彈簧擺到底能擺多高？
——由一道高三聯(lián)考題引發(fā)的思考和研究

江俊勤

(廣東第二師范學(xué)院物理與信息工程系，廣東 廣州 510303)

1 衡中同卷——2019年全國高三聯(lián)考理綜卷第21題及其答案

圖1 彈簧與小球的初始狀態(tài)

(A) 彈簧的最大長度大于L.

(B) 小球到達(dá)的最高點(diǎn)高于O點(diǎn).

(C) 小球到達(dá)的最高點(diǎn)與O點(diǎn)等高.

(D) 小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)彈簧彈力為0.

試題答案與解析： (A)、(B).

2 用機(jī)械能守恒定律做定性分析

原考題所給的答案“選項(xiàng)(B)正確，(C)錯(cuò)誤”明顯是一個(gè)想當(dāng)然的武斷結(jié)論、其解析也邏輯混亂,錯(cuò)誤地認(rèn)為開始時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能mv02/2+EpF>mgL就保證了小球到達(dá)的最高點(diǎn)高于O點(diǎn). 在原題答案的解析中,明顯漏掉了最高點(diǎn)處小球可能有較大的動(dòng)能mvx2/2 (x為水平方向,y為豎直方向,O為坐標(biāo)原點(diǎn);如圖2所示),也沒有考慮小球在最高點(diǎn)時(shí)的彈力勢能,這兩項(xiàng)的大小將直接影響著小球所能到達(dá)的高度,下面先從機(jī)械能守恒定律出發(fā)進(jìn)行定性分析.

設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k,松弛狀態(tài)(自然狀態(tài))的長度為L0,最高處小球的縱坐標(biāo)為ymax、彈簧的長度為l;以小球的初始位置為重力勢能的零點(diǎn),則開始時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能為mv02/2+EpF=mv02/2+k(L-L0)2/2>mgL;在最高點(diǎn)處系統(tǒng)的機(jī)械能為mvx2/2+k(l-L0)2/2+mg(L+ymax).由機(jī)械能守恒定律得

mv02/2+k(L-L0)2/2=mvx2/2+k(l-L0)2/2+mgL+mgymax.

(1)

式(1)右邊前兩項(xiàng)mvx2/2和k(l-L0)2/2的大小都是未知的,從題設(shè)條件我們并不知道m(xù)v02/2+k(L-L0)2/2是比mvx2/2+k(l-L0)2/2+mgL大還是小,故不能確定ymax>0還是ymax≤0,即無法保證小球到達(dá)的最高點(diǎn)高于O點(diǎn)!

小球到底能擺多高?小球到達(dá)的最高點(diǎn)能不能高于O點(diǎn)?為了徹底解答本問題,必須從牛頓第二定律出發(fā)進(jìn)行定量分析.

3 動(dòng)力學(xué)方程和數(shù)值分析

(2)

由牛頓第二定律可知擺球的動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

本文固定取m=0.1 kg,L0=0.5 m,而k取各種不同數(shù)值進(jìn)行求解. 先取較小的勁度系數(shù),例如k/m=110 N/(m·kg)(即m=0.1 kg、k=11 N/m),則擺球在1.5 s、12 s和180 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡分別如圖2～4 所示,球到達(dá)的最高點(diǎn)自始至終都低于O點(diǎn),即選項(xiàng)(B)“小球到達(dá)的最高點(diǎn)高于O點(diǎn)”是不能實(shí)現(xiàn)的.

小球處于平衡時(shí)合力為0,突然獲得一水平速度后沿水平方向做直線運(yùn)動(dòng)并開始拉伸彈簧(所以選項(xiàng)(A)正確),隨著彈簧長度增加拉力增大,小球向上做曲線運(yùn)動(dòng)(然后彈簧開始處于壓縮狀態(tài));第一次到達(dá)最高點(diǎn)(嚴(yán)格來說應(yīng)稱為y的極大值點(diǎn))處之后受外推彈力作用向右下方運(yùn)動(dòng),第一次到達(dá)最低點(diǎn)處(y的極小值處)在慣性和彈簧力拉扯下向左上方向運(yùn)動(dòng),并跨越中線(x=0)到達(dá)左邊,如圖2所示,在1.5 s內(nèi)小球的運(yùn)動(dòng)軌跡開始呈現(xiàn)出“上下左右反復(fù)”的復(fù)雜性;圖3給出了12 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡,小球的運(yùn)動(dòng)軌跡雜亂無章、左右不對稱;但經(jīng)歷足夠長的時(shí)間后,運(yùn)動(dòng)軌跡表現(xiàn)出規(guī)律性——小球運(yùn)動(dòng)軌跡被限制在某種帶狀的有限區(qū)域內(nèi)并呈現(xiàn)出大體上的左右對稱,180 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4所示.

