關(guān)于函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)踐

陳瑞飛

(江蘇省揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹(shù)人學(xué)校 225000)

一、函數(shù)與方程思想求解參數(shù)范圍

求解參數(shù)范圍是高中數(shù)學(xué)的重要題型，解答該題型的思路有兩種：其一，認(rèn)真審題，深入挖掘已知條件中的不等式關(guān)系，運(yùn)用不等式知識(shí)求解參數(shù)范圍.其二，借助題干中的等量關(guān)系構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)，在定義域內(nèi)求解函數(shù)的取值范圍.授課中既要注重相關(guān)例題的篩選與講解，使學(xué)生把握函數(shù)與方程思想解題步驟，明確解題注意事項(xiàng)，又要鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用技巧，遇到類似數(shù)學(xué)習(xí)題少走彎路，能夠迅速找到解題思路.

例1已知a、b為正數(shù)，滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍.

該題目題干簡(jiǎn)單，已知條件關(guān)系明了，解題方法較多，關(guān)鍵如何找到最簡(jiǎn)解法.觀察可知題干中涉及兩個(gè)參數(shù)的積與兩個(gè)參數(shù)的和，由此可聯(lián)想到一元二次方程兩根的關(guān)系，借助函數(shù)知識(shí)解答.設(shè)ab=t，由ab=a+b+3，可知a+b=t-3.因此可構(gòu)造方程x2-(t-3)x+t=0，顯然a、b為該方程的兩個(gè)正根，不難得出如下關(guān)系：

Δ=(t-3)2-4t≥0，t-3>0，t>0，解得t≥9.

即ab的取值范圍為[9，+∞).

解題感悟求解參數(shù)取值范圍時(shí)不能思維定勢(shì)，應(yīng)結(jié)合已知條件巧妙地運(yùn)用函數(shù)與方程思想進(jìn)行解答，尤其當(dāng)習(xí)題中出現(xiàn)兩個(gè)參數(shù)和與積的關(guān)系時(shí)，可考慮構(gòu)造相關(guān)的方程，借助根與系數(shù)的關(guān)系解答.

二、函數(shù)與方程思想解答方程問(wèn)題

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的函數(shù)類型較多，包括二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等.針對(duì)一般的方程問(wèn)題可通過(guò)分離變量轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)，借助函數(shù)圖象進(jìn)行分析.針對(duì)稍微復(fù)雜些的方程問(wèn)題，可采用換元法構(gòu)建新的函數(shù)，通過(guò)研究新函數(shù)找到要求解的答案.授課中僅僅講解理論知識(shí)是不夠的，應(yīng)借助例題為學(xué)生做好解題的示范，使其掌握函數(shù)與方程間的轉(zhuǎn)化思路.同時(shí)，鼓勵(lì)其在學(xué)習(xí)中加強(qiáng)訓(xùn)練，認(rèn)真剖析經(jīng)典習(xí)題，能夠舉一反三.

例2已知兩個(gè)函數(shù)f(x)=2cos2x+cosx-1，g(x)=cos2x+a(cosx+1)-cosx-3，假設(shè)兩個(gè)函數(shù)的圖象在(0，π)范圍內(nèi)至少有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的最小值.

讀懂該題并進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化是使用函數(shù)與方程思想解題的關(guān)鍵.兩個(gè)函數(shù)圖象在給定的區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)解，即當(dāng)兩個(gè)函數(shù)相等時(shí)有解，如此便將其轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題.

由已知可知，f(x)=g(x)在(0，π)上有解，即2cos2x+cosx-1=cos2x+a(cosx+1)-cosx-3，化簡(jiǎn)得到：a(1+cosx)=(cosx+1)2+1.

∵x∈(0，π)，即0<1+cosx<2,

解題感悟部分習(xí)題并未直接給出等量關(guān)系，需要學(xué)生深刻理解題意進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)化，因此，在以后的解題中應(yīng)注重積累相關(guān)轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成使用函數(shù)與方程思想解題的良好習(xí)慣.

三、函數(shù)與方程思想求解不等式問(wèn)題

高中數(shù)學(xué)中不等式問(wèn)題常和恒成立問(wèn)題聯(lián)系在一起，求解時(shí)除使用基本不等式知識(shí)求解外，多數(shù)采用函數(shù)與方程思想進(jìn)行解答.通過(guò)分離參數(shù)、移項(xiàng)構(gòu)造新的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)求解函數(shù)最值是常用的解題思路.授課中為學(xué)生講解對(duì)應(yīng)例題，使學(xué)生深刻體會(huì)函數(shù)與方程思想在解答不等式問(wèn)題中的應(yīng)用.同時(shí)，要求學(xué)生具體問(wèn)題具體分析，尤其針對(duì)存在多個(gè)參數(shù)的習(xí)題，應(yīng)結(jié)合已知條件確定變量與要求解的參數(shù)，明確其之間的函數(shù)關(guān)系，靈活運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解答.

該題目題干簡(jiǎn)單，證明的技巧性較強(qiáng)，沒(méi)有正確的思路，難以解答.認(rèn)真觀察要證明的不等式，結(jié)合以往解題經(jīng)驗(yàn)可知，需要先進(jìn)行移項(xiàng)構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)研究新函數(shù)的單調(diào)性求解其最值進(jìn)行證明.

解題感悟構(gòu)造函數(shù)技巧性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的各項(xiàng)能力要求較高.為使學(xué)生能夠順利使用函數(shù)與方程思想解題，要求其在學(xué)習(xí)中做好解題總結(jié)，明確使用函數(shù)與方程思想解題的思路，掌握函數(shù)構(gòu)造技巧，結(jié)合題干構(gòu)造合理的函數(shù)，巧妙運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解答.

函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想，在解題中的應(yīng)用率較高.授課中為使學(xué)生牢固掌握這一思想，并靈活應(yīng)用于解題中，應(yīng)做好能夠使用該思想解答的數(shù)學(xué)習(xí)題類型的匯總，選擇經(jīng)典例題為學(xué)生深入剖析，把握函數(shù)與方程思想在不同題型中的應(yīng)用方法與技巧，實(shí)現(xiàn)解題能力的顯著提高.