探究公式本質(zhì) 引領(lǐng)思維提升
——以“空間幾何體的表面積”的備課、磨課為例

萬金珠 侯 斌

(江蘇省無錫市太湖高級中學, 214125)

一、背景介紹

筆者有幸參加無錫市高中數(shù)學評優(yōu)課評比活動，課題為“空間幾何體的表面積”.經(jīng)歷數(shù)次備課、磨課以及研討直到賽課，收獲頗多，對公式課教學也有了新的認識和感悟.下面筆者從情境引入概念、自主探究公式、探索發(fā)現(xiàn)公式之間的聯(lián)系以及例題設計這幾個方面呈現(xiàn)該節(jié)課的歷次備課和磨課，敬請同行專家們批評指正.

二、教學呈現(xiàn)與分析

1. 情境引入

初案設計PPT展示2003年神州五號載人飛船及返回艙圖片.

設計意圖用神州五號火箭及返回艙的隔熱涂料作為問題情境導入課題,激發(fā)學生的學習興趣,激發(fā)學生的愛國熱情.

磨課反思初案對航天飛行活動介紹過多,教學不能“為了情境而情境”,好的情境不能只有熱鬧和興趣,課堂上時間寶貴,更應在有限的時間內(nèi)點出主題,追求“簡約”,發(fā)揮啟下的功能.

賽課實錄由實際情境引入課題,順勢發(fā)現(xiàn)和提出問題.

宜興陽羨是中國重要的茶葉基地之一，現(xiàn)有兩種不同的茶葉包裝盒如圖1所示,所用材料相同,規(guī)格相同(均用于裝125 g兩的茶葉),從節(jié)約成本的角度看,應該選擇哪種?

設計意圖最后賽課的定稿放棄了神舟五號的例子，改為從學生身邊生活實際出發(fā),選擇了茶葉包裝盒問題(問題待公式出現(xiàn)后解決)設計該問題情境的目的是為了讓學生通過實際生活情境發(fā)現(xiàn)和提出問題,更加直觀明了,簡單易懂,更貼近本節(jié)課主題.

2. 公式探究

初案設計通過如下問題串逐步展開公式教學過程.

問題1我們把側(cè)棱和底面垂直的棱柱稱為直棱柱，棱柱的各條側(cè)棱有什么關(guān)系?什么樣的棱柱可以稱為正棱柱?

教師幫助學生歸納理解概念.

問題2把直(正)三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開,能得到什么圖形?如圖2，該棱柱的側(cè)面積怎么求?

S直棱柱側(cè)=(a+b+c)h=l底面周長h.

問題3什么樣的棱錐和棱臺可稱為正棱錐和正棱臺?

問題4正三棱柱展開得到矩形,那么將正三棱錐展開又可以得到什么圖形?正三棱錐的側(cè)面積該怎么求?

問題5請用同樣的方法求出正三棱臺的側(cè)面積.

學生通過類比,發(fā)現(xiàn)三個全等的等腰梯形組成了正三棱臺的側(cè)面,可得

設計意圖棱柱是多面體中比較簡單的模型,從它入手較符合學生的認知結(jié)構(gòu);通過問題串的形式將正三棱錐的概念、性質(zhì)、側(cè)面積公式一一揭示;利用類比思想研究正棱臺的性質(zhì)和側(cè)面積公式.

磨課反思初案中教師引導過多,導致學生缺乏概念和公式的自主建構(gòu)，比如求直棱柱的側(cè)面積，應該給予充分的時間讓學生去考慮逐一相加和側(cè)面展開，這都是比較好的方法，不應一味地去固化學生的思維——必須展開才能求側(cè)面積.

賽課實錄探究引領(lǐng),分析并解決問題.

探究1研究柱錐臺的相關(guān)概念及側(cè)面積公式.(拿出事先準備好的直棱柱和斜棱柱,讓學生觀察并比較)

問題1這兩種棱柱有何明顯區(qū)別?(由學生觀察并引出直棱柱的定義,再比較直棱柱和正棱柱的區(qū)別,從而得到正棱柱的定義)

問題2你能求這些棱柱的表面積嗎?如何求?哪種方法容易?(學生分組討論,并進行實際操作,探究后回答問題)

生1:選擇正棱柱,其側(cè)面都是矩形,逐一求出后相加,得S正三棱柱側(cè)=ah+ah+ah.

師:既然所求面積對應平面圖形,是否可將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形?該如何操作?

生2:將正棱柱沿側(cè)棱剪開得到側(cè)面展開圖是一個大矩形，矩形的長和寬分別對應正棱柱的底面周長和高，所以S正三棱柱側(cè)=底面周長×高.

PPT投影總結(jié)—— (1)結(jié)論:S直棱柱側(cè)=ch;(2)方法:側(cè)面累加法、側(cè)面展開法.

問題3由棱柱的上底面收縮為一個點得到的幾何體是棱錐.既然有正棱柱,是不是就有正棱錐呢?那么滿足什么條件的棱錐才是正棱錐?(留給學生思考時間)

生3:底面肯定是一個正多邊形

師:很好,對頂點的位置是不是也有要求?

生4:頂點應該在底面中心的正上方.

師:非常好!底面是正多邊形,頂點在底面的射影是底面中心的棱錐稱為正棱錐.將頂點P和底面的射影O連結(jié),得到的是正棱錐的高,可用h表示.

問題4正棱錐有哪些特點呢?

生5:底面是正多邊形,側(cè)棱都相等.

生6:側(cè)面是等腰三角形.

師:如圖3,對正三棱錐P-ABC,如何證明其側(cè)棱相等?

