HPM視角下的點(diǎn)到直線的距離課例研究

蔡?hào)|山 彭思維 雷沛瑤

【摘要】探究式教學(xué)有助于學(xué)生成為課堂的主人，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)史上點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)方法各具特色，蘊(yùn)含豐富多彩的數(shù)學(xué)思想，是探究性學(xué)習(xí)的較好素材。文章基于數(shù)學(xué)史，對(duì)點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行探究性教學(xué)，達(dá)成多元的教育價(jià)值，以期為HPM視角下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考。

【關(guān)鍵詞】點(diǎn)到直線的距離;探究式教學(xué);數(shù)學(xué)史

一、引言

點(diǎn)到直線的距離公式是高中解析幾何課程中重要的公式之一，它是解決點(diǎn)線距離、線線距離的基礎(chǔ)，也是研究直線與圓的位置關(guān)系的重要工具，同時(shí)也為后面學(xué)習(xí)圓錐曲線做準(zhǔn)備。滬教版教材利用向量探究點(diǎn)到直線的距離公式。據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，已有的教學(xué)設(shè)計(jì)，大部分基于人教版教材提供的方法，結(jié)合初中已學(xué)的幾何方法，由直線外一點(diǎn)作直線的垂線，計(jì)算垂足點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式，推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式：有的教學(xué)設(shè)計(jì)，借鑒滬教版提供的思想，利用向量的知識(shí)，推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式;還有少部分教學(xué)設(shè)計(jì)采用面積法、三角法和函數(shù)最值法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式[3]。

已有研究表明，數(shù)學(xué)史具有多元的教育價(jià)值，數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，通過(guò)古今數(shù)學(xué)方法的對(duì)比，拓寬學(xué)生思維。同時(shí)，數(shù)學(xué)史有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)中，給學(xué)生提供了探究的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生回到知識(shí)的發(fā)生之時(shí)，體驗(yàn)像數(shù)學(xué)家一樣探索的過(guò)程。除了上述教學(xué)設(shè)計(jì)中提到的方法，歷史上關(guān)于點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)方法還有原點(diǎn)距離法、投影法和設(shè)而不求法等。這些方法讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、函數(shù)等數(shù)學(xué)方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可以讓學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的樂(lè)趣。本教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施的班級(jí)學(xué)生具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，鑒于此，在本節(jié)課的教學(xué)中，教師將數(shù)學(xué)史上的多種推導(dǎo)方法融人其中，帶領(lǐng)學(xué)生了解點(diǎn)到直線的距離公式的歷史，掌握點(diǎn)到直線的距離公式的多種證明方法，體會(huì)不同方法的巧妙之處。因此，本節(jié)課設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)如下。

（1）掌握點(diǎn)到直線的距離公式及兩條平行線間的距離公式，并運(yùn)用公式解決相關(guān)問(wèn)題。

（2）通過(guò)探究點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)方法，培養(yǎng)學(xué)生合作探究和發(fā)散思維的能力。

（3）通過(guò)展示多元的推導(dǎo)方法，感受用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的優(yōu)越性，提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)。

在早期教科書中，普遍采用原點(diǎn)距離法推導(dǎo)公式，利用的直線方程為法線式，目前在中學(xué)教科書中沒(méi)有涉及，所以此方法并不能直接運(yùn)用在課堂教學(xué)中，但它的推導(dǎo)方法卻能給我們以啟示。此外，投影法和坐標(biāo)平移法也需要應(yīng)用法線式方程，也不適合融入課堂教學(xué)。但本次授課班級(jí)的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，有過(guò)競(jìng)賽經(jīng)歷。因此，交點(diǎn)法、三角法、三角形面積法、向量法、最值法等方法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是可以接受的，甚至還能進(jìn)行創(chuàng)新，所以本節(jié)課教師將上述方法融入教學(xué)，并根據(jù)學(xué)情進(jìn)行相應(yīng)的改編，例如最值法中可以使用柯西不等式簡(jiǎn)化計(jì)算。數(shù)學(xué)史上各種方法出現(xiàn)的時(shí)間段及代表著作見(jiàn)表1.關(guān)于上述方法的介紹則在接下來(lái)的教學(xué)設(shè)計(jì)中根據(jù)學(xué)生的回答予以呈現(xiàn)。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

由于授課班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，平時(shí)也經(jīng)常會(huì)開(kāi)展探究性活動(dòng)，因此，筆者將本節(jié)課定位為探究式教學(xué)。1998年，美國(guó)哥倫比亞大學(xué)的西格爾（M，Siedel）教授提出數(shù)學(xué)探究式教學(xué)的四個(gè)階段：準(zhǔn)備與聚焦、探索與發(fā)現(xiàn)、綜合與交流、評(píng)價(jià)與延伸。本節(jié)課參照上述四個(gè)階段進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施。

