離散Bose-Einstein方程的全局吸引子與熵的估計

桑燕苗

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

研究下面耦合的常微分方程組

初始條件為

方程（3）是帶有弱阻尼和平方勢的非線性Schr?dinger方程，該方程描述等離子的運動．通常情況下，該方程被稱為濃縮的Bose-Einstein方程[1]，可從等離子物理或纖維波傳播震動中推導(dǎo)出來[2-4]．文獻[5]證明了該方程在全直線上全局吸引子的存在性，文獻[6-7]證明了該方程在二維薄的無界區(qū)域上的全局吸引子的存在性與有限維數(shù)．

本文討論了方程（3）在有限格點上的漸近行為，證明了方程組（1）的解算子生成的半群具有全局吸引子，給出全局吸引子的Kolmogorov ε-熵的估計．我們是在有限區(qū)間[ ,]nn- 而不是在全直線R上討論方程（3）的離散近似，是因為方程（3）包含了 ix2u．若在全直線上討論，該項將產(chǎn)生具有無界系數(shù)的項，這將導(dǎo)致解的唯一性得不到證明，從而使得無法應(yīng)用半群理論來討論該方程組的解的漸近行為．

1 整體適定性和全局吸引子

對于方程組（1）考慮充分大的自然數(shù)n，記

則初值問題（1） - （2）可以寫成

轉(zhuǎn)置．不難驗證

1）局部適定性．對任給的uin∈E，問題（5） - （6）存在唯一解u∈C ( [0,T0),E)，其中T0＞ 0 ，并且如果 T0＜+∞ ，

2）整體有界性．對任給的uin∈E，問題（5） - （6）的解滿足

證明：

1）注意到常微分方程（5）中包含的算子:AEE?是線性有界算子，只需驗證(,)Fut是從E到E的局部Lipschitz算子．事實上，設(shè)R?E是有界集．對任意 ,uv∈R，有

應(yīng)用Gronwall不等式到（15）式有

應(yīng)用Gronwall不等式到（16）式得到

定理1證明完畢．

2 Kolmogorov ε-熵

定義1 對任給的ε＞0，記Nε(A,E ) =Nε(A)為E中半徑不超過ε＞0的覆蓋全局吸引子A所需的球的最少個數(shù)．定義 Kε(A) = Kε(A,E ) = l n Nε(A)為全局吸引子A的 Kolmogorov ε-熵．

① Lorentz G, Golistschek M. Constructive approximation: advanced problems [M]. Beijing: World Book Press, 2015.

3 結(jié) 論

證明了問題（5） - （6）在空間E中是整體適定的，且該方程組解算子在空間E中生成一個連續(xù)半群，該半群滿足緊性、不變性、吸引性，故半群存在全局吸引子，并通過截斷估計給出了全局吸引子的Kolmogorov ε-熵的上界估計．