新形勢下近世代數(shù)的教學(xué)研究

王麗

[摘? ? ? ? ? ?要]? 探討如何加強(qiáng)學(xué)生對抽象的代數(shù)概念和定理的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力以及提高課堂的教學(xué)效率等，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段三個(gè)方面提出幾點(diǎn)改進(jìn)意見。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 近世代數(shù);現(xiàn)代手段;效率;興趣

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）44-0036-02

教學(xué)是高等教育最基本也是最重要的任務(wù)。各大高校為了提高教學(xué)質(zhì)量，不僅對教學(xué)理念和教學(xué)模式進(jìn)行不斷改革，還對教學(xué)學(xué)時(shí)、教學(xué)結(jié)構(gòu)和教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行改進(jìn)，并隨著科技的發(fā)展和進(jìn)步對教學(xué)手段不斷創(chuàng)新。近世代數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課之一，其內(nèi)容是高等代數(shù)的延伸。高等代數(shù)對許多學(xué)生來說已經(jīng)比較抽象了，而近世代數(shù)以研究代數(shù)系統(tǒng)和代數(shù)結(jié)構(gòu)為主，更是抽象。同時(shí)，抽象代數(shù)中的一些運(yùn)算顛覆了學(xué)生將近二十年對運(yùn)算的理解（比如運(yùn)算的交換性、零因子等），這些都將使學(xué)生對抽象代數(shù)的理解感到困惑。而抽象代數(shù)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生對代數(shù)思想形成和代數(shù)方法的掌握，也對今后從事數(shù)學(xué)科研有很大幫助。對這一門抽象的課程如何提升教學(xué)質(zhì)量，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，幫助學(xué)生建立嚴(yán)密的邏輯思維和高度抽象的能力，是我們每一位從事代數(shù)課程的老師需要思考和探究的問題。下面從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法以及教學(xué)手段三個(gè)方面來改進(jìn)。

一、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的改進(jìn)

（一）類比法和探索法引出新概念

近世代數(shù)是高等代數(shù)的后續(xù)課程，很多內(nèi)容都是相關(guān)的。可以通過結(jié)合高等代數(shù)中已熟知的內(nèi)容推演抽象代數(shù)的概念。比如抽象代數(shù)中第一個(gè)關(guān)鍵的名詞是“群”。剛開始接觸群的概念肯定會不知所以然。我們可以結(jié)合高等代數(shù)中線性空間的概念。線性空間對加法的部分，就是一個(gè)加法群。從這些我們熟知的概念中，慢慢延伸到群的概念。另外，子群與子空間、正規(guī)子群與核空間的概念，以及生成子群與生成子空間的問題兩兩類比引出新概念。在類比過程中，讓學(xué)生自己去摸索和探索，慢慢體會代數(shù)的“味道”，讓學(xué)生在不知不覺中掌握新的知識。這樣既遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生不再感覺到數(shù)學(xué)的“難”，而是一種水到渠成的自然，同時(shí)增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性。

（二）通過補(bǔ)充練習(xí)和學(xué)生的討論，加深理解

近世代數(shù)之所以抽象，就是因?yàn)槔锩娴膬?nèi)容基本上都是很精煉的概念和定理，以及邏輯嚴(yán)密的定理證明。這些抽象的概念和定理的表述已經(jīng)被數(shù)學(xué)家凝練到最精簡了，學(xué)生對這些數(shù)學(xué)詞匯的理解往往比較膚淺，看不到其中的本質(zhì)。總感覺這些概念和定理是虛無縹緲的，是摸不著的。學(xué)生也常說“對概念和定理沒感覺”，而且書本上的例題相對其他的課程是比較少的。這就需要教師在課堂上適當(dāng)添加例子和練習(xí)幫助學(xué)生理解關(guān)鍵詞匯。另外，還可以增加一些討論題，讓學(xué)生形成學(xué)習(xí)小組，通過激烈的討論和想法的碰撞，以達(dá)到通過各種典型例題對概念更深入的理解，對結(jié)論的應(yīng)用更靈活。比如學(xué)生對陪集以及商群的概念總是理解不好，主要是集合作為元素不太容易接受，針對這個(gè)概念我們就需要增加例子，學(xué)生見得多了自然就可以接受。而且從這些例子中結(jié)合性質(zhì)來觀察和探索商群的單位元、逆元以及陪集代表元的選取問題。在討論中學(xué)習(xí)，增強(qiáng)理解和記憶。

