以《二次函數(shù)》為例談滲透數(shù)學(xué)思想的嘗試

【摘要】本文以《二次函數(shù)》教學(xué)為例論述滲透數(shù)學(xué)思想的策略，建議教師通過簡化解題思路、優(yōu)化做題步驟等來滲透數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生在解題過程中靈活運(yùn)用、高效解題。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想 《二次函數(shù)》 解題方法

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）02A-0144-02

《二次函數(shù)》是初中階段學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，由于它經(jīng)常與圖形相聯(lián)系的特殊性，所以學(xué)生總是會憑主觀臆斷來解題，由于不能正確理解題意，導(dǎo)致得出錯誤結(jié)論;亦或是對于二次函數(shù)的相關(guān)公式、定理的含義記憶模糊，導(dǎo)致出現(xiàn)不能正確解題等問題。在教學(xué)過程中，教師往往更傾向于見題解題，而忽略對數(shù)學(xué)思想的歸納總結(jié)，但其實(shí)數(shù)學(xué)思想才是解題的關(guān)鍵法寶。本文將介紹四種求解二次函數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法。

一、推理思想，聯(lián)系比較

推理思想，就是將題中所給的信息與之前所學(xué)過的內(nèi)容聯(lián)系起來，并在聯(lián)想的知識點(diǎn)間進(jìn)行比較，選擇最合適的。在二次函數(shù)求解析式時教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用推理思想，合理利用題中信息比對各標(biāo)準(zhǔn)式的特點(diǎn)，進(jìn)行代入求解。

若給出三個點(diǎn)的坐標(biāo)時，就選用一般式：y=ax2+bx+c。例如，二次函數(shù)過（0，1）、（1，6）、（2，17）三點(diǎn)，求解二次函數(shù)解析式。由于圖象上的各點(diǎn)與函數(shù)解析式是一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可以將給出點(diǎn)的坐標(biāo)帶入解析式中得到三個方程組，求解參數(shù)a、b、c三點(diǎn)的值。若給出最值點(diǎn)或頂點(diǎn)坐標(biāo)時，就選用頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k。例如，二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）且過點(diǎn)（0，4），求解二次函數(shù)解析式。要想求解二次函數(shù)解析式，就要知道a、h、k三個參數(shù)的值。題中已知頂點(diǎn)坐標(biāo)也就知道了-h和k的值，只需要把點(diǎn)（0，4）代入求解a的值即可。這類型的題只能用頂點(diǎn)式，無論用一般式還是兩根式都解不出來。在函數(shù)存在兩個根的情況下，已知兩根的坐標(biāo)，就選用兩根式：y=a（x-x1）（x-x2）。例如，二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）、（3，0），且過點(diǎn)（1，-4），求解二次函數(shù)解析式。此時，既可以使用兩根式也可以使用一般式來進(jìn)行求解。

推理思想除了在求解析式時有所應(yīng)用，還在解三角形、數(shù)列求和、空間向量、圓錐曲線等題型中都有所應(yīng)用。教師要結(jié)合不同題型的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)系對比，合理推理，巧用解題方法，以便求得一個最優(yōu)解。

二、換元思想，簡化算式

換元思想，就是將目標(biāo)算式中出現(xiàn)的分式、含有高次冪的未知數(shù)以及不易進(jìn)行直接計(jì)算求解的復(fù)合函數(shù)等，通過換元思想轉(zhuǎn)化成簡單的變量，再反代回目標(biāo)算式中進(jìn)行求解新的未知量。在二次函數(shù)最值問題中也常常會用到，計(jì)算起來會更加簡便。

如在求解高次函數(shù)的最值問題時往往會進(jìn)行換元計(jì)算，通過換元，將復(fù)雜的式子轉(zhuǎn)化成簡單的算式，既可以簡化運(yùn)算過程，又可以保證解題正確率。例如，已知函數(shù)表達(dá)式為y=x6-3x3+2，試求解該高次冪函數(shù)的最小值。初次見到這個函數(shù)關(guān)系式時，有些學(xué)生可能會有些懵，感覺題目超綱了，但其實(shí)這些內(nèi)容是我們平時所學(xué)過的內(nèi)容。經(jīng)過細(xì)致觀察，可以發(fā)現(xiàn)x6其實(shí)是x3的二次方，即：x6=（x3）2。這樣就間接地把一個難于求解的高次函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成了簡單的二次函數(shù)的最值問題。假設(shè)t=x3，那么，t2=x6，所以，y=t2-3t+2。由于新得到的二次函數(shù)中a=1>0，所以在對稱軸處取得最小值，即：t=2，把t值再反代回去得到：x=8。所以，當(dāng)x=8時，y=x6-3x2+2取到最小值。本題非常典型地運(yùn)用了換元的思想，將看起來較為繁瑣的x6、x3轉(zhuǎn)化成學(xué)生所熟悉的t2、t，化繁為簡、簡化算式。

換元思想在二次函數(shù)及其他方面的求解時應(yīng)用廣泛，這對學(xué)生的基礎(chǔ)知識有著較高的要求，要求學(xué)生換元時要聯(lián)系以前所學(xué)過的內(nèi)容，包括概念、性質(zhì)、適用范圍等，并且要考慮是否符合換元要求以及換元是否能簡便運(yùn)算，然后再對原式進(jìn)行換元。