生7:利用?POA≌?POB≌?POC.

師:如何求側(cè)面等腰三角形的面積?

師:此處的高是側(cè)面等腰三角形的高而不是錐體的高,我們稱之為斜高,通常用h′來表示.

問題5你會求正三棱錐的側(cè)面積嗎?試一試.

問題6回憶一下棱臺是怎么來的?什么叫正棱臺?…(學生們很快推出公式)

設計意圖教師利用模型教具啟發(fā)學生自主建構(gòu)數(shù)學概念.在引導學生探究側(cè)面積公式的過程中滲透了兩個思想:一是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的化歸思想;二是從特殊到一般的歸納思想.

探究2探究多面體側(cè)面積公式之間的關(guān)系

師:觀察上述正棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積公式,能否從運動變化的角度看出圖形之間的變化和聯(lián)系?公式上又是如何體現(xiàn)的?(幾何畫板展示,讓學生直觀感受正棱臺變化為正棱錐和正棱柱的過程，如圖4.)

生9:當正棱臺的上底面收縮至一個點時,正棱臺變成了正棱錐;而當正棱臺的上底面擴大到與底面一樣大的時候,正棱臺變成了正棱柱.這是“形”上的變化,反映到“數(shù)”上可表示為:

設計意圖通過分析柱、錐、臺的側(cè)面積之間的關(guān)系,提高學生分析、歸納的能力,讓學生從數(shù)與形兩個角度去看它們之間的關(guān)系,體會“數(shù)”與“形”的相互交融，感受數(shù)與形的完美統(tǒng)一.

探究3探究旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式

師:類比研究多面體側(cè)面積的方法與步驟,你能計算旋轉(zhuǎn)體中圓柱和圓錐的側(cè)面積嗎?

學生通過畫圖——計算——分析,得出圓柱、圓錐的側(cè)面積公式.

師:類比正棱臺的側(cè)面積公式,能猜想圓臺的側(cè)面積嗎?

學生再次類比得圓臺的側(cè)面積公式.因為圓臺的側(cè)面積公式推導較為復雜,課本對公式推導不作要求.

師:是否能仿照上一組公式,從數(shù)和形兩個角度來闡述旋轉(zhuǎn)體之間的聯(lián)系?

(學生總結(jié)，略)

設計意圖讓學生經(jīng)過類比,自行歸納出旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)和側(cè)面積公式,以及兩組公式之間的聯(lián)系.類比使探究事半功倍,不僅學得輕松,而且從中習得獲得知識的方法——通過觀察、對比前后聯(lián)系,進行知識遷移.

3. 公式理解

初案設計通過如下問題展開公式教學過程.

例1若一個正三棱錐的底面邊長為6 cm,高等于3 cm，則它的側(cè)面積是______.

練習1已知正三棱柱的底面邊長和高都是a，則它的側(cè)面積為______.

練習2一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個長為4p,寬為2p的矩形,則它的底面半徑為______.

例3有一根長為5 cm,底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管,用一段鐵絲在鐵管上纏繞1圈,并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端,則鐵絲的最短長度為多少?

設計意圖設置了兩個層次的練習題，例1和例2分別是柱、錐、臺體的公式運用，旨在熟練掌握公式的應用;而例3是所謂的“小螞蟻爬行問題”.通過不同的類型讓學生充分掌握立體轉(zhuǎn)化成平面的思想方法.

磨課反思初稿題量太“滿”,且思維量大,基礎(chǔ)薄弱的學生會覺得很累,而大多數(shù)學生也會覺得課堂的枯燥、機械、無味.

賽課實錄探究公式本質(zhì)——尋找聯(lián)系,滲透多種思想方法.

案例講解情境引入中的包裝盒選擇問題.(學生計算并給出方案)

設計意圖公式的簡單應用，既能加深對公式的理解，又解決茶葉包裝盒問題，前后呼應.本節(jié)課的重點是公式推導過程中所滲透的數(shù)學思想方法,所以沒有必要設計大量的練習題, 精而簡的例題可以提高課堂教學的實效性.

探究4探究多面體、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式之間的關(guān)系

師:多面體的側(cè)面積與其每一個側(cè)面圖形的面積公式結(jié)構(gòu)類似,而旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式與其軸截面一致,這樣六個公式的結(jié)構(gòu)可統(tǒng)一歸結(jié)為哪三個基本圖形的面積公式?

由學生觀察并得到結(jié)論:矩形、三角形和梯形.[1]

師:多面體和旋轉(zhuǎn)體公式結(jié)構(gòu)上的相似并不是偶然,事實上,它們在本質(zhì)上也是統(tǒng)一的. (播放動畫,留足夠的時間讓學生思考發(fā)現(xiàn))以圓臺為例,同學們看到正四棱臺,正五棱臺,正六棱臺…到正十棱臺,可以發(fā)現(xiàn)隨著n的變化,棱臺越來越接近圓臺.底面是正n多邊形,隨著n的變大,這個正n邊形越來越貼合圓周.可以想象,當n趨于無窮大時,底面趨于圓,正n棱臺趨于圓臺.這種無限分割,以直代曲的思路來源于古代數(shù)學家劉徽的“割圓術(shù)”,實質(zhì)就是用圓內(nèi)接正多邊形的周長去無限逼近圓周并以此求取圓周率的方法.

設計意圖極限思想的提出給學生以新穎、興奮之感,也讓學生感受知識間的神奇聯(lián)系,體會數(shù)學的奧秘所在,完善學生思維發(fā)展結(jié)構(gòu),培養(yǎng)空間想象能力.