數(shù)形相結(jié)合，數(shù)學變簡單

麥雪愛

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)量與空間形式之間的對應關系以及相互轉(zhuǎn)換來解決問題的一種思想方法?！皵?shù)”與“形”相結(jié)合，可以把抽象的數(shù)量關系與直觀的圖形結(jié)合起來，實現(xiàn)抽象思維與形象思維相結(jié)合，能優(yōu)化解題途徑，使學生形成解題思維，掌握解題技能，有效降低學生學習的難度，提高學習能力，發(fā)展思維能力。

【關鍵詞】小學;高年級數(shù)學;數(shù)形結(jié)合思想;解決問題

數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)量關系與空間形式之間的對應關系以及相互轉(zhuǎn)換來解決問題的一種思想方法。它不僅是重要的數(shù)學思想，更是數(shù)學探索研究的重要方法，被譽為解題“神器”。數(shù)學家華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休?！边@句話把“數(shù)”與“形”之間的辯證關系以及相互結(jié)合的重要性描述得淋漓盡致。

小學高年級學生的思維發(fā)展處在一個由具體形象思維逐步向抽象邏輯思維發(fā)展的重要階段，數(shù)形結(jié)合思想是架起它們之間的橋梁。在教學中，教師有意識地借助實物圖、示意圖、線段圖等形象具體的感知材料，來幫助理解抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系，以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合，實現(xiàn)形象思維和抽象思維的互助互補，能有效激活學生的解題思路，提高學生的解題能力，發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維。

一、數(shù)形轉(zhuǎn)化，升華概念

概念教學是數(shù)學教學的一個重要內(nèi)容，是學生后續(xù)學習知識的重要基礎。但它的抽象性對小學生來說是一個學習的難點。學生如果沒有通過大量素材直觀感知概念的形成過程，就很難真正理解概念的含義。在概念教學中，教師需要幫助學生把抽象的概念與形象的圖形聯(lián)系起來，利用有形的載體理解無形的概念。學生只有經(jīng)歷直觀感知、建立表象、揭示本質(zhì)屬性三個階段，才能對概念理解得全面深刻。

如，北師大版五年級下冊《體積與容積》中，理解體積的意義是本節(jié)課的教學重點?！绑w積”的意義是指物體所占空間的大小。在這個概念中，最關鍵是讓學生理解什么是“空間”。教學時，筆者首先出示鉛筆盒和橡皮兩個大小不同的物品，問學生：哪個大？哪個??？接著筆者再追問：你認為鉛筆盒大？哪它是哪方面大呢？有的認為是表面積大，有的說占的位置大，說明學生對“空間”這個概念是完全陌生的。于是我設計一個實驗，讓學生動手操作理解什么是“空間”。拿一個盛有水的玻璃容器，先記錄好水位的高度，然后小心地放入土豆，讓土豆完全浸沒在水里。引導學生觀察這時水位的高度有什么變化。學生很容易就發(fā)現(xiàn)水位升高了。于是，筆者啟發(fā)學生思考：水位為什么會升高？有學生馬上就說，土豆占了容器里的空間，水沒地方跑就只能往上走，所以水位就升高了。“空間”兩字就這樣從學生口中自然地蹦了出來，筆者順勢揭示出體積的意義。為了使概念進一步得到深化，啟發(fā)學生：升高的水的體積與土豆的體積會有怎樣的關系？學生不難發(fā)現(xiàn)水升高部分的體積相當于土豆的體積，這樣不僅認識了概念，而且能夠應用概念。

注重創(chuàng)設具體情境， 讓“數(shù)”與“形”的巧妙結(jié)合，加上設計誘導性、啟發(fā)性的問題引導學生觀察，讓學生在探究過程中發(fā)現(xiàn)問題、思考問題和解決問題，抽象出概念的本質(zhì)。學生全程參與到概念的構(gòu)建過程，這樣建立起來的概念才能深深地留在學生的腦里。

二、數(shù)形結(jié)合，深化算理

計算是一切數(shù)學活動的基石，是學生學好數(shù)學的重要基礎。培養(yǎng)和提高計算能力是計算教學的目標，而引導理解算理是實現(xiàn)目標的關鍵。在實際教學中，有不少老師只關注引導學生掌握算法的多樣性，往往忽視了引導學生理解算理的必要性。其實算理是計算教學的重難點，學生只有真正理解算理，知道為什么這樣算，才能掌握如何算。因此，如何讓學生明白算理，是每個老師在計算教學中要重點研究的問題。在計算教學時，可以針對其特點，適當運用數(shù)形結(jié)合方法，讓學生既知其然，更知其所以然。

例如，北師大版五年級下冊《一個數(shù)乘分數(shù)》這節(jié)課，如何讓學生理解“用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”這個計算方法呢？以“×”為例，筆者先讓學生理解算式的意義是表示的是多少。學生從算式的意義中初步感知結(jié)果一定比少。那究竟是多少呢？應該怎么算呢？一連串的問題激發(fā)學生探究的欲望。這時，筆者鼓勵動手折一折、涂一涂。讓學生用一張紙表示1，先用陰影表示出這張紙的，接著問：那怎樣才可以表示出涂陰影中的呢？組織學生小組討論研究。學生發(fā)現(xiàn)，只要再把陰影部分平均分成4分，涂出其中的1份就可以了。學生通過觀察，其實就是把一張紙平均分成4份，再把其中的3份又平均分成4份，也就相當于把一張紙平均分成了（4×4）份，其中的3份就是×的積，也就是等于。這時筆者還沒有急于揭示計算法則，利用課件用同樣的方法演示幾道分數(shù)乘分數(shù)算式的積的形成過程，深化理解，最后再引導學生歸納出計算法則。

