很好地運用。筆者認為將這些題型分散學習更有利于學生的掌握，將相應題型放置于等差等比數列的綜合運用教學，一是讓學生不至于感覺內容太多，二是可以進一步提升對等差等比數列的綜合運用能力。

3.等差數列、等比數列

等差、等比數列是兩大基本數列，在教學中一是可以通過數學文化的引入增加趣味性，二是深刻理解定義，把握核心實質，三是注重對兩種數列的對比、聯系，四是注重聯系生活。兩種數列在教學模式上是一致的，主要對定義等差等比中項、通項公式進行研究，在此基礎上，可以增加與證明等差等比數列有關的遞推公式求通項問題，加深對等差等比數列的理解，也能夠由此總結遞推公式求通項公式的解決方法。

4.前n項和

在數學知識教學過程中，一定要對等差數列等比數列求和、錯位相減、裂項相消、并項求和等等知識做出類比，在公式推導過程中，注重問題設置的難度。由淺入深，幫助學生挖掘數學問題內在規(guī)律，教師利用問題串的形式引導學生自主推導探究、自主總結，尤其是多種方法推導對比更能加深學生的理解掌握。

四、核心概念教學案例初探

課題：等差數列

例：已知哈雷彗星每隔一段時間就會從地球經過，最近人們看到哈雷彗星的年份分別為：1761年，1936年，1911年和1986年，請同學們根據已有的數列知識，預測下一次的哈雷彗星出現年份。

實際上，1761，1836，1911，1986，2061是一類特殊的數列，這類數列我們稱為等差數列。什么樣的數列是等差數列，它有哪些特殊的性質？帶著這些問題進入今天的學習。

【問題1】觀察下列數列，發(fā)現它們有什么共同的變化規(guī)律？

（1）已知有一列數，從0開始，每隔3數一次，我們可以得到的數列為____？

（2）在某項運動比賽中，已知跳遠運動員的體重為一個特定數值，他們組成了一項數列：45，50，55，60，65;

（3）已知為了保護某地的生態(tài)環(huán)境，水庫人員每天都會認真監(jiān)測水庫內的水位，并定期做好放水。在水庫放水進行工作清理過程中，在幾天之內，其水位組成了一個數列，它的數值為：7，16，25，34……

（4）常值數列：2，2，2，2，2，…;

可以看到：

對于數列（1），很明顯能夠發(fā)現，從第二項開始，它與前一項的差值就是3;

對于數列（2），每個數字與前一個數字的差值為5;

對于數列（3），從第2項起，每一個數字與前一個數字的差值為9;

對于數列（4），整個數列的數值都為2，但是其差值卻為0;

【歸納定義】

對于等差數列的求取過程而言，如果某一個數列從第二項開始，它的前一項與其差為一個常數，這個數列就可以被稱作為等差數列。常數則被稱作是公差，用d表示。

【問題2】你能舉幾個等差數列的例子嗎？

【問題3】數列（1）（2）（3）（4）的通項公式存在嗎？如果存在，分別是什么？

（1）an=3n-3;

（2）an=5n+43;

（3）an=-2.5n+20.5;

（4）an=2。

【問題4】這些通項公式有什么共同的特點？

【問題5】在某一條件下，若等差數列{an}的首項是a1，公差是d，則an=？

法一：根據等差數列的定義：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…

所以，a2=a1+d，

a3=a2+d=a1+2d，

a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……

猜想：an=a1+（n-1）d。

法二：可將an分解為n個式子相加，即：

an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+...+（an-an-1）

【公式解讀】

（1）公式中含有a1，n，d，an共4個變量，要求其中任意一個量須知其余3個量;

（2）an=dn+（a1-d）說明an是關于n的一次函數;

（3）公式可變形為an-a1n-1=d。

【思考】已知在同一坐標系內畫出通項公式an=3n-5的數列的圖像與函數y=3x-5的圖像。兩者之間的規(guī)律是怎樣的？通過自己已探討的規(guī)律，自主探索an=pn+q的圖像與y=px+q的圖像之間的關系。

五、核心概念教學反思

數學是一門有規(guī)律的學科，只有不斷地潛心鉆研才能揭開它神秘的面紗，發(fā)現它的核心規(guī)律，延續(xù)它精彩的生命。核心概念教學的重點在于教師對課堂教學內容的把握，教師必須從核心概念內容出發(fā)，考究核心概念教學中心，數列核心概念雖然相對于其他板塊來說較少，但通過完整的學習數列知識，卻能夠構建學生全面分析思維，符合高考考查的要求，體現數學的魅力。

參考文獻：

[1]狄理磊.起始課中培養(yǎng)數學核心素養(yǎng)的實踐與反思[J].數學教學通訊，2018（15）：13—14+18.

[2]李昌官.尋找數學內在的力量（修改版）[M].寧波：寧波出版社，2016.

（作者單位：四川省廣元外國語學校，四川 廣元 628000）