（一）準(zhǔn)備與聚焦

上課伊始，教師提出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：如圖2.在鐵路附近有一個(gè)大型倉(cāng)庫(kù)?，F(xiàn)要修建一條公路與之接連起來(lái)。那么怎么設(shè)計(jì)能使公路最短？最短路程是多少？該如何計(jì)算呢

接著，教師對(duì)本節(jié)課進(jìn)行小結(jié)，請(qǐng)學(xué)生欣賞多種推導(dǎo)方法并對(duì)這些方法進(jìn)行評(píng)價(jià)。

師：首先，本節(jié)課學(xué)習(xí)了點(diǎn)到直線的距離公式，掌握了它的多種推導(dǎo)方法，同時(shí)我們也與數(shù)學(xué)家們進(jìn)行對(duì)話，領(lǐng)略了數(shù)學(xué)史上各種點(diǎn)到直線的距離公式精彩的推導(dǎo)方法。其次，本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了多種數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、從函數(shù)的視角看問(wèn)題等。最后，通過(guò)歷史上數(shù)學(xué)家一個(gè)又一個(gè)精彩的推導(dǎo)方法，一方面我們理解了點(diǎn)到直線的距離公式的內(nèi)涵，感受到數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)的巧妙之處;另一方面也能感受到其中浸潤(rùn)著的數(shù)學(xué)家們對(duì)知識(shí)孜孜不倦、力求創(chuàng)新的探索精神。

師：同學(xué)們，歷史上如此豐富多彩的方法，大家也想出來(lái)了很多種，你們最喜歡哪一種？

生1：我最喜歡柯西不等式，我覺(jué)得計(jì)算簡(jiǎn)便，而且太巧妙了。

生2：我最喜歡向量法，因?yàn)樗鼘⑾蛄坑玫煤莒`活，計(jì)算也挺簡(jiǎn)便。

生3：我最喜歡設(shè)而不求法，因?yàn)槲也惶芟氲竭@么巧妙的方法。

師：看來(lái)每位同學(xué)的看法都不一樣，那大家還能不能想出其他方法呢？這個(gè)問(wèn)題就留給大家課后思考。

四、學(xué)生反饋

在以上教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施前后，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了課前和課后測(cè)試。其中課前學(xué)習(xí)單發(fā)放了40份，有效學(xué)習(xí)單38份;課后學(xué)習(xí)單發(fā)放了40份，有效學(xué)習(xí)單35份。

（一）課前學(xué)習(xí)單分析

學(xué)生均能準(zhǔn)確地表述出“兩點(diǎn)間的距離”，大多以文字表述為主，部分學(xué)生會(huì)配以幾何表示，少部分學(xué)生直接給出兩點(diǎn)間的距離公式或距離公式的文字表述。在表述“點(diǎn)到直線的距離”時(shí)（以下簡(jiǎn)稱“點(diǎn)線距離”），學(xué)生有以下幾種表述：

·點(diǎn)線距離是點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)距離的最小值：

·點(diǎn)線距離是指過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂線與已知直線的交點(diǎn)和已知點(diǎn)的距離：

·已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)和已知點(diǎn)的距離的一半為點(diǎn)線距離：

·點(diǎn)線距離是指一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)到直線的路徑中的最短長(zhǎng)度。

雖然學(xué)生對(duì)點(diǎn)線距離的表述不盡相同，但對(duì)點(diǎn)線距離的理解還是比較到位的。這些不同的表述方法代表了學(xué)生思考問(wèn)題角度的多樣性，也為學(xué)生思考推導(dǎo)點(diǎn)線距離公式的方法奠定了基礎(chǔ)。

（二）課后學(xué)習(xí)單分析

1.知識(shí)與能力

課后學(xué)習(xí)單的結(jié)果表明，在本節(jié)課，所有學(xué)生都掌握了點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)正確運(yùn)用點(diǎn)線距離解決相關(guān)問(wèn)題。在課后學(xué)習(xí)單中，有以下一道題目。

2.情感與態(tài)度

在收到的35份有效學(xué)習(xí)單中，有1名學(xué)生認(rèn)為沒(méi)有必要介紹多元方法，他認(rèn)為某些推導(dǎo)方法牽強(qiáng)且復(fù)雜，超出了結(jié)論本身的難度;有34名學(xué)生認(rèn)為有必要了解多元的推導(dǎo)方法，他們的理由大致可以分為以下幾類：

·促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步思考，還能順便回憶之前所學(xué)的知識(shí)，拓展思維的廣度與深度;

·多元的推導(dǎo)方法很有意思，讓自己覺(jué)得很有趣;

·能更好地理解和運(yùn)用公式，一題多解;

·每種方法都蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想，展現(xiàn)數(shù)學(xué)之關(guān);

