數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效融入

張國福

摘 要：數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的最基本的對(duì)象。數(shù)是對(duì)數(shù)量的體現(xiàn)，形式對(duì)空間形式的表現(xiàn)，數(shù)與形兩者之間相互獨(dú)立存在，又相互有著密切的聯(lián)系。數(shù)是形的抽象的概括，形又是數(shù)的具體數(shù)量的表現(xiàn)形式，有一些數(shù)量的問題可以利用圖形來解答，同時(shí)數(shù)學(xué)中的圖形問題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量的形式。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課堂 數(shù)形結(jié)合 對(duì)策

所謂數(shù)形結(jié)合，就是借助更加直觀的圖像將數(shù)量之間存在的關(guān)聯(lián)進(jìn)行有效的表達(dá)，更好地幫助學(xué)習(xí)者理清思路，進(jìn)而解決他們在學(xué)習(xí)和生活中遇到的問題。在學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，就是通過數(shù)量和圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，更加直觀地向?qū)W生反映出數(shù)學(xué)之間的邏輯關(guān)系，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與直觀的圖形結(jié)合起來，從而使得復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問題變得簡單化。因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)該靈活地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維，進(jìn)一步提高課堂教學(xué)效率。

一、鏈接教材內(nèi)容，建立樹形思想

學(xué)生數(shù)學(xué)教材中的反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，都是有著數(shù)形結(jié)合意義的知識(shí)點(diǎn)，教師要充分利用這些內(nèi)容，提高學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的方法，提升解答數(shù)學(xué)難題的能力。

例如，在“平面解析幾何初步”教學(xué)中，教師要讓學(xué)生利用“形助數(shù)”的方法解決問題，以此提高學(xué)生對(duì)幾何圖形的直觀理解能力，并牢固掌握相關(guān)知識(shí)。在“兩個(gè)變量的線性相關(guān)”教學(xué)中，教師要讓學(xué)生利用“畫坐標(biāo)”的方法，將數(shù)與數(shù)的空間結(jié)合起來，讓問題變得簡單而直觀。教師在講解三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，教師在展示圖形的時(shí)候，為學(xué)生講解三角函數(shù)的公式、概念與性質(zhì)，重點(diǎn)是讓學(xué)生知道公式的推導(dǎo)過程、圖形的表現(xiàn)方法。圖形可以在學(xué)生腦海中產(chǎn)生深刻印象，便于學(xué)生牢固記憶知識(shí)。此外，數(shù)形結(jié)合方法還可以應(yīng)用到異面直線成直角、平面與平面之間成角等問題中，可以幫助學(xué)生更加輕松地解答數(shù)學(xué)難題，并形成系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)知識(shí)框架。

二、結(jié)合實(shí)際問題，提升解題能力

（一）在方程式中的運(yùn)用

學(xué)生直接進(jìn)行方程式問題的解答，存在一定難度，這是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。為幫助學(xué)生掌握該類型問題的解題技巧，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)問題的直觀化、簡單化處理，教師可通過對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，完成相應(yīng)的教學(xué)任務(wù)。

例如，在圓（x-2）2+y2=3中取任意一點(diǎn)N（x，y），求x-y的最小值及最大值。如果學(xué)生直接進(jìn)行方程式解答，存在一定難度，此時(shí)筆者引導(dǎo)學(xué)生利用題目中的信息，設(shè)x-y=b，進(jìn)而得到相應(yīng)方程式，引導(dǎo)學(xué)生展開函數(shù)圖像構(gòu)建，以便學(xué)生利用圖形快速求出最大值及最小值。在求方程實(shí)根個(gè)數(shù)的過程中，教師也可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用構(gòu)建二次函數(shù)圖形的方式，通過對(duì)圖像內(nèi)交點(diǎn)的分析與判斷，確定實(shí)數(shù)根具體數(shù)量。

（二）在立體幾何中的運(yùn)用

立體幾何題都有著較為突出的空間性特征，在進(jìn)行幾何問題處理時(shí)，應(yīng)利用題目中已有信息，對(duì)圖形展開簡化處理。教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過在圖形中增加輔助線的方式，在圖中找到潛藏的數(shù)學(xué)信息，以便學(xué)生運(yùn)用所學(xué)理論與定義，對(duì)幾何圖形展開計(jì)算。

