平面上的一類(lèi)擴(kuò)張流

許衛(wèi)麗

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

在過(guò)去的幾十年里，曲線的發(fā)展問(wèn)題受到了很大關(guān)注，其中較為經(jīng)典的一個(gè)曲線流如下：

它是一種周長(zhǎng)和所圍成的面積都隨著時(shí)間的增加而減小的曲線流，也即是一種收縮流．Gage等[1-3]在此基礎(chǔ)上研究了平面上的其他封閉凸曲線，這些曲線流在有限的時(shí)間內(nèi)收縮到一個(gè)點(diǎn)．近幾年，人們通過(guò)改變曲線流的速度，也即是說(shuō)通過(guò)把等式（1）中的曲率κ改成由曲率、曲線的長(zhǎng)度和曲線所圍成的面積構(gòu)成的函數(shù)，從而創(chuàng)造出各種各樣的曲線流[4-8]．此外，文獻(xiàn)[9-13] 還介紹了其他情況的曲線流．最近的一篇文獻(xiàn)[14]介紹了一種由保長(zhǎng)度的曲線流和一種保面積的曲線流組合成的曲線流．很自然地，我們就會(huì)想到能否把前人研究的一種保長(zhǎng)度的曲線流與另一種其他的曲線流組成新的曲線流．據(jù)此，本文用文獻(xiàn)[7]中的保長(zhǎng)度的曲線流和文獻(xiàn)[15]中的一種周長(zhǎng)以及所圍成的面積都隨著時(shí)間的增加而增大的曲線流組合成新的曲線流，具體如下：

其中0≤λ≤1，初始曲線的方程為X（u , 0）= X0（u）．

定理1 假設(shè) X0（u）是平面上的光滑且封閉的凸曲線，對(duì)于任意的時(shí)間 t ∈ ［ 0, + ∞ ），方程（2）的解存在且保持凸性．曲線的長(zhǎng)度和曲線所圍成的面積都是隨著時(shí)間的增加而增大，且它們都有上界．當(dāng)時(shí)間t→+∞，曲線 X （u, t）在C∞范數(shù)下收斂到一個(gè)有限圓．

1 預(yù)備知識(shí)

由于改變曲線流方程的切向分量?jī)H影響曲線流的參數(shù)表示，我們選擇合適的切向分量η來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算．考慮以下等效方程：

引入弧長(zhǎng)參數(shù) s = s （u, t），記 g （u,t） =是切向量的長(zhǎng)度，弧長(zhǎng)的微分可以寫(xiě)成 d s = g（u,t） du ．假設(shè)θ是x軸的正方向與切向分量T之間的角，在方程（3）下，發(fā)展曲線的幾何量發(fā)展方程如下：

由此可以注意到曲線的長(zhǎng)度L以及它所圍成的面積A都是不依賴η的．通常來(lái)說(shuō)，θ是關(guān)于u和t的函數(shù)．為了使θ只是關(guān)于u的函數(shù)，與時(shí)間t獨(dú)立，即由（7）式可以得到：

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以用參數(shù)（θ, τ ）代替參數(shù)（u,t）．曲率的發(fā)展方程可以寫(xiě)為：

接下來(lái)將研究與方程（2）等價(jià)的曲線流的發(fā)展問(wèn)題：

2 長(zhǎng)度和面積都是增加的且有上界

這一部分將給出下面的證明．

定理2 曲線按照（2）式發(fā)展，在發(fā)展過(guò)程中，曲線的長(zhǎng)度和它所圍成的面積都是隨著時(shí)間的增加而增大并且有上界．當(dāng)t趨于無(wú)窮大的時(shí)候，等周差24πLA-隨著時(shí)間的增大逐漸減少并收斂到0．

更重要的是，我們有：

對(duì)上述不等式兩邊積分得：

結(jié)合經(jīng)典的等周不等式，易知，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，等周差24πLA-隨著時(shí)間的增加而減少并收斂到0．

從方程（8）和（14）可以很容易地得到：

3 凸性和長(zhǎng)時(shí)間存在性

這一部分將用與文獻(xiàn)[8]同樣的方法來(lái)證明曲線流（2）的凸性和長(zhǎng)時(shí)間存在性．

引理1 曲線流（13）的曲率發(fā)展方程可以轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)熱方程，它的解在任意時(shí)刻都存在．證明：由（12）式可以得到：

引理2 若一條封閉的凸曲線按照方程（13）發(fā)展，則曲線流在發(fā)展過(guò)程中始終保持是凸的．

曲線流的支撐函數(shù)是光滑的并有全局存在性，下面將運(yùn)用支撐函數(shù)的這種特性得到曲線流的長(zhǎng)時(shí)間存在性．

引理3 支撐函數(shù)的發(fā)展方程如下：

通過(guò)直接計(jì)算，就可證明該引理．

引理4 支撐函數(shù)p存在于區(qū)間（0,2π）×［0,∞），且滿足

4 定理1的證明

如果曲線按照方程（2）發(fā)展，根據(jù)定理 2可知，曲線的長(zhǎng)度和它所圍的面積是隨著時(shí)間的增加而增大的．通過(guò)引理2可知，曲線流在發(fā)展過(guò)程中保持凸性．從引理4和引理5可知支撐函數(shù)的全局存在性，因此曲線流的方程（13）與方程（2）等價(jià)．此外，由文獻(xiàn)[16]中的 Bonnesen不等式即曲線在C∞范數(shù)下收斂到有限圓．