深究雞兔同籠中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，助力思維發(fā)展

陳彩琴

摘? 要：在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，是新時(shí)代數(shù)學(xué)教育的歷史使命，也是有序發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解決問題能力的重要抓手。在此，結(jié)合雞兔同籠問題的研究思考，簡要地闡述這類問題中所蘊(yùn)含的各種數(shù)學(xué)思想方法，以及應(yīng)用不同的思想方法對孩子們學(xué)習(xí)的影響。

關(guān)鍵詞：雞兔同籠;小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)思維;解決問題

雞兔同籠問題是一個(gè)非常經(jīng)典的問題，也是流傳極廣的問題。它最早記載于《孫子算經(jīng)》之中，是一道圖文并茂的趣題，旨在讓學(xué)生掌握算法規(guī)律，促進(jìn)學(xué)習(xí)思維的穩(wěn)步發(fā)展。雞兔同籠問題在日本數(shù)學(xué)史話中也有類似的呈現(xiàn)，它就是龜鶴同池問題。結(jié)合數(shù)學(xué)史話的學(xué)習(xí)，筆者認(rèn)為，雞兔同籠問題具有深遠(yuǎn)的教育意義，尤其表現(xiàn)在它能夠運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)思想去分析、思考，從而能綜合性地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生更全面地發(fā)展。

一、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，圖解更直觀

數(shù)形結(jié)合思想是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想方法，它以形表數(shù)，能夠讓問題更直觀，更形象，也更具體;它以數(shù)顯形，能夠把隱晦的關(guān)系明朗化，也能夠把抽象內(nèi)容的直觀化 [1]。為此，在雞兔同籠問題的教學(xué)中，教師就得用好數(shù)形結(jié)合這根拐杖，努力使復(fù)雜的、隱晦的數(shù)量關(guān)系直觀化，把抽象的數(shù)學(xué)問題情景化、形象化，從而助力學(xué)生的學(xué)習(xí)思考，造就快樂的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使得數(shù)學(xué)課堂教學(xué)充滿魅力，意蘊(yùn)綿長。

1. 采用假設(shè)策略，為抽象做鋪墊

雞兔同籠問題通常采用的策略取決于學(xué)生的認(rèn)知水平。如果是六年級的孩子，列表法是可行的，假設(shè)法是最直接的，設(shè)定一個(gè)未知數(shù)，列出方程，解一下方程就能輕松得到答案。

但是，如果引導(dǎo)一個(gè)二年級的孩子去思考這個(gè)問題，列方程解答肯定是行不通的，學(xué)生沒有知識積累，更沒有那份思維支持。有什么辦法也能讓二年級的小朋友學(xué)習(xí)解決雞兔同籠問題呢？

答案很顯然，那就是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，把復(fù)雜的問題形象化、直觀化?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生用拼圖法去嘗試、去探索。用圓片代表雞兔的頭，用小棒代表雞兔的腳，再根據(jù)雞兔各自腿的條數(shù)特征去分析思考，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)視野的有效拓展，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有理性。

還可以采用畫圖的策略，也運(yùn)用上面的假設(shè)方法，實(shí)現(xiàn)問題信息具體化、直觀化的目的。讓學(xué)生在真切的圖畫中感悟到雞兔同籠問題的本質(zhì)，找尋解決問題的方式，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的有效突破。

2. 引導(dǎo)爭辯質(zhì)疑，為內(nèi)化做準(zhǔn)備

盡管我們能夠引導(dǎo)二年級的小朋友采用拼圖、畫圖方法，把問題中晦澀的關(guān)系具體化、形象化。但是要讓更多的孩子明晰算法，感悟規(guī)律的存在，教師就得在學(xué)生學(xué)習(xí)困頓處引發(fā)新一輪的學(xué)習(xí)爭議，從而使雞兔同籠的原理在質(zhì)疑中更趨明朗化，其本質(zhì)屬性也在爭辯中逐漸被抽離出來。

