求解復對稱線性系統(tǒng)的CRI變型迭代法

楊 鳳

(溫州大學數(shù)理與電子信息工程學院，浙江溫州 325035)

本文考慮下列非奇異復對稱線性系統(tǒng)

其中 W ,T ∈ Rn×n均為對稱矩陣，i為虛數(shù)單位．這類線性系統(tǒng)廣泛存在于科學計算和工程應用中，例如渦流問題[1]、光散射成像[2]、分子動力學和流體動力學[3]等問題．

對于問題（1），當 W ,T ∈ Rn×n，且其中一個矩陣是對稱正定的，另一個矩陣是對稱半正定時，前人已經(jīng)提出了許多的迭代法．基于線性系統(tǒng)系數(shù)矩陣的 Hermite和斜 Hermite分裂，Bai等[4]提出了HSS（Hermitian and Skew-Hermitian Splitting）迭代法，此后基于此類的迭代法層出不窮．例如為了避免求解系數(shù)矩陣為斜Hermite線性方程組，Bai等[5]提出了修正的HSS迭代法；為了加快MHSS（Modified Hermitian and Skew-Hermitian Splitting）迭代法的收斂速度，Bai等[6]又提出了PMHSS（Preconditioned Modified Hermitian and Skew-Hermitian Splitting）迭代法；Wang等[7]提出了CRI（Combination Method of Real Part and Imaginary Part）迭代法，并證明了CRI迭代法迭代矩陣譜半徑的上界比PMHSS迭代法迭代矩陣譜半徑的上界更?。?/p>

1 CRI迭代法

2 CRI變型迭代法

CRI迭代法[7]的迭代格式如下：

其中α為任意大于 0的實數(shù)．在復對稱線性系統(tǒng)（1）的兩邊同時乘以(1 - i )有：由CRI迭代法迭代格式，得到了CRI變型迭代法的迭代格式

從而對?α＞0，CRI變型迭代法對于線性系統(tǒng)（1）都無條件收斂．

證明：對CRI變型迭代法迭代矩陣做適當?shù)淖冃斡校?/p>

類似定理1的證明，設λ為矩陣φ(α)的特征值，由u表示T-1W的特征值知

當0＜α＜1時，h(α)單調遞減；當α＞1時，h(α)單調遞增．則α*=1時，h(α)取得極小值，將α*=1代入ρ(φ(α) ) 中，可得ρ(φ( 1 ))=，在定理 2的條件下，由推論 1知

3 數(shù)值實驗

使用了一個復對稱線性系統(tǒng)例子，通過CRI變型迭代法和CRI迭代法進行比較，驗證了CRI變型迭代法求解復對稱線性系統(tǒng)（1）的有效性和可行性．在實驗中，分別從迭代次數(shù)（IT）、計算時間（CPU）、迭代誤差（ERR）這三個角度進行比較，選擇初始向量 x0為零向量，迭代誤，其中 xk為當前的迭代殘量．在CRI變型迭代法和CRI迭代法的比較中，令參數(shù)α=1．

例1 復對稱不定線性系統(tǒng)（1.1）[5]的形式如下：

其中矩陣M和K是慣性和剛度矩陣，CV和τK是粘滯阻尼矩陣，ω是駕駛圓頻率，τ是阻尼系數(shù)．

令 M = I,CV= 1 0I ，K是5點中心差分，在一個均勻網(wǎng)格上近似于具有齊次狄利克雷邊界條件的負拉普拉斯算子的矩陣，而均勻網(wǎng)格[0,1]×[0,1]的尺寸大小矩陣K也是一個n階塊三對角矩陣，具有如下的張量積形式 ( n = m2)：

分別令ω =4,τ =1選擇m=16, 32, 64, 128時，滿足W是對稱半正定矩陣，T是對稱正定矩陣，以及本文的假設CRI變型和CRI這兩種迭代法求解例1的實驗結果見表1，表 1實驗數(shù)據(jù)表明從迭代次數(shù)（IT），計算時間（CPU）和迭代誤差（ERR）這三個角度來看，CRI變型迭代法都優(yōu)于CRI迭代法，并且對于CRI變型迭代法求解的線性系統(tǒng)維數(shù)越大，迭代次數(shù)越小．

表1 例1的數(shù)值實驗結果

4 結 論

本文分析了CRI迭代法收斂半徑以及收斂半徑的最優(yōu)參數(shù)，在此基礎上進一步提出了求解復對稱線性系統(tǒng)的CRI變型迭代法，并給出了CRI變型迭代法的收斂分析以及最優(yōu)收斂因子．在取最優(yōu)參數(shù)的條件下，驗證了在滿足一定條件時，CRI變型迭代法比CRI迭代法的收斂半徑更小，最后通過數(shù)值實驗結果體現(xiàn)了此結論，并驗證了CRI變型迭代法的優(yōu)越性．