強(qiáng)化“捆”的操作，促進(jìn)認(rèn)數(shù)的意義建構(gòu)

石艷

【摘要】一年級教學(xué)認(rèn)數(shù)時教師常常設(shè)計動手操作的活動幫助學(xué)生建立數(shù)的認(rèn)識。操作的活動是否都能有效地幫助學(xué)生理解數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)、學(xué)生在認(rèn)數(shù)過程中是否理解十進(jìn)制計數(shù)方法、如何設(shè)計有效的操作活動促進(jìn)認(rèn)數(shù)的意義建構(gòu)等成為教師備課時必須思考的問題。

【關(guān)鍵詞】捆操作 意義建構(gòu)

筆者在之前的數(shù)學(xué)教研活動中聽了一節(jié)一年級的“認(rèn)識11～20”的研究課。教學(xué)中，教師通過讓學(xué)生擺小棒、捆小棒等操作活動，幫助學(xué)生認(rèn)識十幾和二十各數(shù)。首先，教師先讓學(xué)生用擺小棒的方法，復(fù)習(xí)從1～10的各數(shù)，提示學(xué)生10根小棒可以捆成一捆。相機(jī)板書“10個一是1個十”。然后，布置活動要求“用小棒表示12。思考怎樣擺，能一眼看出是12？”學(xué)生在自我擺小棒之后，經(jīng)過比較和匯報得出結(jié)論：左邊擺一捆小棒、右邊擺2根小棒，就能一眼看出12。接著，要求擺出13、16、19、20 等數(shù)。于是學(xué)生在已擺好12的小棒上，繼續(xù)添加小棒的數(shù)量，以認(rèn)識13、…、19、20。最后，再通過數(shù)數(shù)、寫數(shù)等活動，提高學(xué)生點數(shù)的速度。整節(jié)課看上去學(xué)生似乎已經(jīng)認(rèn)識了11～20各數(shù)，也會讀數(shù)、寫數(shù)。

但是在深入的教研反思中大家提出，這樣的教學(xué)過程，是否表明學(xué)生真正認(rèn)識了11～20這些數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)？是否理解十進(jìn)制的計數(shù)方法？可以設(shè)計怎樣的教學(xué)活動，來幫助學(xué)生認(rèn)識本節(jié)課的數(shù)學(xué)本質(zhì)？帶著對這些問題的思考，筆者試談對“認(rèn)識十幾”這節(jié)課所涉及的關(guān)于“捆”的操作問題。

我們知道，對于自然數(shù)的認(rèn)識是學(xué)生認(rèn)數(shù)的開始，也是學(xué)生接觸到的抽象的數(shù)學(xué)概念，這關(guān)乎學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解。11～20各數(shù)的認(rèn)識，是對1～10各數(shù)認(rèn)識的自然擴(kuò)展，是學(xué)生認(rèn)識兩位數(shù)的起始階段，也是認(rèn)識十進(jìn)制的啟蒙階段。是為20以內(nèi)的加減及后續(xù)百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識與計算提供認(rèn)知基礎(chǔ)的。本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)不僅僅停留在要學(xué)生會讀數(shù)、寫數(shù)、知道數(shù)的組成，更要引領(lǐng)學(xué)生在活動中理解11～20各數(shù)的本質(zhì)，理解數(shù)數(shù)、寫數(shù)的意義，還要探究認(rèn)識新的計數(shù)單位——“十”是怎么產(chǎn)生的。

人類發(fā)明的十進(jìn)制計數(shù)法，是數(shù)學(xué)史上一次偉大的創(chuàng)造，它被馬克思稱贊為“最美妙的發(fā)明之一”。教學(xué)時應(yīng)讓學(xué)生從操作活動中、從十進(jìn)制計數(shù)法的產(chǎn)生等方面，理解其原理是“十個一群”計數(shù)，10個一是1個十，從而為后面認(rèn)識十個十是一個百，十個一百是一千等奠定認(rèn)識基礎(chǔ)，體會十進(jìn)制的美妙之處。要讓學(xué)生理解滿十進(jìn)一就形成一個新的計數(shù)單位。要實現(xiàn)這些教學(xué)目標(biāo)，需要通過“捆”的動手操作來實現(xiàn)。

