注重識圖作圖訓練突破空間思維障礙

張如芳

摘? 要：中職學生初學立體幾何入門階段，通常會遇到三大難點，一是建立空間概念難，二是立體幾何語言表達難，三是定理不理解、記不住、不會用?？朔@三個難點，僅僅靠教師多講是遠遠不夠的，首先要引導學生對實物模型進行觀察，形成充分的感性認識，立足中職學生的基本學情，通過實物模型觀察、看圖、畫圖、核心定理分析與應用等訓練階梯，引導學生拾階而上，步步推進，過好立體幾何入門關。

關鍵詞：識圖 作圖 符號語言 轉化思想 數(shù)學模型

中職立體幾何的教學，肩負對學生空間想象能力和邏輯思維能力的培養(yǎng)，但是不管從高職考試立體幾何的低得分率來看，還是從教學現(xiàn)狀來看，立體幾何一直是中職學生的學習難點。究其原因，從學生學的層面看，既有知識性的原因，如中職學生在初中階段對平面幾何知識掌握不夠扎實，也有能力性與心理性的原因;從教師教的層面上看，主要是因為教師沒有把握好立體幾何教學的起點和立足點，在學生沒有充分建立空間感和空間概念的前提下，為了追求教學進度，急于求成，忽視了實物觀察、識圖繪圖訓練的重要性，從而導致學生出現(xiàn)空間圖形認知障礙，使學生無法將畫在紙上的立體幾何直觀圖與空間模型聯(lián)系起來，更不要說把頭腦中的空間圖形躍然紙上，或是難以用數(shù)學語言規(guī)范地表達出來。

按照布魯納的認知結構理論，任何知識的學習應該既是自然的，又是必然的，既要有循序漸進、自然生成的過程，又要遵循認知的必然規(guī)律，逐步深化，使其智慧生長。因此立體幾何的教學應當放慢腳步，先引導學生充分經歷對實物模型的觀察與感知，訓練學生的識圖與繪圖能力，掌握文字語言、符號語言與圖形語言之間的相互轉換;逐步建立空間感和空間概念，并在此基礎上，對立體幾何的基本概念和核心定理進行深入剖析，建立基本的解題模型，才能實現(xiàn)從二維平面到三維空間的跨越，為立體幾何的后續(xù)學習打下堅實的基礎。

一、開展模型展覽 —— 注重空間體驗

立體幾何學習的第一步是在頭腦中對客觀實物的原型或模型建立數(shù)學表象，這是識圖（觀察直觀圖）、畫圖、建立數(shù)學概念的起點，同時積累豐富的感性認識，才能為形象思維提供廣闊的天地，為向抽象思維過渡打好基礎。雖然很多教師也意識到了感性認識的重要性，在課堂中借助鉛筆、木棒等實物讓學生擺一擺、或是展示一些常見立體幾何模型讓學生看一看，但是投入的時間是遠遠不夠，以中職學生的數(shù)學能力，很難在短時間內對空間圖形形成充分的感性認識，難以建立數(shù)學表象。

更有效的方法是開展立體幾何模型“展覽”活動課，帶領學生零距離接觸立體幾何模型。首先可以挑選一些數(shù)學能力和動手能力較強的學生，成立模型制作小組，通過教師指導、小組合作交流，在制作模型的過程中，讓這部分學生對立體幾何內部結構的感性認知先豐富起來，引導他們用數(shù)學語言把立體幾何的內部結構、線與面的位置關系講出來，進而培養(yǎng)一批優(yōu)秀的“展覽”活動講解員。

另外常見的立體幾何模型盡量的大一些，比如：正方體、長方體、正三棱柱（錐）、正四棱柱（錐），這樣在展覽與講解的過程中，更有利于幫助學生形成充分的感性認識，建立立體圖形的空間感。同時要將立體幾何基本概念制作成標簽貼在模型上，比如：長方體的體對角線，正三棱錐、四棱錐的高與斜高等等中職立體幾何的核心概念，初步滲透立體幾何的基本概念。教師還需要精心設計活動課導學案，引導學生在老師和講解員的帶領下，用數(shù)學的眼光對模型進行自主觀察、合作探究，解決導學案上提出問題，使展覽活動課能夠有的放矢。

顯然這種以實物展覽、討論研究為手段的學習方式，更能充分激發(fā)學生的學習興趣，調動學生自主學習的積極性，在實際教學過程中取得了良好的效果，也為下一階段的識圖（認識立體平面直觀圖）做好準備。