比如，學(xué)生解讀自己的拼圖：“我把籠子中的雞兔8個(gè)頭擺上8個(gè)圓片，然后再給他們安上腿，一條一條地安裝?！薄安粚?！你這樣做會鬧笑話的，不會有3條腿的雞或者兔子的。”“是的！因?yàn)殡u有2條腿，兔子有4條腿，所以給頭安上腿的時(shí)候不是一條腿一條腿地安裝的，而是先給8個(gè)頭下面都裝上2條腿?！薄坝植粚α耍《耸?，才16條腿，而題目中是26條腿，還有10條去哪里了??？”“噢！我知道了，剩下的這10條腿，不能一條一條去裝，而是要兩條一塊兒裝，這樣它們就由原來的雞變成了兔子了。”

爭論讓雞兔同籠問題的實(shí)質(zhì)變得愈加清晰了，逐步讓學(xué)生明白在拼圖、畫圖中安裝腿的原理，也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)討論中逐步抽象出雞兔同籠問題的基本算法。孩子們的腦海中已有一個(gè)清晰的思路：因?yàn)殡u是2條腿，兔子是4條腿，所以先給8個(gè)頭配上2條腿，多余的腿必定是兔子的，而要把多余的腿分配完，就得2條2條去安裝，這樣才能把雞轉(zhuǎn)化成兔子。

直觀的活動，既能促進(jìn)學(xué)習(xí)思考的深入，又能讓學(xué)生更有興趣地參與到討論之中，同時(shí)，也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)爭辯中更好地感知和理解假設(shè)法的原理，并在嘗試計(jì)算中更好地掌握對應(yīng)的算理，實(shí)現(xiàn)問題的有效解決，從而讓學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)成功的喜悅。

二、運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略，變身更直接

解決雞兔同籠問題，數(shù)形結(jié)合策略對于低年級小朋友來說是適合的，但是到了中高年級就顯得略為幼稚了。為此，在這個(gè)階段孩子的學(xué)習(xí)引導(dǎo)中，教師就得有機(jī)滲透轉(zhuǎn)化思想，采用變身策略，化難為易，助推學(xué)習(xí)的深入，加速思考的進(jìn)程，從而幫助學(xué)生更好地提煉知識，抽象出概念，使問題得以解決。同時(shí)，也讓孩子們在學(xué)習(xí)中的認(rèn)知獲得建構(gòu)，核心素養(yǎng)得到發(fā)展。

1. 巧引入，激發(fā)探究興趣

教學(xué)之初，教師就利用多媒體教學(xué)輔助技術(shù)，動畫展播《孫子算經(jīng)》中的原題，并寫出原題中的核心信息：籠子中裝有雞和兔，不知道各有多少只。從上面看有35個(gè)模糊的頭像，從籠子下面看隱隱約約有腿94條。你知道籠子里的雞和兔各有多少只嗎？

問題情境，旨在給學(xué)生一種信息，“這是一道千百年前的難題，今天我們一起來研究它、解決它”，從而激發(fā)他們內(nèi)心的那份欲望，樹立解決問題的信心。同時(shí)，也讓學(xué)生感覺到，古題中數(shù)據(jù)偏大，畫圖、拼圖都難以完好地實(shí)施，這就需要用新的思路、新的策略去研究它，從而為孩子們努力探究、創(chuàng)新學(xué)習(xí)注入強(qiáng)有力的信念支撐。

2. 編兒歌，助推探究引入

針對古題數(shù)據(jù)大，難以找到突破口的特點(diǎn)，在實(shí)際教學(xué)中教師就得引導(dǎo)學(xué)生把復(fù)雜的問題簡單化，進(jìn)而嘗試改編原題，使之更有利于學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、探索等，從而打開學(xué)習(xí)研究的新局面，也為他們提煉規(guī)律、抽象概念提供智力支持。

比如，結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際采取編造兒歌的方式，讓古題變身成為一個(gè)新的探究點(diǎn)，使之成為樂學(xué)的情境。

“養(yǎng)殖場里真熱鬧，雞兔同籠喔喔叫，數(shù)數(shù)頭兒有8個(gè)，數(shù)數(shù)腿兒26條，試問雞兔各幾何？”將復(fù)雜的、生硬的古題，以兒歌的形式展現(xiàn)出來，使得問題更接近學(xué)生的生活場景，給學(xué)生一種熟悉的感觸。這樣的改編，能更有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提增探究的活性，讓孩子們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情滂湃，活力四射。

