基于直觀想象素養(yǎng)下的教學設(shè)計與反思
——以“函數(shù)的極值”為例

錢淑華

(江蘇省天一中學，214101)

一、背景

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確提出了數(shù)學學科核心素養(yǎng),包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象與數(shù)據(jù)分析這六個要素.其中直觀想象作為數(shù)學核心素養(yǎng)之一,對高中生的終身發(fā)展影響很大,且發(fā)揮著不可替代的作用.高中數(shù)學核心素養(yǎng)下的直觀想象，是指借助幾何直觀和空間想象，感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng).主要包括:借助空間形式認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型,探索解決問題的思路.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進行數(shù)學推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).

數(shù)學學科是一門邏輯性很強的學科,是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學科.數(shù)學學習就是通過對數(shù)與數(shù)及數(shù)與形關(guān)系的研究,提升數(shù)學能力,生成學習品質(zhì).高中數(shù)學不可能將數(shù)與形截然分開,高中數(shù)學學習離不開數(shù)與形,尤其是數(shù)形結(jié)合的思想方法.在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中,學生能夠進一步發(fā)展直觀想象和空間想象能力,增強運用圖形和空間想象思考問題的意識,提升數(shù)學結(jié)合的能力.

而事實上,在數(shù)學學習中,學生的直觀想象能力并不像我們想象的那么強.高中數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng),出發(fā)點在課堂,落腳點也在課堂.在課堂教學中,挑選適宜的教學內(nèi)容與方法來培育學生的直觀想象能力,在知識教學中提升直觀想象能力.本文以蘇教版選修2-2第一章第三節(jié)中“函數(shù)的極值”的課堂教學為例,談?wù)剬W生直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

二、“函數(shù)的極值”教學設(shè)計

1.教材內(nèi)容分析

“函數(shù)的極值”是蘇教版選修2-2第1章第三節(jié)中的知識,其主要內(nèi)容包括極值的概念,極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系與求極值的方法和步驟.本節(jié)課是繼應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性之后的又一應(yīng)用.一方面,該知識是前面所學的導(dǎo)數(shù)的計算、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等內(nèi)容的延續(xù)與深化,另一方面,它為其后利用導(dǎo)數(shù)研究可導(dǎo)函數(shù)的最值作好鋪墊工作,奠定了知識和方法的基礎(chǔ).學生在研究的過程中可進一步體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的優(yōu)越性和工具性.

教材注重數(shù)形結(jié)合,借助學生熟知的函數(shù)圖象,通過幾何直觀去認識函數(shù)的極值,探求函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.從新課引入,到概念生成,概念剖析,以及數(shù)學應(yīng)用,逐步滲透數(shù)形結(jié)合,在“滲透——積累——內(nèi)化”的過程中轉(zhuǎn)化為學生的數(shù)學意識.在對函數(shù)極值的概念、特點的探究過程中,提高學生的觀察、分析、歸納的綜合思維能力,發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng).

2.學生認知水平分析

知識層面,學生已經(jīng)學習了導(dǎo)數(shù)的概念與基本運算,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能力層面,學生已經(jīng)具有了一定的概括抽象能力,邏輯推理能力和直觀想象能力;思想方法層面,對于數(shù)形結(jié)合、歸納推理、特殊到一般的數(shù)學思想已初步形成.

3.教學目標定位

教學目標1 理解函數(shù)極值的概念,借助函數(shù)圖象,了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件;能利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值;

教學目標2 逐步滲透,讓數(shù)形結(jié)合不僅成為解題的工具,更可以上升為學生一種自覺的數(shù)學意識;

教學目標3 提高學生的觀察、分析、歸納的綜合思維能力,發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng),著重提升學生的直觀想象的數(shù)學素養(yǎng);

教學目標4 通過獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式,激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,養(yǎng)成良好的學習習慣,培育學生批判質(zhì)疑、勇于探究的科學精神.

4.教學過程設(shè)計

環(huán)節(jié)1借助函數(shù)圖象,培育學生的直觀感知能力

(1)同學們觀察下列函數(shù)的圖象,圖1-圖4中的點A,B,C,D,E,F,G,這七個點具有哪些共同特征?

(2)提示學生可以從以下幾個角度進行觀察和分析:① 在這些點兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性情況;② 在這些點的附近,該點的位置情況;③ 在這些點處的切線情況;④ 在這些點處函數(shù)值的大小情況.

設(shè)計意圖學生通過觀察熟悉的函數(shù)圖象,感受函數(shù)在這些點附近的單調(diào)性的變化、函數(shù)值的變化；從圖形中尋找這些點的共同的規(guī)律性的特征；對函數(shù)的極值有直觀的感受,可實現(xiàn)概念的生成，使學生對函數(shù)的極值的概念有清晰的圖象記憶和理解,為歸納函數(shù)極值的概念奠定基礎(chǔ).同時讓學生感受從特殊到一般的推理方法.

環(huán)節(jié)2探究極值的概念,提升學生的直觀素養(yǎng)水平

(1)如果要把這七個值按照某種標準進行分組,請同學們思考:可以分幾組?分組的標準是什么?

(2)請同學們根據(jù)自己的觀察和理解給極值下定義.

設(shè)計意圖分析函數(shù)的極值,結(jié)合圖象,引導(dǎo)學生從“形的特征”和“數(shù)的描述”兩方面去認識和理解極值的概念，讓學生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納總結(jié)的思維過程,提升學生的直觀想象素養(yǎng)水平,培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理的數(shù)學學科核心素養(yǎng),形成嚴謹規(guī)范的思維品質(zhì)和理性精神.