·數(shù)學(xué)作為人類思想之結(jié)晶，應(yīng)當(dāng)被人們重視。不管是公式還是推導(dǎo)方法，任一方面都不能忽略。

當(dāng)被問(wèn)到最先想到的方法時(shí)，和預(yù)設(shè)一樣，49%的學(xué)生最先想到交點(diǎn)法，20%的學(xué)生最先想到向量法，也有少數(shù)學(xué)生想到了面積法等。在選擇最精彩的方法時(shí)，向量法、柯西不等式法（目標(biāo)函數(shù)法）、設(shè)而不求法位居前三。學(xué)生認(rèn)為，向量法的推導(dǎo)巧妙，無(wú)需分類討論，避免了復(fù)雜計(jì)算而且適用性廣：柯西不等式法十分巧妙，引人人勝，讓人感受到了數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔之美;設(shè)而不求法思路巧妙，計(jì)算量小。

在談到本節(jié)課的收獲和困惑時(shí)，學(xué)生表示學(xué)到了許多種推導(dǎo)公式的方法，相對(duì)應(yīng)地也學(xué)到了很多解題的思路，體會(huì)到數(shù)學(xué)上探索的樂(lè)趣。也有部分學(xué)生提出困惑：如何想到這種設(shè)而不求法的構(gòu)造，這種思想能否進(jìn)一步推廣？可見(jiàn)學(xué)生的思考并未因這節(jié)課的結(jié)束而止步，而是對(duì)方法進(jìn)行了再思考。

五、結(jié)語(yǔ)

整節(jié)課采取了“提出問(wèn)題一學(xué)生探究一教學(xué)回溯一課堂總結(jié)”的教學(xué)模式，采用附加式、復(fù)制式和順應(yīng)式的方式融人數(shù)學(xué)史，共分為呈現(xiàn)問(wèn)題、探究規(guī)律、總結(jié)公式、應(yīng)用公式四個(gè)階段。教師以實(shí)際問(wèn)題作為背景創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，在具體問(wèn)題上，提出一個(gè)解決典型數(shù)學(xué)問(wèn)題公式的方法，讓學(xué)生親歷提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、反思總結(jié)的全過(guò)程。

通過(guò)將數(shù)學(xué)史融入點(diǎn)到直線的距離公式的教學(xué)，本節(jié)課達(dá)成了多元的教育價(jià)值，從學(xué)生熟悉的初中幾何知識(shí)和一次函數(shù)知識(shí)出發(fā)，聯(lián)系以往學(xué)習(xí)的不等式、函數(shù)最值、矩陣行列式和向量的知識(shí)，將學(xué)生個(gè)人思考與小組探究相結(jié)合進(jìn)行推導(dǎo)公式。根據(jù)學(xué)生探究的過(guò)程對(duì)多元方法進(jìn)行講解，符合學(xué)生的認(rèn)知心理，揭示了知識(shí)之諧。通過(guò)不同方法的對(duì)比，拓寬學(xué)生思維，從而展現(xiàn)了方法之美。學(xué)生通過(guò)小組合作探究活動(dòng)，思考得出不同的推導(dǎo)方法，經(jīng)歷形式化公式背后的探索過(guò)程，體會(huì)到數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，從而營(yíng)造了探究之樂(lè)。在公式推導(dǎo)中，通過(guò)幾何方法幫助學(xué)生建立直觀想象能力，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。課前引入的倉(cāng)庫(kù)與鐵路之間的最短路程設(shè)計(jì)問(wèn)題，滲透了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，通過(guò)不同的數(shù)學(xué)思想和四種核心素養(yǎng)的滲透，從而達(dá)成了能力之助。學(xué)生的推導(dǎo)方法與歷史上數(shù)學(xué)家們的推導(dǎo)方法進(jìn)行對(duì)照，不僅樹(shù)立了學(xué)生的自信心，也讓學(xué)生感受到歷史上數(shù)學(xué)家們孜孜不倦的探索精神，彰顯數(shù)學(xué)史的德育之效。本節(jié)課的教學(xué)啟示如下。

（1）本節(jié)課是一堂教師定位變換的課，教師是課堂的組織者，組織學(xué)生作為探究的主人，感受探究多種方法的樂(lè)趣。

（2）課堂上的小組合作，讓學(xué)生更多地展示推導(dǎo)公式的方法，討論公式的精髓和難易接受程度。學(xué)生不僅要掌握推導(dǎo)的結(jié)果，更重要的是理解推導(dǎo)方法背后的數(shù)學(xué)思想。

（3）不同的推導(dǎo)方法意味著看問(wèn)題角度的不同，多元的推導(dǎo)方法有助于拓展學(xué)生的思維，提升學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

（4）由于歷史研究的局限性，課堂教學(xué)還未注意到不同方法背后相關(guān)人物、方法的背景及背后所反映的人文精神，因此還需加強(qiáng)數(shù)學(xué)史文化之魅的教育價(jià)值，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力。