二、強化識圖訓練 —— 突破語言障礙

對平面直觀圖的觀察與分析是學生在頭腦中將實物模型“平面化”的過程，也是學生在思維中建立空間概念的關鍵，要逐漸引導學生將直觀圖中的“點、線、面”與實物模型的內部結構聯(lián)系起來，并使學生掌握用文字語言、符號語言來表達“點、線、面”之間的位置關系。由于初中長時間平面幾何學習而產生的負遷移與空間想象能力的缺失，部分學生會用觀察平面幾何的方式對待立體幾何直觀圖，從而導致空間圖形的“失真”，使學生的形象思維向抽象思維上升的過程中遇到認知障礙。突破一難點需要從以下三點入手：

（一）在實物模型與直觀圖之間搭建認知階梯。教師首先可以向學生展示實物模型的照片，再借助立體幾何畫板、幾何圖霸等3D做圖軟件，通過對上下、左右、前后翻轉，引導學生從多角度觀察直觀圖，使學生能看清楚直觀圖中線、面的位置關系以及角度的視覺變化。

（二）對空間概念、符號語言進行深入的解析，既知其然，又知其所以然，把隱藏在知識背后的理性思考激活。比如：平面的表示方法。為什么在空間中要用平行四邊形來表示一個平面？學生對此提出了疑問，為什么不用長方形來表示平面？教材上并沒有解釋用平行四邊形來表示一個平面的原因。事實上用長方形表示平面確實更加簡單直觀，但是當長方形在空間中“斜放”的時候，長方形的四個內角有些看成了鈍角，有些看成了銳角，這是由于視覺觀察造成的偏差。

再比如：在學習符號語言時，需要將“點運動產生線、線運動產生面”這種運動思想與集合思想相結合，引導學生用點（元素）與集合的關系、集合與集合的關系來理解立體幾何的符號語言，搞清楚符號含義，避免符號混淆和錯用。如：為什么直線在平面上，記作：平面，而點在平面上，記作：平面。

（三）對圖形語言、文字語言、符號語言之間的相互轉化進行充分訓練，幫助學生克服表達和書寫障礙。對于中職學生來說，記憶立體幾何的相關的概念、符號猶如背英語單詞枯燥、容易忘，因此可以采取猜謎語的方式，將符號語言的理解和記憶融入到游戲中去，寓教于樂，提高學生學習立體幾何的興趣和信心。同時在邊玩邊學的過程中，逐步對線線、線面、面面之間的位置關系逐步進行梳理，使學生掌握用三種數(shù)學語言來表示線線、線面、面面，幫助學生初步建立立體幾何的知識網絡。

三、引導規(guī)范作圖 —— 提升分析能力

立體幾何的作圖與學生的空間想象能力聯(lián)系密切，與解題關系極大，解決立體幾何問題，很多時候不是想出來，而是“畫”出來的。如果說看圖、辨圖是學生在頭腦中對模型建立表象的過程，那么畫圖就是幾何圖形表象輸出與表達，對中職學生提出了較高的要求。因此要降低起點，由易到難，逐步訓練學生作圖能力;同時鼓勵學生多畫、有目的有方法的畫，養(yǎng)成規(guī)范作圖的良好習慣。

（一）學生的作圖訓練首先應該從基本圖形的課堂臨摹開始，再通過教師演示作圖的基本步驟，引導學生在模仿中，掌握直觀圖的作圖基本規(guī)則。比如：在用斜二測法作正方形（體）、長方形（體）直觀圖時，要特別強調畫直觀圖的基本步驟與關鍵點，以及虛線、實線的準確使用。搞清楚先畫什么？后畫什么？為什么要某些直角在直觀圖中要對應畫成45度，邊長要縮小一半？另外還可以采取“靜物寫生”的方法訓練學生的作圖能力，即根據實物或模型畫直觀圖， 這種畫圖訓練學生能靈活地調整視圖角度，從多角度觀察模型內部結構，尤其是對于那些空間想象能力較差的學生幫助特別大。

（二）由于提升作圖能力需要給予學生足夠的練習時間，其中對典型圖形進行變式訓練可以有效的提高學生識圖、辨圖、作圖能力。比如作出不同形式的異面直線、二面角，再加以對比分析。另外要重視典型的錯圖反例展示和分析，引導學生在合作談論糾錯的過程中，逐步掌握各類常見空間圖形的正確作圖方法