圖2 當(dāng)k/m=110 N/(m·kg)和L0=0.5 m時(shí),小球在1.5 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3 當(dāng)k/m=110 N/(m·kg)和L0=0.5 m時(shí),小球在12 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖4 當(dāng)k/m=110 N/(m·kg)和L0=0.5 m時(shí),小球在180 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖2～4顯示:當(dāng)k/m=110 N/(m·kg) 時(shí), 最高點(diǎn)處小球具有較大的動(dòng)能mvx2/2或較大的彈力勢能k(l-L0)2/2,所以雖然mv02/2+EpF>mgL,但小球的最高點(diǎn)低于O點(diǎn)(ymax<0). 更多的模擬表明在k/m≤134 N/(m·kg) 時(shí)都是如此.

若取大一些的勁度系數(shù), 如k/m=150 N/(m·kg)(即m=0.1 kg、k=15 N/m), 則擺球在1.5 s、3.5 s、12 s和180 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡分別如圖5～8 所示.

從圖5～圖8可知,當(dāng)k/m=150 N/(m·kg) (即m=0.1 kg和k=15 N/m)時(shí),能實(shí)現(xiàn)擺球到達(dá)的最高點(diǎn)高于O點(diǎn). 但是,在小球向上運(yùn)動(dòng)的過程中,不是每次擺到“最高點(diǎn)(嚴(yán)格來說是高處反轉(zhuǎn)點(diǎn)或y的極大值)”都高于O點(diǎn),更不是一開始就能高于O點(diǎn):圖6顯示直到第3.5 s前夕的第四個(gè)高處反轉(zhuǎn)點(diǎn)時(shí)才第一次出現(xiàn)高于O點(diǎn)的機(jī)會(huì),圖7表明前12 s內(nèi)才有兩次出現(xiàn)高于O點(diǎn)的情況(當(dāng)ymax>0時(shí)該極大值點(diǎn)處小球的動(dòng)能和彈力勢能都較小).

圖5 當(dāng)k/m=150 N/(m·kg) 和L0=0.5 m時(shí),小球在1.5 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖6 當(dāng)k/m=150 N/(m·kg)和L0=0.5 m時(shí),小球在3.5 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖7 當(dāng)k/m=150 N/(m·kg)和L0=0.5 m時(shí),小球在12 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖8 當(dāng)k/m=150 N/(m·kg)和L0=0.5 m時(shí),小球在180 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡

進(jìn)一步的數(shù)值結(jié)果表明:只要134 N/(m·kg)

取更大的勁度系數(shù),例如k/m=200 N/(m·kg) (即m=0.1 kg 、k=20 N/m),則擺球在180秒內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖9所示,小球到達(dá)的最高點(diǎn)又是都低于O點(diǎn).

圖9 當(dāng)k/m=200 N/(m·kg) 和L0=0.5 m時(shí),小球在180 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡

4 結(jié)論與討論

本文先從機(jī)械能守恒定律出發(fā)對2019年全國高三聯(lián)考理綜卷第21題進(jìn)行了定性討論,結(jié)果表明:從機(jī)械能守恒定律出發(fā)無法判斷擺球到達(dá)的最高點(diǎn)能不能高于O點(diǎn),考題的原答案及其解析都是欠妥的. 為了讓問題有明確的答案,本文接著從擺球遵循的牛頓第二定律出發(fā)、使用著名通用軟件Mathematica對該問題進(jìn)行具體深入的數(shù)值計(jì)算和檢驗(yàn),由具體的計(jì)算結(jié)果可以得出如下結(jié)論:

(1) 選項(xiàng)(A)“彈簧的最大長度大于L”是正確的.

(2) 選項(xiàng)(B)“小球到達(dá)的最高點(diǎn)高于O點(diǎn)”不一定能實(shí)現(xiàn),只有小球質(zhì)量m和彈簧勁度系數(shù)k滿足某些特殊條件才能實(shí)現(xiàn),若取m=0.1 kg和L0=0.5 m,則只有勁度系數(shù)在較狹窄的范圍內(nèi)13.4 N/m

(3) 既然在m和k滿足某些特殊條件可以實(shí)現(xiàn)小球到達(dá)的最高點(diǎn)高于O點(diǎn),那么選項(xiàng)(C)“小球到達(dá)的最高點(diǎn)與O點(diǎn)等高”的可能性就不能完全排除在外.

總之,小球到達(dá)的最高點(diǎn)能否高于O點(diǎn)由彈簧的自然長度L0和勁度系數(shù)與小球質(zhì)量的比值k/m共同決定,本考題的原答案及其分析都是不對的,它給物理教師的警示是:在設(shè)計(jì)新型題目時(shí)務(wù)必小心謹(jǐn)慎,最大限度地避免“想當(dāng)然”. 公開推出新題之前應(yīng)該從大學(xué)物理的高度認(rèn)真審視其科學(xué)性,如果遇到?jīng)]有簡單解析解而無法得出明確結(jié)論的情況,則最好能利用通用軟件進(jìn)行數(shù)值檢驗(yàn).