例如，在對(duì)平行、垂直關(guān)系幾何題目進(jìn)行解答時(shí)，學(xué)生可通過將圖形轉(zhuǎn)換為代數(shù)的方式進(jìn)行計(jì)算，以利用代數(shù)手段，完成幾何問題推理。同時(shí)學(xué)生還可以運(yùn)用向量法，通過對(duì)幾何數(shù)據(jù)實(shí)施線段轉(zhuǎn)化的方式，利用向量關(guān)系對(duì)幾何問題進(jìn)行解決。需要注意的是，在運(yùn)用數(shù)形幾何手段對(duì)幾何問題進(jìn)行解答時(shí)，要保證幾何與代數(shù)的銜接質(zhì)量，且要做好幾何定理分析，以保證最終題目的解答質(zhì)量。

（三）在數(shù)列中的運(yùn)用

教師將數(shù)形結(jié)合思想科學(xué)應(yīng)用到數(shù)列之中，可加深學(xué)生對(duì)于數(shù)列問題的認(rèn)知程度，能夠更好地幫助學(xué)生抓住問題本質(zhì)，所取得的教學(xué)效果也較為理想。

例如，在等差數(shù)列{bn}中，a<0，若∣b3∣=∣b9∣，求{bn}前幾項(xiàng)的最大和。這道題的難度相對(duì)較高，學(xué)生在解題時(shí)，很容易出現(xiàn)沒有頭緒的情況。教師可引導(dǎo)學(xué)生，通過抓住關(guān)鍵的方式，對(duì)習(xí)題進(jìn)行簡化，進(jìn)而通過畫出相應(yīng)的二次函數(shù)圖像，最后利用自變量取正數(shù)集手段，完成本次解題任務(wù)。

（四）在不等式中的運(yùn)用

不等式也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要板塊，可以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與數(shù)形思想方法的應(yīng)用，所以，學(xué)生在不等式的學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)過程中要注意數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透。

例如，若-3<<2，則x的取值范圍是（ ）。

這道題目如果按照常規(guī)的解題方法非常的復(fù)雜，而且會(huì)占用很長的解題時(shí)間，如果利用數(shù)形結(jié)合的方法解題就會(huì)比較簡單、省時(shí)。我們可以利用y=的圖像解題，如圖所示，我們可以得出x<-13或x>12。

這道題目如果按照常規(guī)的解題方法非常的復(fù)雜，而且會(huì)占用很長的解題時(shí)間，如果利用數(shù)形結(jié)合的方法解題就會(huì)比較簡單、省時(shí)。我們可以利用y= 的圖像解題，如圖所示，我們可以得出x<-13或x>12。

三、加強(qiáng)跟蹤練習(xí)，鞏固學(xué)生能力

數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，在為學(xué)生傳遞技巧的同時(shí)，教師也要給學(xué)生提供合理的練習(xí)平臺(tái)。只有通過不斷地鍛煉，學(xué)生才能扎實(shí)地掌握數(shù)形結(jié)合思想。首先，教師可以定期為學(xué)生出示一些幾何、代數(shù)轉(zhuǎn)化類的練習(xí)題，并鼓勵(lì)學(xué)生在分析題干條件期間嘗試運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維，從代數(shù)的角度出發(fā)分析幾何問題，再從幾何的角度出發(fā)分析代數(shù)問題。在得出答案的時(shí)候，可以要求學(xué)生將具體的解題思路記錄下來，由此幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣;其次，在設(shè)計(jì)家庭作業(yè)期間，教師可以為學(xué)生出示三道練習(xí)題，而且難度逐漸提升。在學(xué)生解答習(xí)題時(shí)，他們需要利用幾何思維和思維兩種方式探尋解答步驟，隨后指出哪一種方法最合理。

雖然數(shù)形結(jié)合思想在解答數(shù)學(xué)題方面具有良好的優(yōu)勢，但并不是所有的練習(xí)題都需要采用這種方法。為了讓學(xué)生更深入地了解數(shù)形結(jié)合思想，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生在使用數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí)總結(jié)一下個(gè)人心得，比如：數(shù)形結(jié)合思想更適合哪一類型的數(shù)學(xué)習(xí)題，以及在特定類型題上應(yīng)該如何靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從而豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

總之，通過對(duì)數(shù)形結(jié)合方法的合理有效運(yùn)用，充分抓住“數(shù)”和“形”的特點(diǎn)，相信會(huì)很大程度上簡化解題過程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立自主的學(xué)習(xí)能力和邏輯思維能力，幫助學(xué)生更快的抓住問題的要害，促進(jìn)師生間共同進(jìn)步。

參考文獻(xiàn)

[1]楊渭革.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題[J].中學(xué)教學(xué)參考，2019（8）.

[2]馬柯.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透研究[J].成才之路，2017（5）.