例談一次函數(shù)由圖形不確定引起的分類(lèi)討論

洪聲華

【摘要】分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)解題中占有重要的位置，分類(lèi)討論的思想方法在一次函數(shù)中的運(yùn)用已成為考試的一大熱點(diǎn)。本文主要結(jié)合例題，具體闡述在一次函數(shù)教學(xué)中由圖形不確定引起的分類(lèi)討論，以提高學(xué)生的解題能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】分類(lèi)討論;思想;一次函數(shù)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)。其中“數(shù)學(xué)思想方法”在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，它貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心思想。通過(guò)歷年以來(lái)數(shù)學(xué)家、教育家對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的研究，把數(shù)學(xué)思想方法分為幾大類(lèi)：方程思想、函數(shù)思想、分類(lèi)討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、極限思想、整體思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想等。

分類(lèi)討論思想具有較高的邏輯性，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性，所以在數(shù)學(xué)解題中占有重要的位置。分類(lèi)討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類(lèi)整理的方法。分類(lèi)是在題目部分條件缺失或不明確的情況下，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類(lèi)的思想方法。在解答問(wèn)題時(shí)，需要對(duì)各種情況加以分類(lèi)，并逐類(lèi)求解，再加以綜合。

引起分類(lèi)討論的原因主要有：（1）涉及的數(shù)學(xué)概念是分類(lèi)進(jìn)行的;（2）涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類(lèi)給出的;（3）解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論;（4）某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等。

在解有些一次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，需要將問(wèn)題所涉及的對(duì)象依照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成若干類(lèi)，然后逐類(lèi)加以討論，最終才能得出正確的解答，這種方法稱(chēng)為分類(lèi)討論，它既是一種邏輯方法，也是數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法和解題的策略，這一思想方法在一次函數(shù)中的運(yùn)用已成為考試的一大熱點(diǎn)。

進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，我們要遵循的原則是“不重不漏”。用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題的一般步驟是：（1）討論的對(duì)象及討論對(duì)象的取值范圍的確定;（2）正確選擇分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類(lèi)（分類(lèi)時(shí)需要做到四大原則）;（3）逐步討論解決問(wèn)題;（4）歸納并作出結(jié)論。

下面，結(jié)合例題具體闡述一次函數(shù)教學(xué)中由圖形不確定引起的分類(lèi)討論。

【例1】點(diǎn)P在直線y-x+1上，且到y(tǒng)軸的距離為1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析：本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征。解答該題時(shí)，要注意：到y(tǒng)軸的距離為1的點(diǎn)P有兩個(gè)。由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x=±1;可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，0）或（-1，2）。

【例2】 若一次函數(shù)y=kx+1與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3，則k的值為多少。

分析：本題考查函數(shù)解析式和三角形的結(jié)合，有一定的綜合性，注意坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)化。由一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積=? ?×1×? ? =3，注意分兩種情況討論，解得k=? ? ? 。

【例3】 已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍是-2≤y≤4，求kb的值。

分析：此題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，要注意根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)要分情況討論。

①當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，當(dāng)x=2時(shí)，y=4，可以求得kb=3×（-2）=-6;

②當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=4，當(dāng)x=2時(shí)，y=-2，可以求得kb=-3×4=-12。

所以kb的值為-6或-12。

【例4】 已知直線l和直線l'：y=-4x+20交于點(diǎn)P，l與x軸交于點(diǎn)A（8，0），且△PAO的面積為16，求直線的函數(shù)解析式。

分析：此題考查兩直線相交問(wèn)題，根據(jù)直線與軸交于點(diǎn)A（8，0），由△PAO的面積為16得出P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為4，分P的縱坐標(biāo)為±4兩種情況解答，故直線l的函數(shù)解析式為y=-x+8或y=-0.5x+4。

【例5】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)P在直線y=-x+m上，且AP=OP=4。求m的值。

分析：由已知AP=OP，易知點(diǎn)P在線段OA的垂直平分線上，那么就能求得△AOP是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，就能求得點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為? ? ? ，分點(diǎn)P在第一象限和第四象限兩種情況求得P（2，? ? ）或（2，? ? ?）。在把點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即可求出m的值為2+? ? ? ? 或2-? ? ? ? ?。

【例6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-? ? ?x+1的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)。

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo);

（2）點(diǎn)C在軸y上，當(dāng)S△ABC=2S△AOB時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象與x軸、y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，分別令x=0、令y=0可求出點(diǎn)A 的坐標(biāo)（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)（0，1）;（2）根據(jù)S△ABC=2S△AOB且兩三角形同高可得出BC=2OB=2，注意分兩種情況討論：①若點(diǎn)C在點(diǎn)B上方，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3）;②若點(diǎn)C在點(diǎn)B下方，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-1），綜上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3）或（0，-1）.

由以上的討論以及例題分析我們可以看出，分類(lèi)討論思想不是一個(gè)單一的、獨(dú)立的思想，它往往和數(shù)形結(jié)合思想、整體思想等聯(lián)系在一起。有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練學(xué)生的思想條理性和概括性。因此，要學(xué)好分類(lèi)討論思想，就要在日常生活中加強(qiáng)意識(shí)，更好地把它與其他思想相結(jié)合，做到舉一反三、融會(huì)貫通。

總而言之，分類(lèi)討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中起著很重要的作用，學(xué)好分類(lèi)討論思想，不僅僅有利于我們對(duì)所學(xué)知識(shí)的歸納，有利于我們應(yīng)對(duì)平常的學(xué)習(xí)任務(wù)，更為我們?nèi)粘Ｉ钪薪鉀Q實(shí)際問(wèn)題提供了一定的幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉文武.中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想—分類(lèi)討論思想[M].科學(xué)出版社，2003.

[2]陸志昌，景山.初中數(shù)學(xué)解題思維方法大全[M].山西教育出版社，2015.