學生通過動手操作，借助于圖形的直觀性形成表象，結(jié)合觀察思考，提煉出抽象的運算方法，有效突破教學難點，讓計算教學變得生動有趣，算理的理解更深入透徹。

三、以形助數(shù)，拓寬思維

數(shù)學教學的主要任務是讓學生掌握知識，提高解決問題、發(fā)展思維的能力。在高年級學段，學生遇到的數(shù)學問題會越來越復雜，但由于他們還沒有形成較強的抽象思維能力，如果只是通過數(shù)學語言敘述，會很難理清數(shù)量之間的關系，找到解決方法。我們可以引導學生運用數(shù)形結(jié)合的方法，把復雜的數(shù)量關系和形象直觀的圖形結(jié)合起來去分析問題，就能快速找到解決問題的方法。

1.借助示意圖，激發(fā)學習趣味

北師大版五年級上冊中的《雞兔同籠》，按教材的要求，只需要用列表法來解決就可以了。但在實際的教學中，學生往往覺得列表法比較麻煩，總是追著問有沒有算術的解答方法。為了滿足學生的要求，筆者通常也會把算術法介紹給他們。但因為這里涉及到假設法，如果只是通過一般的講解，估計會有不少學生難以理解。于是，我借助示意圖，引導學生理解算式的數(shù)量關系。如，籠子里的雞和兔共有8個頭，有30條腿，求雞和兔各有多少只？筆者用8個圓表示動物的頭，假設全是雞，雞有兩條腿，在每個圓下面畫出2條腿，8個頭只畫出16條腿，但還有30-16=14條腿沒畫。如果在每個圓下再添上2條腿就變成了兔，這樣還得添14÷2=7只，得出兔子有7只，雞有1只。通過邊畫示意圖，邊列出算式，學生恍然大悟的同時又感到生動有趣，在理清了數(shù)量關系的同時又給學生留下深刻的印象。

通過借助示意圖這種數(shù)形結(jié)合的方式，把抽象的算理形象化，使內(nèi)容變得生動活潑，激發(fā)學習興趣的同時又讓學習內(nèi)容變得易于理解和記憶。

2.借助情景圖，感悟問題實質(zhì)

“形”與“數(shù)”是相輔相成的，在解答有關幾何圖形的實際問題時，如果把語言敘述的數(shù)量關系用簡明形象的情景圖呈現(xiàn)出來，學生能較快地感悟到問題的實質(zhì)，探索解決問題的思路就越發(fā)清晰明了，同時發(fā)展學生的空間觀念。

如，北師大六年級上冊《環(huán)形面積》這個內(nèi)容，學生探究出環(huán)形面積的計算方法后，為了把探究結(jié)果巧妙運用到實際生活中，筆者設計了這樣一道題：一個圓形花壇水池的直徑是20米，繞著水池外部鋪了一條2米寬的小路，小路的面積是多少平方米？很多學生能想象得到小路面積就相當于環(huán)形面積，水池相當于內(nèi)圓。學生答案出現(xiàn)以下狀況：（1）直接列式為3.14×22。這顯然對環(huán)形的計算方法沒理解掌握。（2）外圓的半徑用（20+2）÷2=11。發(fā)現(xiàn)這些情況后，筆者啟發(fā)學生嘗試畫圖看看。通過畫出情景圖，學生很快就弄懂了原來3.14×22是根本沒有算理的，而外圓半徑應該是20÷2+2=12或者是（20+2×2）÷2=12，從而順利地解決問題。

當學生沒有或缺乏與學習內(nèi)容有關表象的時候，我們可以通過實物、模型、畫出情景圖等等途徑，用形象的情境充實學生抽象的感知，有效找到解題的表象。

（三）借助線段圖，梳理數(shù)量關系

解決問題是檢驗學生綜合運用知識能力的具體表現(xiàn)，梳理清楚數(shù)量之間的關系則是解決問題的關鍵。理清數(shù)量關系歷來都是數(shù)學教學的難點。到了高年級，題目的數(shù)量關系更是變得復雜，學生梳理起來十分吃力。如果巧妙運用線段圖直觀地呈現(xiàn)其數(shù)量關系，常常能產(chǎn)生意想不到的效果。

如，北師大版六年級下冊《比的應用》有那么一道題：修一條公路，已修路程與未修路程的比是1：3，如果再修35千米，就修了全程的。那么這條路有多少千米？這是一道涉及分數(shù)除法的應用和比的應用知識的綜合題。一開始，不少學生根本摸不著頭腦，于是，筆者鼓勵學生動手畫一畫，用線段圖表示數(shù)量之間的關系。通過畫線段圖，學生不難發(fā)現(xiàn)“已修路程與未修路程的比是1：3”就相當于“已修路程占全程的”，這樣學生就很快地理解到35千米相當于全程的 - =，問題就迎刃而解了。線段圖能把復雜的文字表述用形象直觀的圖形顯性呈現(xiàn)，使抽象模糊的數(shù)量關系變得一目了然，能激活學生的解題思路，開拓學生思維，提高學生分析問題、解決問題的能力。

“數(shù)”是“形”的抽象概括，“形”是“數(shù)”的具體表現(xiàn)?！皵?shù)”與“形”的巧妙結(jié)合，能把抽象的數(shù)量關系直觀呈現(xiàn)，把無形的解題思路形象展現(xiàn)。教師在教學過程中有意識地滲透數(shù)形結(jié)合思想，不僅有利于學生順利、高效地學好數(shù)學知識，使之成為學習數(shù)學、解決數(shù)學問題的利器，還能讓學生體驗到學習數(shù)學變得更簡單、更輕松。

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