三角形中一類多元最值問題的處理策略

王國軍

(河北省石家莊市第二中學，050000)

解三角形問題既是三角函數(shù)和平面向量等數(shù)學知識的延伸與應用,也是高考數(shù)學中的必考題,綜合考查學生利用運用正弦定理、余弦定理、勾股定理和射影定理及面積公式解決問題的能力.三角形既有邊與角兩類相關元素,又有豐富的圖形內(nèi)涵,一類以解三角形為背景的多元最值問題成為命題的亮點.下面對這類問題進行解讀,給出思考的方向和可操作的步驟,供大家備考參考.

一、求兩邊和的取值范圍或最值

分析化簡已知條件,明確a、c間的具體關系,再利用三角形中的相關定理，將其化為函數(shù)問題.

評注已知三角形的一條邊及其對角,求另兩邊和的取值范圍問題的解決策略是利用正弦定理將邊元結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為角元函數(shù),再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得目標結(jié)構(gòu)的取值范圍.

二、求兩邊平方和的取值范圍或最值

(1)求角C的大小;

(2)當c=1時,求a2+b2的取值范圍.

評注對于已知三角形的一條邊及其對角,求另兩邊平方和的取值范圍問題，類型一的解決策略仍然有效.將邊元結(jié)構(gòu)統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為角元函數(shù),是求邊元和結(jié)構(gòu)取值范圍的重要途徑.

三、已知邊元和結(jié)構(gòu)存在最值,求參數(shù)的取值范圍問題

分析將多元結(jié)構(gòu)最值的存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的存在性問題.

思路1利用正弦定理處理b、c的關系

解法1(利用輔助角公式)

解法2(利用柯西不等式)

解法3(利用導數(shù))

以下同解法1.

思路2利用余弦定理處理b、c的關系

以下同思路1求解,具體過程從略.

評注對于已知一組邊及對角,求其余兩邊和的取值范圍問題,處理的方向是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題,處理的關鍵是消元,最終將問題轉(zhuǎn)化為角元的函數(shù)值域問題.

四、邊元結(jié)構(gòu)恒成立條件下,求參數(shù)的最值

評注本題采用了整體代換的思想, 將齊次邊元結(jié)構(gòu)統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為角元形式, 再利用求最大值的常規(guī)方法求得最大值. 讀者可嘗試一下，利用輔助角公式或者導數(shù)的方法求得函數(shù)f(A)的最大值,此處從略.

高中數(shù)學的學科教學目標不能只是單一地傳授知識,而是要培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).在數(shù)學教學過程中,不能就題解題,必須揭示數(shù)學思維活動的具體過程,把老師思考活動的過程完全展示給學生,可以使學生更好地認識、理解數(shù)學,培養(yǎng)和提高學生的數(shù)學能力和理性精神.