從上述教學(xué)實(shí)踐能夠看出，教師要善于解讀學(xué)生，精準(zhǔn)把脈學(xué)生的知識現(xiàn)狀和生活實(shí)際，采取最為靈活的策略讓教學(xué)內(nèi)容變變身，從而給學(xué)生最自然的感觸，也讓知識學(xué)習(xí)有那股更為熟悉的味道，讓他們的學(xué)習(xí)更有信心，也更有勁頭。

三、運(yùn)用列舉策略，逐個(gè)更精細(xì)

數(shù)學(xué)模型化，是小學(xué)生研究問題集約化的典型標(biāo)志，也是學(xué)生思維發(fā)展的根本表現(xiàn)。為此，在雞兔同籠問題的研究中，教師要有意識地強(qiáng)化學(xué)習(xí)引領(lǐng)，讓學(xué)生在問題研究中建構(gòu)相應(yīng)的思維模型、解決問題模型等，從而實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)的目標(biāo) [2]。在雞兔同籠問題解決中，教師應(yīng)重視對學(xué)生運(yùn)用列舉策略去分析、比較等方面的指導(dǎo)，并以此為基礎(chǔ)幫助學(xué)生建構(gòu)列舉策略的模型，促進(jìn)孩子們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的順利開展，也使得創(chuàng)新學(xué)習(xí)成為一種必然的結(jié)果。

1. 完成填表，促進(jìn)思考

教學(xué)中，教師應(yīng)緊扣兒歌內(nèi)容，指導(dǎo)學(xué)生多讀、多分析，使問題的信息一目了然且基本爛熟于心。

此時(shí)，教師就得引導(dǎo)學(xué)生深究信息，找到隱藏的信息：1只雞有2條腿，1只兔子是4條腿。這個(gè)隱藏的信息，看似不起眼，但它在調(diào)整雞兔個(gè)數(shù)的過程中卻是最為關(guān)鍵的條件。

緊接著，指導(dǎo)學(xué)生抓牢8個(gè)頭去思考，聯(lián)想8 的組成，從而知道表格中雞的數(shù)量的可能性有9種，分別是0、1、2……7、8，并給雞配上合適數(shù)量的腳，從而找到最科學(xué)的答案，使得問題在列舉中順利突破。

當(dāng)然，這個(gè)看似簡單的舉例子活動，卻隱藏著很多數(shù)學(xué)奧秘。比如雞兔列表中的分布規(guī)律要從0開始，到8結(jié)束，一個(gè)不漏，一個(gè)也不重復(fù)。這樣的學(xué)習(xí)活動，不僅能加速學(xué)習(xí)感悟的進(jìn)程，還能促進(jìn)學(xué)生有序思考能力的發(fā)展。

2. 探討交流，豐富思考

自主學(xué)習(xí)是孩子們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本，但合作學(xué)習(xí)更是學(xué)習(xí)的制勝法寶。它能拓展學(xué)習(xí)的視野，使學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)互惠互補(bǔ)。為此，在教學(xué)中教師不僅要重視自主學(xué)習(xí)的開展，更要重視合作學(xué)習(xí)的引導(dǎo)，讓學(xué)生在合作探討交流中實(shí)現(xiàn)成果共享，也促進(jìn)思想碰撞，從而讓孩子們的感悟更深刻，理解更透徹，學(xué)習(xí)建構(gòu)更有效。

如，在上述列舉學(xué)習(xí)后，教師就得引導(dǎo)學(xué)生展示學(xué)習(xí)成果。有的學(xué)生是從雞的數(shù)量為0開始的，有的學(xué)生則是從兔子的數(shù)量為0開始的。不同的聲音，會讓學(xué)生的學(xué)習(xí)視角得到拓展，讓他們真正做到一個(gè)不遺漏，一個(gè)不重復(fù)地列舉，使他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加智慧，也更有魅力。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法是一項(xiàng)艱巨且長期的任務(wù)。所以在教學(xué)中，教師要審時(shí)度勢、因地制宜，科學(xué)地滲透各種數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中接受數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，從而使他們的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力等穩(wěn)健有序地持續(xù)發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國教育部. 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]? 華敏芳. 滲透數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（01）：60-61.