（三）自主學(xué)習(xí)和講授相結(jié)合的背景介紹

學(xué)生總會問，“我們學(xué)這些有什么用”。那我們反過來想，這些概念為什么會產(chǎn)生，之前的數(shù)學(xué)家們是因?yàn)檠芯渴裁磫栴}才會給出這些概念，是想解決什么問題，才會引入這些數(shù)學(xué)定理的。在授課過程上，教師適當(dāng)增加這些內(nèi)容的介紹，不僅解了學(xué)生的疑惑，還讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，感受數(shù)學(xué)的漫長的發(fā)展過程。一個(gè)概念的誕生并不是突兀的，而是順應(yīng)學(xué)科發(fā)展規(guī)律的。這樣大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，更能在枯燥的課堂上增加一些樂趣。同時(shí)，增加一些數(shù)學(xué)家的介紹，讓學(xué)生更多地感受數(shù)學(xué)家們的科研精神，展示榜樣的力量，更好地激勵(lì)學(xué)生的鉆研精神，也自然實(shí)現(xiàn)了課程思政。授課中，教師還可嘗試將這些背景和相關(guān)資料布置給學(xué)生，指導(dǎo)學(xué)生課下查閱文獻(xiàn)，課間組織學(xué)生利用各種形式介紹給大家，這樣不僅鍛煉學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，還培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識。

二、現(xiàn)代教學(xué)手段的改進(jìn)

數(shù)學(xué)已經(jīng)讓學(xué)生望而生畏，而近世代數(shù)是數(shù)學(xué)王國里的抽象王子。之前傳統(tǒng)的教學(xué)方式是一本教科書，一支粉筆，一個(gè)黑板，靠的是教師不停解釋和分析。學(xué)生坐在下面，似乎看到的一直都是靜止的畫面，耳朵聽到的似乎是另一個(gè)世界的語言，很容易走神，很難有代入感。教師在講臺上使出全身氣力一遍遍地講解，學(xué)生依然不知所以然，課堂效率不高，學(xué)生也聽得乏味，積極性大打折扣，致使教師累，學(xué)生也累，關(guān)鍵是課堂教學(xué)質(zhì)量不顯著。而這些問題利用現(xiàn)代教學(xué)手段都可以得到很大程度的緩解。

（一）多媒體的應(yīng)用

多媒體對文字、圖像、聲音、視頻，尤其是數(shù)學(xué)關(guān)系都可以形象、直觀的方式展示出來。

1.直觀

教師在講解概念時(shí)，需要逐字逐句的分析和解釋，而且需要輔以例子、圖片等資料幫助學(xué)生理解和記憶。比如二面體群的概念就是由正多面體的正交變換得來的。傳統(tǒng)教學(xué)就顯得捉襟見肘了，多媒體可以將這些直觀地表現(xiàn)出來，這樣有助于學(xué)生理解，比單純用文字講效果顯著。

2.課堂效率提高

近世代數(shù)的概念不僅抽象還聯(lián)系緊密，前后貫通。在講授新知識和結(jié)論的證明中，經(jīng)常會對前面知識進(jìn)行復(fù)習(xí)和回憶，教師或者單純提一下，學(xué)生沒印象;或者把之前的知識在黑板上寫出來，或者讓學(xué)生翻書，對新講的思路很容易被打斷，學(xué)生依然很難被帶入代數(shù)的思考。運(yùn)用多媒體的方式，直接在屏幕上出現(xiàn)，可以省下很多時(shí)間，課堂效率一下子就提高很多，這不僅對課時(shí)有限的現(xiàn)代教學(xué)是很有益的，原本解決問題的思路還不易被打斷。

3.趣味性提高

興趣是最好的老師，讓學(xué)生感到有趣也是教師在教學(xué)中最重要的教學(xué)目標(biāo)。多媒體的屏幕可以播放圖形、聲音、視頻等，這針對枯燥課堂，大大提高了學(xué)生的興趣。