(3)探究活動:深化對極值概念的理解,歸納極值的特點:

① 若此圖象(圖5)是函數(shù)y=f(x)的圖象,請指出函數(shù)y=f(x)的極大值和極小值;

② 研究此函數(shù)的圖象，結(jié)合圖1—圖4,歸納函數(shù)極值的特點,提升對函數(shù)的極值概念的認識與理解;

③ 學生歸納總結(jié)：函數(shù)的極值不唯一，可以有多個；不是所有的函數(shù)都有極值；函數(shù)的極大值和極小值之間沒有必然的大小關(guān)系；端點處的函數(shù)值一定不是極值，極值不一定是最值；從形上看，取到極值時對應(yīng)點的附近，函數(shù)圖象不單調(diào)，極值是函數(shù)的一個局部性質(zhì).

設(shè)計意圖函數(shù)圖象給了學生最直觀的感受,充分利用圖象的作用,再次加深學生對極值的形的認識,提升學生的直觀想象的數(shù)學素養(yǎng).在進行極值特點的歸納時,充分發(fā)揮學生的主體性,提高學生的課堂參與度,培養(yǎng)學生合作探究、合作學習的能力.通過規(guī)律總結(jié),培養(yǎng)學生的歸納、概括與表達能力,繼續(xù)提升數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).聯(lián)系生活,讓學生感受到生活中數(shù)學無處不在.

環(huán)節(jié)3領(lǐng)悟極值的概念,深化直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)

(1)同學們在觀察四個函數(shù)圖象中的七個點后,歸納出這樣一個特征——這些點的左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性相反.上節(jié)課已經(jīng)學習了單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),如果在區(qū)間M上f′(x)>0,那么f(x)為區(qū)間M上的增函數(shù);如果在區(qū)間M上f′(x)<0,那么f(x)為區(qū)間M上的減函數(shù).請同學們思考:今天研究的函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)又有什么關(guān)系?

(2)結(jié)合前面五個函數(shù)的圖象,歸納總結(jié)可導(dǎo)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:

xx1左側(cè)x1x1右側(cè)xx2左側(cè)x2x2右側(cè) f '(x)+0-f '(x)-0+ f(x)↗極大值↘f(x)↘極小值↗

(3)思考:對可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),滿足f′(x0)=0,能否說函數(shù)y=f(x)在x=x0處取到極值?請說明理由或請舉出反例.

(4)將圖5改為y=f′(x)的圖象,指出函數(shù)y=f(x)的極大值和極小值.進一步認識函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

(5)若圖5是函數(shù)y=f(x)的圖象,能否畫出函數(shù)y=f′(x)的大致走勢;若圖5是函數(shù)y=f′(x)的圖象,能否畫出函數(shù)y=f(x)的大致走勢.

設(shè)計意圖從圖象上看,學生有“眼見為實”的感覺,為學生自我探索函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系搭好橋梁.為突破難點“可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件”,一方面抓住圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢,使得學生的思維具體化、實際化;另一方面,通過尋找反例,培養(yǎng)學生辯證的思維習慣.研究過程中,函數(shù)y=f(x)的圖象及其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象是常用的兩張圖,通過對比異同,分析歸納兩張圖各自的優(yōu)勢,再次強化數(shù)形結(jié)合的意識,深化直觀想象的數(shù)學素養(yǎng).

環(huán)節(jié)4回顧總結(jié),強化直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)

(1)請同學們分享一下本節(jié)課的收獲和困惑；

(2)教師點評、總結(jié),可以從知識層面、能力層面和思想方法層面進行總結(jié).

設(shè)計意圖通過學生談收獲,談困惑,歸納總結(jié)核心知識和重要思想方法,感受直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)在本節(jié)課中的滲透與應(yīng)用.

三、教學反思

1.遵循學生認知規(guī)律

史寧中教授認為:數(shù)學知識的產(chǎn)生依靠直觀,即是通過“看”得到的,而這里的“看”實際上屬于直覺判斷.因此,符合學生的認知規(guī)律應(yīng)該是教師授課的核心.中學生的認知規(guī)律是從現(xiàn)象到本質(zhì)、從具體到抽象、從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般,認知特點是感性與直觀,基本的認知活動也是遵循著從具體到抽象,再到具體的順序.對于“函數(shù)的極值”這一概念,函數(shù)的圖象恰恰給了學生最清晰、最直觀的感受,借助于幾何直觀將抽象的概念變得具體、簡單而形象,學生也更容易認識與理解.

2.挖掘教材典型知識

課堂教學是落實核心素養(yǎng)的主要陣地,在日常教學過程中,全力挖掘教材中的典型知識,挑選具有代表性的內(nèi)容,構(gòu)建情境,精心設(shè)計,指引學生去觀察與思索,感悟與體會,歸納與總結(jié),積累自身“直觀想象”的經(jīng)驗,提升核心素養(yǎng).函數(shù)是高中數(shù)學中的一個重要內(nèi)容,而函數(shù)的圖象與性質(zhì)又是研究的重點.函數(shù)中的概念、符號、性質(zhì)等知識點具有高度的概括性和抽象性,學生不易接受與理解.函數(shù)的圖象能夠直觀反映函數(shù)的性質(zhì),清晰刻畫函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、有界性等性質(zhì),“形”的視角有助于學生對函數(shù)的認知.華羅庚先生說過:“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微.”教學中,利用幾何直觀來引導(dǎo)學生學習函數(shù),通過對圖象的感性認識幫助學生理解抽象的定義,有利于完成圖形語言、文字語言、符號語言的轉(zhuǎn)化.通過教師的引導(dǎo),幫助學生養(yǎng)成利用圖象分析問題和解決問題的思維習慣,發(fā)展學生的幾何直觀能力,讓數(shù)形結(jié)合的思想方法深入每個學生的內(nèi)心,讓它成為學生一種自覺的數(shù)學意識.讓課堂成為學生發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)的重要平臺.