新課標(biāo)下的高中數(shù)學(xué)微課題研究
———不等式恒成立問題的解題策略

成 亮

(江蘇省南京市寧海中學(xué) 210024)

研究背景微課題研究是一種當(dāng)下熱門的數(shù)學(xué)問題的研究形式，恰逢新課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布，不禁讓筆者思考：新課標(biāo)下哪些內(nèi)容可以設(shè)計成微課，最終能否形成符合新課標(biāo)的校本微課程？筆者所教的是一所省重點高中的高二年級理科班，在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)這一章后，通過智學(xué)網(wǎng)進(jìn)行了一次單元測試，測試結(jié)果如圖：

可以看出，正確率低于百分之八十的問題就有不等式恒成立，為了突破此難點問題，筆者設(shè)計了一節(jié)微課，錄制成一節(jié)微課視頻，讓學(xué)生通過30分鐘自主學(xué)習(xí)，最后15分鐘進(jìn)行同題型智學(xué)網(wǎng)當(dāng)堂檢測.

一、參變量分離解決不等式恒成立問題

參變量分離，即將不等式進(jìn)行等價變形，將參數(shù)與變量完全分離開來，形成以下四種形式之一：

①?x∈A,t≥f(x);②?x∈A,t>f(x);③?x∈A,t≤f(x);④?x∈A,t

例1若不等式lnx≤tx，對?x∈(0,+∞)恒成立，則t的范圍為____.

分析此題是不等式恒成立問題，首先采取參變量分離解決.

當(dāng)不等式能夠參變量分離時，參變量分離是解決不等式恒成立問題的首選方法.

二、構(gòu)建含參函數(shù)解決不等式恒成立問題

當(dāng)不等式中參數(shù)與變量沒辦法完全分離時，我們往往需要轉(zhuǎn)變思路去構(gòu)建含參的函數(shù)，形式如下：?x∈A,f(x)>0或?x∈A,f(x)≥0，其中f(x)是含參的函數(shù)，對參數(shù)分類討論，只要f(x)min>0或f(x)min≥0即可.

例2若不等式x-t2≥tlnx，對?x∈[1,+∞)恒成立，則t的范圍為____.

分析此題參數(shù)t與變量x不能夠完全分離開來，故將不等式移項x-t2-tlnx≥0，構(gòu)建含參數(shù)t的函數(shù)f(x)，對t進(jìn)行分類討論，使得f(x)min≥0即可

(1)當(dāng)t≤1時，f′(x)>0，則f(x)在x∈[1,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)min=f(1)=1-t2≥0,所以t∈[-1,1].

(2)當(dāng)t>1時，當(dāng)x∈(1,t),f′(x)<0，f(x)在(1，t)上單減，當(dāng)x∈(t,+∞),f′(x)>0，f(x)在(t，+∞)上單增，f(x)min=f(t)=t-t2-tlnt<0與題意矛盾.

綜上t∈[-1,1]

三、能參變量分離，但最值處無意義時的兩種處理方法

分析此題時不等式恒成立問題，首先考慮參變量分離，不妨試一下.

處理方法一 ：用洛必達(dá)法則求極限

處理方法二 ：轉(zhuǎn)變思路構(gòu)建含參的函數(shù)進(jìn)行分類討論求最值

綜上：a≥1.

本節(jié)課在學(xué)生學(xué)完后隨即用以下四道選擇題進(jìn)行了學(xué)習(xí)效果的檢測：

1.已知不等式ex≥ax對任意的x∈[0,+∞)恒成立，則a的取值范圍為( ).

A.(-∞,e) B.(-∞,e]

C. (-∞,1) D.(-∞,1]

A.[2,+∞) B.(-∞，2]

C. (2,+∞) D.[2,+∞)

4.函數(shù)f(x)=a(x2-1)-lnx，若f(x)≥0對任意x∈[1,+∞)恒成立，則a的取值范圍為( ).

A.[0,+∞) B.[1,+∞)

這四道題題型與單元測試一樣，其中第1，2，3三題難度與單元測試中的題難度系數(shù)相當(dāng)，第4題比單元測試中難度要大很多，在此前提下得如下結(jié)果：

從此圖可以看出經(jīng)過半小時的微課學(xué)習(xí)，正確率有所提升，由于微課學(xué)生課后還可以反復(fù)觀看學(xué)習(xí)，相信正確率的百分比會提高更多.