一、“捆”起來、“散”開去，在逆反強(qiáng)化中建立等價換算關(guān)系

“捆”是將分散的單個聚攏起來，形成一個大的認(rèn)知單位的操作過程，是將腦內(nèi)聚合認(rèn)知思維的內(nèi)在隱形操作外化為動作操作的過程。

（1）借助操作以外化思維操作。只有借助外在的捆捆操作，才能將內(nèi)隱的智力操作可視地表征出來。教師在一開始的教學(xué)中，就引導(dǎo)學(xué)生用小棒擺出10根，邊擺邊復(fù)習(xí)1～10的數(shù)。當(dāng)數(shù)到10根時，引導(dǎo)學(xué)生將10根變?yōu)橐焕?。讓學(xué)生建立從“10個一”到“1個十”的認(rèn)知過程，初步體會“十進(jìn)制”的計數(shù)方法。然后布置用小棒擺“12”的活動，通過比較2根2根地擺、5根5根地擺、一捆和兩根等不同的擺法，讓學(xué)生自己比較、體驗10根捆為一捆計數(shù)更方便，能一眼看出12。要讓學(xué)生理解得知，如果不加捆扎，每一次計數(shù)都得一一點數(shù)，不可能實現(xiàn)一眼就得知是多少的計數(shù)便捷。體會到這些，才能實現(xiàn)借助12根小棒的帶捆的物象，抽象出12的數(shù)感概念。

（2）雙向操作以促進(jìn)可逆思維。繼續(xù)教學(xué)認(rèn)識其余十幾的數(shù)，但教學(xué)并不能止于此。上述教學(xué)過程是讓學(xué)生通過捆捆操作，從以“一”為計數(shù)單位，過渡到添加以“十”為計數(shù)單位的新的計數(shù)思維。而且這種操作還得雙向，即不但要捆捆，還要解捆，從“十”到“一”完成逆向的轉(zhuǎn)化。即把一捆讓學(xué)生解開，散為10根，表達(dá)出1個十就是10個一。這種操作可以反向強(qiáng)化1捆等于10根的相等換算關(guān)系——以完整認(rèn)識“1個十等于10個一”“10 個一 就等于1個十”?，F(xiàn)在的學(xué)具往往把十根一捆用一片塑片定制而固化了，這雖方便了擺放，但取消了學(xué)生動手捆扎和解捆的過程，變成了替換過程。不利于學(xué)生理解，教學(xué)中要適當(dāng)提供一點讓學(xué)生親手捆扎和解捆的操作過程。

（3）操作與表達(dá)要呼應(yīng)結(jié)合。在捆扎和解開的雙向操作中，要讓學(xué)生邊操作，邊說出10個一就是1個十，突出強(qiáng)調(diào)兩者等價的換算關(guān)系。為了雙向互逆理解，在捆扎和解開的操作中，讓學(xué)生思考：10個一和1個十之間是什么關(guān)系？可以怎么表示？在學(xué)生思考回答基礎(chǔ)上，教師相機(jī)板書出結(jié)語：10個一=1個十。而學(xué)生在閱讀這一結(jié)語時，要有意識地不但從左向右讀，也要注意從右向左讀，使得閱讀時口頭表達(dá)結(jié)語，注意與操作動作的呼應(yīng)：捆扎時說成10個一等于1個十，解開時說成是1個十等于10個一。

二、理解“捆”從何來，對捆“十”追根溯源以理解計數(shù)單位本質(zhì)

本節(jié)課是學(xué)生理解進(jìn)位制和位值制的重要開始。在讓學(xué)生理解十進(jìn)制的活動時，教師設(shè)計要學(xué)生動手操作數(shù)出10根小棒捆成一捆。那究竟為什么10個一根要捆為一捆？這個司空見慣不成問題的問題要引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，使得“10個一是1個十”的合理性得到學(xué)生的認(rèn)可。

（1）教師要引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑追問十進(jìn)制。新的計數(shù)單位“十”的概念剛剛建立，還未完全引出，教師教學(xué)時可以提出這樣的思考問題：“為什么10根捆成一捆，而不是7、8根捆成一捆？”以引導(dǎo)學(xué)生追溯對數(shù)概念產(chǎn)生的最初情形進(jìn)行想象，推測原始的計數(shù)方法。

（2）借助雙手理解捆的十進(jìn)制。古人曾用手邊的石頭、樹枝，以及身上的器官如手指、腳趾來作為替代物來點數(shù)，或者用繩子打結(jié)，在地面石塊上刻畫線等表示數(shù)（如圖）。而人們的十根手指（或十個腳趾）就是原始的計數(shù)器。在數(shù)的點數(shù)、計數(shù)中，讓學(xué)生理解、體驗“滿十進(jìn)一”這一計數(shù)制約定俗成的合理性和自然性?？梢姡耙弧焙汀笆笔巧钫Z匯“根”與“捆”的數(shù)學(xué)化抽象，而“根”與“捆”則是數(shù)學(xué)概念在生活中語匯的具體對應(yīng)。