三、對稱思想，數(shù)形結(jié)合

在求解二次函數(shù)解析式時，通常會用到對稱思想，也就是把解析式與圖象相結(jié)合求對稱后圖象的解析式。根據(jù)對稱找到變化后的圖形，結(jié)合圖形特點(diǎn)聯(lián)系對稱前后點(diǎn)的坐標(biāo)變化，進(jìn)而求解得到新的函數(shù)。

如已知一個二次函數(shù)的解析式為：y=3x2+2x+1，試分別求解關(guān)于x軸、y軸以及原點(diǎn)對稱的函數(shù)解析式。當(dāng)圖形關(guān)于x軸對稱時，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。以頂點(diǎn)坐標(biāo)為例，由（-[13]，[23]）變?yōu)椋?[13]，[-23]），開口方向相反，對稱軸不變，所以a1=-a=-3，b1=-b=-2;將變化后的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入只含有參數(shù)c的方程：y=-3x2-2x+c中，求解得c1=-1，那么，關(guān)于x軸對稱的函數(shù)解析式為：y=-3x2-2x-1。當(dāng)圖形關(guān)于y軸對稱時，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。頂點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)椋╗13]，[23]），開口方向不變，對稱軸關(guān)于y軸對稱，所以a2=a=3，b2=-b=-2;將變化后的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入只含有參數(shù)c的方程：y=3x2-2x+c中，解得參數(shù)c2=1，所以，關(guān)于y軸對稱的函數(shù)解析式為：y=3x2-2x+1。當(dāng)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，也是如此。這類題型巧妙地結(jié)合了圖形與函數(shù)性質(zhì)的特點(diǎn)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到參數(shù)的取值，從而求解新的函數(shù)解析式。

抓住特點(diǎn)，靈活運(yùn)用，借助圖形，數(shù)形結(jié)合，將文字語言轉(zhuǎn)化成圖形語言，將對稱思想充分合理地體現(xiàn)在圖形的表達(dá)上，既有助于增強(qiáng)學(xué)生對解題思路的正確認(rèn)識，又簡化了學(xué)生的思考過程，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

四、聯(lián)想思想，自由轉(zhuǎn)換

聯(lián)想思想就是結(jié)合題目條件，通過運(yùn)用韋達(dá)定理、函數(shù)圖象、函數(shù)性質(zhì)、交點(diǎn)個數(shù)等相關(guān)內(nèi)容，解決在解題過程中遇到的需要進(jìn)行求解的中間變量。運(yùn)用聯(lián)想思想可以轉(zhuǎn)換解題思路，簡化解題過程，提高解題效率。

如在求解二次函數(shù)方程與圖象相關(guān)的題型時，就用到了聯(lián)想思想。在求解二次函數(shù)根的個數(shù)時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的根x1、x2就是令函數(shù)值y=0，即：ax2+bx+c=0時二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)值，根據(jù)判別式△=b2-4ac的正負(fù)情況來判斷函數(shù)根的情況。例如，已知二次函數(shù)y=3x2+4x+m與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，求參數(shù)m的取值范圍。在本題中，已知二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，也就是說，方程3x2+4x+m=0有兩個完全不相等的解，依據(jù)根的判別式可知，當(dāng)方程有兩個解即函數(shù)有兩個根時，△=b2-4ac>0，所以（4）2-4×3×m>0，解得：m<[43]，所以，m的取值范圍為（-∞，[43]）。若當(dāng)函數(shù)僅有一個根或兩個相等的根時，函數(shù)圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，函數(shù)方程等于0時只有一個解，判別式△=b2-4ac=0;當(dāng)函數(shù)沒有根，也就是函數(shù)圖象與x軸沒有交點(diǎn)時，函數(shù)值恒為正或恒為負(fù)，函數(shù)方程無解，判別式△=b2-4ac<0。

求解這類題型時，由函數(shù)方程解的個數(shù)來判斷函數(shù)根的個數(shù)，而方程解的個數(shù)又通過判別式與0之間的大小關(guān)系來判定，聯(lián)系圖象，在圖象和算式之間來回轉(zhuǎn)換。聯(lián)想思想有助于將一些分散的知識點(diǎn)聯(lián)系起來形成一個整體，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

由此可見，數(shù)學(xué)思想對于求解二次函數(shù)乃至其他數(shù)學(xué)問題都尤其重要。在教學(xué)過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，能夠使學(xué)生的解題思路更加明確，在分析題目后能夠運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)思想，選擇最為簡便的解題方法，多角度思考問題，培養(yǎng)理性的思維方式。教師應(yīng)在授課過程中潛移默化地滲透數(shù)學(xué)思想，并將其應(yīng)用到解題過程中，加深學(xué)生的理解，使教學(xué)更加高效。

作者簡介：鐘美娟（1978— ），女，廣西玉林人，大學(xué)本科學(xué)歷，二級教師，玉林市玉州區(qū)優(yōu)秀教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作。

（責(zé)編 林 劍）