立足數學核心素養(yǎng) 追求概念自然生成
——以“函數y=Asin(ωx+φ)的圖象”一課為例

時訓江

(江蘇省南京市第十三中學,210008)

一、 基本情況分析

1. 教材地位及作用

“函數y=Asin(ωx+φ)的圖象”是蘇教版高中數學必修4第一章第三節(jié)的內容．三角函數是高中數學核心內容之一,是學習高等數學及其它學科的基礎，是刻畫周期性現(xiàn)象的重要數學模型，也是解決實際問題的工具.本節(jié)課是在一般函數概念及性質研究的基礎上,研究的又一個典型函數模型,主要是從數和形兩個角度研究參數A、ω、φ對正弦函數圖象的影響,揭示了函數y=Asin(ωx+φ)的圖象與y=sinx圖象之間的變換關系,是圖象變換研究的延續(xù)和發(fā)展．

基于以上分析,本課的教學應突出讓學生借鑒已有研究函數圖象性質的經驗,自主探究,主動建構,自然生成,從特殊到一般,逐步完善認知數學概念的能力,掌握研究函數一般路徑和方法,為今后的學習奠定基礎．

2. 教學重點與難點

重點:經歷作圖的過程,理解參數A、ω、φ對函數y=Asin(ωx+φ)圖象的影響,掌握其規(guī)律．

難點:周期變換與相位變換的先后順序變化,對圖象影響的理解．

3. 學情分析

在本課之前,學生學習了函數的相關概念及研究方法，特別是通過平移變換研究了函數圖象變化,掌握了平移變換的一般規(guī)律，形成了一定的研究能力,這些均為本課的探究學習提供了基礎．

4. 教學目標分析

(1) 讓學生通過“五點法”畫出y=Asin(ωx+φ)的簡圖,直觀感知A、ω、φ對函數圖象變化的影響;

(2) 圍繞“參數A、ω、φ對y=Asin(ωx+φ)圖象的影響”這一問題,讓學生經歷確定研究對象,制定研究策略等數學活動,感受主動探究的意義,提升核心素養(yǎng)．

二、教學流程設計

從建構主義的角度來看,數學學習是指學生自己主動建構數學知識的過程．在數學活動的過程中,學生與教材、學生與教師之間產生交互作用,形成數學知識、技能和能力,提升思維力,培養(yǎng)堅忍不拔的毅力和解決問題的能力．基于此,筆者把這一節(jié)課的教學活動分成以下四個環(huán)節(jié)來進行:

1.創(chuàng)設情境 引出課題

通過動畫演示彈簧振子震動,引出用函數y=3sin(2x+1)來刻畫該運動過程,抽象出其一般形式y(tǒng)=Asin(ωx+φ),從而引出研究的課題．

設計意圖讓學生體會到本課的研究具有豐富的實際背景,感受研究的價值,同時讓學生形成認知沖突,感受到研究的必要性,激發(fā)研究的興趣,也自然引入課題．

2.主動探究 建構理論

問題1三角函數是特殊函數模型,以前我們是如何研究函數圖象的?可以從哪些角度進行研究?

設計意圖強化三角函數的本質是函數,一般函數的研究方法適合三角函數,在此基礎上,切合學生的認知起點,引導學生由舊引新,幫助學生建構三角函數圖象研究的過程,這是本節(jié)課的生長點．基于此,提出探究問題:

問題2如何在函數y=sinx圖象的基礎上,研究函數y=Asin(ωx+φ)的圖象?請大家制定研究方案．

設計意圖讓學生在小組充分交流、合作、討論的基礎上,共同確定研究的角度和策略,制定研究的方案．讓學生經歷主動探究的過程,感受研究策略制定的成就感．教師在此過程中,扮演組織者、引導者角色．

提出問題后,教師將學生進行分組,確定每個小組負責人及成果匯報人,給每個小組充分討論時間,教師巡視,適時給每個小組個性化指導．并組織學生進行成果匯報．

取特殊值進行研究,例如:y=3sin(2x+1).(從特殊到一般,歸納總結)

方案一:五點法作圖,從圖象直觀感知y=sinx與y=3sin(2x+1)圖象之間的關系．(整體把握,總結規(guī)律)

方案二:研究三個函數y=3sinx,y=sin 2x與y=sin(x+1)的圖象與函數y=sinx的圖象之間關系．(分而治之,各個擊破)

問題3這些研究方案,你考慮成熟了嗎?哪個方案更好些?

教師組織學生進行互動討論．

問題4圖象上的直觀感知,你是如何得到的?

教師用幾何畫板畫圖驗證,加深直觀感覺．

設計意圖學生分組匯報研究方案,這些方案都是個性化的,引導大家分析比較這些研究策略,交流、討論,權衡利弊,汲取大家的智慧,總結提煉出最佳方案．利用計算機輔助技術,幫助學生強化直觀感覺,進一步加深對圖象之間變換關系的理解．

問題5從形的角度,我們可以直觀感知圖象之間關系;從數的角度,我們如何加以解釋?

問題6圖象是由點所構成,能從圖象上對應點的坐標變化規(guī)律來解釋嗎?

設計意圖形少數時難入微,以數解形,更有利于提升學生的思維能力．讓學生從形和數兩個角度認識A、ω、φ三個參數對三角函數圖象的影響,體驗數形結合的數學思想方法在解決問題中的應用．

3.數學應用 鞏固提高

為了檢測學生對形如y=Asin(ωx+φ)函數圖象的理解,設計下面例題．

設計意圖鼓勵學生利用多種方法進行作圖,一方面強化通過圖形變換進行作圖,另一方面也不忽視五點法作圖,數形結合,學以致用,提高學生解決問題的能力．

4.課堂小結 回顧反思

問題7通過本節(jié)課學習你有哪些收獲?

設計意圖通過學生總結,教師提煉總結,讓學生體會研究函數圖象變換的過程中所蘊含的數學思想方法和主動探究、合作交流的品質．最后,以名人名言作為結束語,激發(fā)和鼓勵學生保持主動學習、積極探究的良好狀態(tài)．

三、教學反思

本節(jié)課是研究三角函數圖象性質的總結課,也是概念課．這就需要教師根據實際情況,認真鉆研教材設計意圖,從本章知識整體的角度設計教學流程,從而使學生能夠感知本章知識的相關背景、實際應用,感知學習相關內容的重要性．本節(jié)課的教學要讓學生充分感知研究函數圖象的一般方法,從宏觀上讓學生感受研究問題的一般架構和思路,通過y=Asin(ωx+φ)函數圖象研究的過程,提升學生數學核心素養(yǎng),同時讓研究圖象性質的方法在活動過程中得到自然建構．本節(jié)課以7個問題組成的問題串為載體,問題之間環(huán)環(huán)相扣,層層推進．以此吸引學生注意,組織學生演練,啟發(fā)學生多角度思考,激發(fā)學生討論,引導學生概括、遷移;盡可能地縮減無效教學時間,讓學生學有所獲、有成就感,掌握知識、技能,領悟思想、方法,在數學活動參與的過程中激發(fā)潛能,提升學科素養(yǎng)．立足核心素養(yǎng),數學概念在師生交流互動的過程中,學生主動建構知識,讓概念在教學活動中自然生成．

數學核心素養(yǎng)不是高高在上的空中樓閣,應該是以數學知識的教學為載體踏踏實實的過程提升,過程中不斷調動學生學習的積極性和參與意識,激發(fā)他們再創(chuàng)造的能力,喚醒藏在學生內心的潛能,這樣，我們的教學改革才不至于舍本逐末．