（3）理解十進(jìn)制的教學(xué)，也可讓學(xué)生散開一捆為10根再思考，捆扎，不但使得10根（個）為一個點數(shù)單位操作便捷，而且造成定型化、穩(wěn)固化——一捆多少根？是與人的手指根數(shù)一樣的數(shù)。這是新的計數(shù)單位的確立，而讓學(xué)生捆扎和解開小棒，則是使之體驗等價變換，在與“一”的計量單位聯(lián)系中牢固建立“十”的計量單位概念，以及為后續(xù)的十進(jìn)制計數(shù)中的“滿十進(jìn)一”“退一當(dāng)十”提供感性經(jīng)驗的鋪墊和孕伏。

三、從“捆”到“數(shù)”，抽象概括推進(jìn)數(shù)學(xué)化

教師在教學(xué)13，…，19，20等數(shù)時，讓學(xué)生操作小棒，往往是在原來12根小棒的基礎(chǔ)上繼續(xù)添加式地擺，學(xué)生只是在12這個數(shù)的基礎(chǔ)上，去改變單個的根數(shù)，即在一捆和兩根的基礎(chǔ)上，添加兩根，變?yōu)?4，在14根的基礎(chǔ)上再加上兩根，變?yōu)?6。然后讓學(xué)生單個地說說十幾數(shù)的組成。雖然這樣操作省事了，但這樣單個數(shù)的出現(xiàn)，不利于學(xué)生比較和發(fā)現(xiàn)十幾的組成有什么共同的地方。如果改為讓學(xué)生把三四個十幾，上下排列，都擺出所表示的小棒一捆幾根，再引導(dǎo)學(xué)生縱向思考，概括出共同之處，都是左邊為一捆（1個十），右邊為幾根（幾個一）。從而歸納出：1個十和幾個一組成十幾;反之可說成：十幾是由1個十和幾個一組成的。從觀察、比較小棒的組成，抽象到數(shù)的組成，經(jīng)過具體的概括抽象，由擺到說完成數(shù)學(xué)化思考的過程。這也就有利于說成：

12是由1捆和2根，即1個“十”和2個“一”組成;

14是由1捆和4根，即1個“十”和4個“一”組成;

16是由1捆和4根，即1個“十”和4個“一”組成;

……

具體十幾數(shù)的組成，進(jìn)而得到：

十幾是由1個“十”和幾個“一”組成的——概括十幾數(shù)的組成。

這就形成對十幾數(shù)組成的抽象概括思維訓(xùn)練，也為后續(xù)數(shù)位的教學(xué)，奠定理解的經(jīng)驗基礎(chǔ)。

四、從“數(shù)”到“捆”，演繹訓(xùn)練，強(qiáng)化概念認(rèn)知

有了上述的概括抽象，再讓學(xué)生進(jìn)入演繹的訓(xùn)練過程。教師可以任意舉不同的十幾數(shù)例，讓學(xué)生擺出學(xué)具小棒;或者擺出小棒，讓學(xué)生讀出十幾的計數(shù);也可從數(shù)的組成上讓學(xué)生互問互答，四人小組，依次分別說出：

甲：“我說15這個數(shù)?！?/p>

乙：“15是由1個十和5個一組成的。”

丙“1個十和5個一組成15。”

?。骸皵[出1捆和5根，就能表示15?！?/p>

其余的數(shù)19、14、12、16讓學(xué)生類推。學(xué)生經(jīng)歷概括和演繹的雙向思維訓(xùn)練，強(qiáng)化概念的認(rèn)知，鞏固對十幾和20各數(shù)的概念。而在操作、觀察、探究、表達(dá)等互動游戲式的數(shù)學(xué)課堂活動中，學(xué)生對十幾的數(shù)的組成和對“十進(jìn)制”計數(shù)法有一個較為深刻而牢固的認(rèn)識，加深主體性的感受和體驗，達(dá)到趨于理解的深度學(xué)習(xí)程度。

可見，如此的教學(xué)不是簡單走程序的一般化教學(xué)所能比擬的。它涉及學(xué)生作為主體的觀察與思考的內(nèi)外結(jié)合，認(rèn)知與操作的雙向?qū)?yīng)，對司空見慣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的探究拷問，并滲透歸納推理的思維訓(xùn)練。一節(jié)“認(rèn)識十幾”的教研課，就這樣促成了數(shù)學(xué)概念教研認(rèn)知的生成與舒展。