中心引力場(chǎng)下天體運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道證明

王 磊

(盤(pán)錦市高級(jí)中學(xué),遼寧 盤(pán)錦 124000)

天體運(yùn)動(dòng)是高中物理必修2的內(nèi)容,之前學(xué)生已經(jīng)掌握了圓周運(yùn)動(dòng)和功能關(guān)系等輔助學(xué)習(xí)天體運(yùn)動(dòng)的物理知識(shí). 天體運(yùn)動(dòng)首先從開(kāi)普勒的三大定律講起,而開(kāi)普勒三定律的得出并未做任何理論推導(dǎo),這使得教師主要以灌輸?shù)姆绞浇?學(xué)生以記憶的方式學(xué).“為什么是橢圓?”、“為什么掃過(guò)的面積是相等的?”、“為什么是和半長(zhǎng)軸的立方成正比而不是短軸?”這些得不到答案的問(wèn)題讓以橢圓為基礎(chǔ)的開(kāi)普勒三定律顯得尤為神秘,尤其是當(dāng)遇到天體運(yùn)動(dòng)的橢圓問(wèn)題時(shí),學(xué)生更是覺(jué)得不可捉摸,難以處理.而在物理競(jìng)賽以及自主招生物理考試中,關(guān)于天體運(yùn)動(dòng)橢圓軌道的考察又較為常見(jiàn),所以在相關(guān)物理教學(xué)中對(duì)天體運(yùn)動(dòng)橢圓軌道的證明和展開(kāi)講解是有必要的.

1609年年輕的德國(guó)科學(xué)家開(kāi)普勒猜測(cè)行星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng),開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)他老師弟谷觀測(cè)的火星運(yùn)行數(shù)據(jù)無(wú)論是用哥白尼的日心說(shuō)圓軌道理論還是托勒密的地心說(shuō)本均輪軌道理論都不能很好匹配,唯有橢圓形軌道才能完美解釋老師觀測(cè)的火星位置數(shù)據(jù).[1]這樣開(kāi)普勒提出了他的第一個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)“橢圓定律”并相繼發(fā)現(xiàn)了“面積定律”,10年之后才提出他的“周期定律”.[2]

開(kāi)普勒之后,對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的研究吸引了很多物理學(xué)家,比如伽利略、布里阿德、惠更斯、哈雷、胡克等,[3]他們對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)向心力,星體間引力與星體間距離平方成反比等天體運(yùn)動(dòng)相關(guān)理論研究均有一定的貢獻(xiàn),但真正在天體運(yùn)動(dòng)研究領(lǐng)域光芒蓋過(guò)開(kāi)普勒的是在其3大定律提出后半個(gè)多世紀(jì)——在其3大定律基礎(chǔ)上發(fā)展得出更具普適性的萬(wàn)有引力定律的牛頓.不僅如此,牛頓用其發(fā)明的微積分?jǐn)?shù)學(xué)方法證明了與有心力場(chǎng)中心距離平方成反比的引力場(chǎng)中物體的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓.這是對(duì)開(kāi)普勒“橢圓定律”的第一次完備的數(shù)學(xué)證明.[4]但牛頓在其著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》書(shū)中所應(yīng)用的微積分方法是以幾何的形式出現(xiàn)的,后來(lái),拉格朗日、哈密頓等人對(duì)經(jīng)典力學(xué)進(jìn)行形式上的改造,大規(guī)模使用現(xiàn)代微積分方法而排斥初等幾何學(xué),但其物理思想并沒(méi)有超出牛頓的框架.

圖1 極坐標(biāo)下運(yùn)動(dòng)學(xué)

1 平面極坐標(biāo)下運(yùn)動(dòng)學(xué)

(1)

(2)

在極坐標(biāo)系OZ下研究物體運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的位置、速度、和加速度有:[5]

(2) 物體在P點(diǎn)的速度為

(3)

寫(xiě)成微分形式有

(3) 物體在P點(diǎn)的加速度為

代入(1)、(2)式得

(4)

(4)式寫(xiě)成微分形式有

2 極坐標(biāo)下天體運(yùn)動(dòng)軌跡方程

徑向:

(5)

橫向:

(6)

由環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)在有心力作用下角動(dòng)量守恒,有心引力場(chǎng)下L為定值,有

可得

(7)

(9)

將(7)、(9)式代入(5)式可得

整理得

(10)

該方程為二階齊次常微分方程,其解為

(11)

該方程是否為橢圓方程呢?

3 橢圓軌跡方程在笛卡爾坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換

圖2 笛卡爾坐標(biāo)與極坐標(biāo)下橢圓

(12)

(b2r2cos2θ+a2r2sin2θ)+2cb2rcosθ+(b2c2-a2b2)=0.

整理得

r2(b2cos2θ+a2-a2cos2θ)+2cb2rcosθ-b4=0,

進(jìn)一步整理得

r2(a2-c2cos2θ)+2cb2rcosθ-b4=0.

(13)

該方程為r的二次方程,應(yīng)用韋達(dá)定理可得其解為

由r>0有

(14)

4 引力場(chǎng)下橢圓軌道方程的確定

某環(huán)繞天體橢圓軌跡(圖3),設(shè)其橢圓長(zhǎng)軸A1A2=2a,短軸B1B2=2b,兩焦點(diǎn)距離F1F2=2c,中心天體位于右焦點(diǎn)F1處.根據(jù)圖像有F1P=r，F(xiàn)2P=2a-r、∠F1PF2=π-2θ,[6]在ΔF1PF2中運(yùn)用余弦定理有

圖3 橢圓軌道及其曲率圓

r2+(2a-r)2-2r(2a-r)cos(π-2θ)=

(2c)2,

(15)

(3)式結(jié)合a2=b2+c2以及三角函數(shù)公式

cos(π-2θ)=-cos2θ=2sin2θ-1,

(16)

(17)

(18)

將(16)、(17)式代入(18)式可得

(19)

質(zhì)量為M的中心天體引力場(chǎng)下,質(zhì)量為m的環(huán)繞天體的軌道能E(E<0)與角動(dòng)量L已知,以橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸為x軸,短軸為y軸的笛卡爾坐標(biāo)系中，則其運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

其中E<0.

總結(jié):本文在極坐標(biāo)下得到了萬(wàn)有引力作用下環(huán)繞天體的運(yùn)動(dòng)軌跡方程,并通過(guò)笛卡爾坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下橢圓方程的轉(zhuǎn)換,對(duì)比得出中心天體引力作用下環(huán)繞天體的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為橢圓.該橢圓軌道由環(huán)繞天體角動(dòng)量和軌道能確定.最后本文給出了基于角動(dòng)量和軌道能的笛卡爾坐標(biāo)系下與極坐標(biāo)系下的橢圓軌道方程.