解析數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

曹彩霞

(江蘇省海門市四甲中學(xué) 226100)

數(shù)學(xué)模型是對實際問題的數(shù)學(xué)化概括與濃縮，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一.在當(dāng)前大力提倡核心素養(yǎng)培養(yǎng)教育背景下，數(shù)學(xué)建模能力被納入核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成部分，因此授課中應(yīng)提高認(rèn)識，注重數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用講解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識以及能力，為核心素養(yǎng)的提升奠定堅實基礎(chǔ).

一、認(rèn)真審題，構(gòu)建函數(shù)模型

學(xué)生對函數(shù)模型并不陌生，在初中階段已有所了解.高中數(shù)學(xué)涉及的函數(shù)模型更為深入，難度更大，授課中應(yīng)注重該種模型的應(yīng)用講解.一方面，構(gòu)建函數(shù)模型的關(guān)鍵在于找到自變量和因變量之間的關(guān)系，因此要求學(xué)生應(yīng)用該模型進(jìn)行解題時應(yīng)認(rèn)真審題，充分理解題意，尤其準(zhǔn)確確定自變量的取值范圍，以保證解答的正確性.另一方面，為學(xué)生講解常見函數(shù)模型解答方法，如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、高次函數(shù)等相關(guān)模型，使其認(rèn)識到解題中通常需要借助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，其中高次函數(shù)模型，則需要用到導(dǎo)數(shù)知識.

例1有一片樹林現(xiàn)有木材儲蓄量為7100cm3，要力爭使木材儲蓄量20年后翻兩番，達(dá)到28400cm3.

(1)求平均每年木材儲蓄量的增長率;

(2)如果平均每年增長率為8%，幾年可以翻兩番？

認(rèn)真分析可知，解答該題目需要用到指數(shù)函數(shù)模型.對于(1)可設(shè)增長率為x，根據(jù)題意可構(gòu)建如下模型：7100(1+x)20=28400，即(1+x)20=4.由對數(shù)知識可知，20lg(1+x)=2lg2，即，lg(1+x)≈0.0301，∴x+1≈1.072，所以x≈0.072=7.2%.(2)設(shè)y年可以翻兩番，則構(gòu)建模型為：7100(1+0.08)y=28400，解得y≈18.02，即十八年后可以翻兩番.通過該題的講解使學(xué)生認(rèn)識到，構(gòu)建函數(shù)模型要認(rèn)真審題，找到關(guān)鍵字構(gòu)建對應(yīng)數(shù)據(jù)模型.

二、把握特點(diǎn)，構(gòu)建數(shù)列模型

數(shù)列模型是高中數(shù)學(xué)中較為常見的模型，包括等差數(shù)列和等比數(shù)列兩種類型.應(yīng)用該種模型解答數(shù)學(xué)問題時，判斷是等比數(shù)列還是等差數(shù)列模型尤為關(guān)鍵.一方面，為學(xué)生總結(jié)等差數(shù)列和等比數(shù)列模型特點(diǎn)，使其認(rèn)清兩種模型之間的區(qū)別，結(jié)合題干找到首項、公差或公比.另一方面，解答數(shù)列模型時，應(yīng)積極回顧所學(xué)的數(shù)列知識，包括前n項和、數(shù)列的單調(diào)性，尤其注意在求解等比數(shù)列前n項和時，應(yīng)注重按照公比q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行分類討論.

三、鼓勵想象，構(gòu)建空間模型

立體幾何是高考的重要知識點(diǎn)，對學(xué)生空間想象能力要求較高.解答相關(guān)試題時構(gòu)建合理的空間模型尤為重要.為使學(xué)生靈活應(yīng)用空間模型解答立體幾何試題，一方面，可運(yùn)用多媒體技術(shù)，從不同角度向?qū)W生展示立體幾何圖形，加深其對立體幾何點(diǎn)、線、面要素的認(rèn)識；同時鼓勵學(xué)生聯(lián)想生活中的立體幾何圖形，合理想象，在頭腦中心形成清晰的空間對象.另一方面，要求學(xué)生具體問題具體分析，在求解的過程中，使用常規(guī)解法或向量解法，不斷提高空間模型解答能力.

例3已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)M在△ABC外，且MB=1，AC=2，則MA的最大值是____.

通過該題目的講解使學(xué)生認(rèn)識到，構(gòu)建空間模型時應(yīng)選擇合適的視角，才能簡化計算，提高解題效率.

四、深思熟慮，構(gòu)建概率模型

概率模型是高中數(shù)學(xué)的重要模型之一，相關(guān)試題難度并不大，但仍有一些學(xué)生在解題中出錯，因此為提高學(xué)生的概率模型應(yīng)用能力，一方面，為學(xué)生講解常見概率模型，包括古典概型和幾何概型，使其充分理解兩種模型之間的區(qū)別，以及應(yīng)用注意事項，如分析古典概型時，應(yīng)注重當(dāng)情況不確定時應(yīng)注重分類討論，保證考慮問題的全面性.另一方面，構(gòu)建概率模型時，可圍繞具體的問題情景，要求學(xué)生深思熟慮，認(rèn)真分析，不斷鍛煉學(xué)生的模型分析以及構(gòu)建能力.

例4某單位有3項業(yè)務(wù)要招標(biāo)，共有5家公司前來投標(biāo)，且每家公司對3項業(yè)務(wù)發(fā)出了投標(biāo)申請，最終發(fā)現(xiàn)每項業(yè)務(wù)都有且只有一家公司中標(biāo).如果5家公司在各項業(yè)務(wù)中目標(biāo)的概率均相等，問這3項業(yè)務(wù)由同一家公司中標(biāo)的概率為多少？

綜上所述，數(shù)學(xué)建模是一項重要的數(shù)學(xué)能力，根據(jù)題意構(gòu)建正確的數(shù)學(xué)模型可明顯提高解題效率，因此授課中應(yīng)提高認(rèn)識，結(jié)合高中數(shù)學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)模型，為學(xué)生認(rèn)真細(xì)致地講解數(shù)學(xué)建模專業(yè)知識.同時創(chuàng)設(shè)相關(guān)的問題情景，對學(xué)生進(jìn)行模型構(gòu)建訓(xùn)練，積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗與技巧，不斷提高數(shù)學(xué)解題能力.