（三）引導學生掌握根據文字語言、符號語言來作空間圖形。比如：作平面、平面，使;再比如：過正三棱錐的底面中心作側面上斜高的垂線等等。顯然這對于中職學生來說會具有一定的難度，所以要盡量與實物模型相結合，或者利用3D做圖軟件對直觀圖進行翻轉觀察，以此訓練學生對圖形結構分析能力。

四、突出核心定理 —— 建立轉化模型

在中職立體幾何入門學習階段，除了空間概念的建立和做圖能力、空間想象能力的培養(yǎng)，學生還熟練掌握相關的公理、定理，才能觸及立體幾何的靈魂------推理證明。但是立體幾何的定理繁多，容易混淆，中職學生在對定理理解和記憶方面有很大的難度，而用定理進行推理證明就更難。因此教師要從學生的實際需求和能力出發(fā)，依據高職考試大綱的要求，為學生減負。

（一）加強核心定理的剖析和應用，把教學的重點放在推理論證基本方法的掌握上，以此來提高學生的推理論證能力。另外通過對近十年高職考試卷立體幾何部分考題的分析與統(tǒng)計，其中使用最頻繁的定理是線面垂直的性質定理和判定定理，比如：在求線面直線所成角和二面角的計算過程中，都要用到這兩個定理。

1.由于中職學生的邏輯推理能力、抽象思維比較薄弱，容易出現(xiàn)推理不嚴謹、書寫不規(guī)范的錯誤，因此可以通過找反例加以糾錯，提高學生反思的能力，使推理論證真正做到“言之有理、落筆有據”。 比如：下列線與面垂直的判定定理中，如果去掉定理是否成立？請學生舉出反例。

定理：“已知 ”

2.由于中職學生對立體幾何的推理證明普遍存在畏懼心理，因此要創(chuàng)設教學情境，將推理論證的教學過程生活化，提高學生的學習興趣和積極性。

比如：對三垂線定理的證明（雖然高職考對該定理應用不做要求，但是可以用以訓練學生的推理論證能力）做出生活化的解釋：如圖1所示，當一束陽光垂直照射在地面上時，斜線就會在地面留下一條影子，如果地面上的一條鐵棒與影子垂直，那么鐵棒垂直于斜線。實際教學過程中，如何結合實物進行講解，就把抽象的推理與學生的生活經驗有效的結合起來，既降低了理解的難度，又提高了學習的趣味性。

（二）強化轉化思想，建立解題基本模型。將空間問題轉化為平面問題是立體幾何最重要的解題方法之一。如高職考試經常出現(xiàn)的空間角（線線角、線面角、二面角）的計算問題，通常要將空間角轉化為平面角，再進行計算。在解題過程中，學生通常會遇到兩個難點，一是不知道如何轉化，二是不知道如何表達，因此在教學中要對三種空間角計算題建立基本的解題模型，落實轉化思想。

以如上的異面直線所成角的計算為例，第一步將兩條異面直線平移成相交的狀態(tài)，才能對其測量或計算，所以平行和相交就是將異面直線所成角轉化為平面角的關鍵，兩個條件缺一不可。第二步是求出平面角的大小，第三步求出空間的大小。

上述解題模型，同樣適用于求解線面所成的角和二面角的大小。求線面所成角的關鍵在于找射影，求二面角的大小在于通過找垂線、作垂線，確定二面角的平面角。該解題模型看似簡單，但中職學生掌握起來還是有一定的難度，因此可以解答部分以填空的形成呈現(xiàn)，比如上題中劃線部分改成填空，由潛入深，搭建解題，幫助學生逐步掌握空間角的求解方法。另外在教學中，還可以用曹沖稱象這個典故對該解題模型進行生活化的解釋與鞏固，使用在數(shù)學中或者生活中遇到“稱象難題”時，也能靈活運用轉化思想，為數(shù)學思想方法在生活中找到“用武之地”。

基于以上的思考，中職學生在立體幾何的入門階段會不可避免地出現(xiàn)許多問題，對此教師應當充分考慮中職學生的基本學情，降低教學起點，給予學生足夠的練習操作與知識內化的時間，引導學生充分經歷實物觀察、識圖作圖、推理論證等過程，逐步對立體幾何的本質做出深入探究，提升學生解決問題的能力，對學生未來的學習打下良好基礎。

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