（二）數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用

從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是離不開計(jì)算的，很多結(jié)論都是從大量的計(jì)算結(jié)果中產(chǎn)生的，從而推進(jìn)學(xué)科發(fā)展。而近世代數(shù)中概念之所以抽象，是因?yàn)闆]有太多可操作性的計(jì)算。事實(shí)上，近世代數(shù)中不僅有很多計(jì)算，還有相關(guān)的軟件，比如：GAP，Magma軟件，見文獻(xiàn)[6]，都是代數(shù)的專業(yè)軟件，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)的計(jì)算機(jī)化，這些軟件也增加了代數(shù)應(yīng)用的一些操作，比如代數(shù)在圖論上的應(yīng)用。學(xué)生通過對這些專業(yè)軟件的認(rèn)識，簡單操作以及深入探索，不僅加強(qiáng)了對近世代數(shù)中群、環(huán)、域相關(guān)概念的理解，還可以從這些操作的計(jì)算中找到規(guī)律，提高學(xué)生自我探索的能力，同時(shí)能體會到數(shù)學(xué)研究的快樂，并且也可以慢慢接觸代數(shù)的應(yīng)用，大大開闊了視野。

（三）輔助軟件的應(yīng)用

現(xiàn)今已經(jīng)進(jìn)入5G時(shí)代，網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)給我們帶來很大的便捷。比如交流軟件：手機(jī)、QQ、微信;直播軟件：釘釘在線直播，騰訊課堂;課堂互動軟件：云班課、課堂派;課下學(xué)習(xí)網(wǎng)站：慕課、微課等。當(dāng)今我們接收知識的途徑不再是單一的，而是多種多樣的。我們在授課過程中，也要與時(shí)俱進(jìn)并借助這些軟件在課堂上運(yùn)用，比如云班課可以發(fā)布簽到、練習(xí)以及課下資料，這樣省去上課的時(shí)間，而且可以通過數(shù)據(jù)及時(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。傳統(tǒng)課堂因?yàn)闀r(shí)間的限制，很難達(dá)到每一個(gè)學(xué)生有回答問題和討論問題的機(jī)會，我們通過運(yùn)用軟件，讓大家都可以參與到問題的討論，這樣既增強(qiáng)了學(xué)生的參與感和學(xué)習(xí)的積極性，又加深了教師對每個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的掌握。

（四）學(xué)習(xí)資料的分享

網(wǎng)絡(luò)的發(fā)達(dá)，軟件豐富，讓我們的學(xué)習(xí)更加便捷。比如利用學(xué)習(xí)軟件，我們可以將知識點(diǎn)的背景介紹、重難點(diǎn)知識點(diǎn)、章節(jié)小結(jié)、典型例題等相關(guān)內(nèi)容分享給學(xué)生。傳統(tǒng)課堂是在規(guī)定的時(shí)間和地點(diǎn)學(xué)習(xí)特定的知識，而我們現(xiàn)在可以利用現(xiàn)代教學(xué)手段，打破時(shí)間和空間的束縛，隨時(shí)隨地學(xué)習(xí)。學(xué)生可以將碎片化的時(shí)間利用起來，學(xué)習(xí)一個(gè)甚至更多的知識點(diǎn)，練習(xí)更多的習(xí)題，以及獲取與書本知識相關(guān)的資料，拓寬了知識面，豐富了學(xué)生的課下學(xué)習(xí)生活。

抽象的數(shù)學(xué)概念和定理如何讓學(xué)生真正地理解，以及能夠更好地應(yīng)用，一直都是數(shù)學(xué)教師研究的一個(gè)課題。教師隨著科技的發(fā)展社會的變化，以及學(xué)生的變換，及時(shí)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容的講授方式，運(yùn)用最新的科技，合理增加教學(xué)手段，以期達(dá)到在有限課時(shí)的情況下，提升教學(xué)效率和質(zhì)量，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，鍛煉學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和獨(dú)立思考的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維和抽象能力。

參考文獻(xiàn)：

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[6]W.Bosma，C.Cannon，C.Playoust，The MAGMA algebra system I：The user language[J].Journal of Symbolic Computation，1997（24）：235-265.

◎編輯 武生智