“易數(shù)學(xué)”：從理念到實(shí)踐

王嵐

摘? 要：從中華傳統(tǒng)文化的“易”思想出發(fā)，聚焦“變易、簡(jiǎn)易、不易”進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值與意義、內(nèi)容與方式、過(guò)程與結(jié)果的整體解讀。從目標(biāo)的設(shè)計(jì)、內(nèi)容的組織、方式的整合三個(gè)維度進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的深度改進(jìn)。

關(guān)鍵詞：“易”思想;易數(shù)學(xué);理念;實(shí)踐

在中華傳統(tǒng)文化中，“易”是一種思想?！耙住闭呷x，變易、簡(jiǎn)易、不易也。變易，是萬(wàn)事萬(wàn)物的存在方式。簡(jiǎn)易，是事物運(yùn)動(dòng)變化的方向與趨勢(shì)所在。宇宙萬(wàn)物，有其事必有其理，順理而為，則可變復(fù)雜為簡(jiǎn)單。不易，是變化的核心與本質(zhì)。萬(wàn)事萬(wàn)物都在變化，但其變化是有規(guī)律可循的，變易中體現(xiàn)出不易。

從“易”思想的原點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的思考與實(shí)踐，就有了“易數(shù)學(xué)”的嘗試與行動(dòng)。在“易”思想的視域中解讀與建構(gòu)，“易數(shù)學(xué)”之簡(jiǎn)易意味著化繁復(fù)為簡(jiǎn)約，聚焦結(jié)構(gòu)與流程的優(yōu)化與升級(jí);“易數(shù)學(xué)”之變易可表征為化復(fù)制為創(chuàng)新，關(guān)注過(guò)程與結(jié)果的呼應(yīng)與對(duì)接;“易數(shù)學(xué)”之不易則強(qiáng)調(diào)萬(wàn)變不離其宗，教學(xué)應(yīng)始終遵循兒童的成長(zhǎng)規(guī)律與教學(xué)的基本原則。

一、“易數(shù)學(xué)”的目標(biāo)設(shè)計(jì)：從局部走向整體

數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育階段的重要學(xué)科，承載的不僅是傳遞數(shù)學(xué)知識(shí)、提升數(shù)學(xué)技能的功能，也承載著用數(shù)學(xué)的方式提升學(xué)生的必備品格與關(guān)鍵能力的這一學(xué)科價(jià)值。這就需要教師在“社會(huì)要求”“人的發(fā)展”“學(xué)科特點(diǎn)”“學(xué)習(xí)本質(zhì)”四個(gè)維度的思考中準(zhǔn)確定位小學(xué)數(shù)學(xué)的目標(biāo)與價(jià)值。

1. 共性與個(gè)性相容的原則

對(duì)于學(xué)生群體而言，目標(biāo)應(yīng)當(dāng)從基礎(chǔ)性的知識(shí)框架與普適性的能力結(jié)構(gòu)出發(fā)，體現(xiàn)基本素養(yǎng)的基礎(chǔ)性，必然會(huì)呈現(xiàn)出共性。但是由于學(xué)生身心發(fā)展的差異、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的不同、學(xué)習(xí)特征的迥異，教學(xué)必須要努力面向不同的學(xué)生的需要，實(shí)現(xiàn)因材施教。因此，在群體性基礎(chǔ)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，還需要關(guān)照個(gè)體性發(fā)展目標(biāo)。根據(jù)不同學(xué)生的起點(diǎn)水平與最近發(fā)展區(qū)，把目標(biāo)設(shè)計(jì)為有跨度的、有層次、有彈性的上下限，關(guān)注每一位學(xué)生，發(fā)展每一位學(xué)生，以目標(biāo)的個(gè)性化助力與支持學(xué)生發(fā)展的個(gè)性化。

對(duì)于教師而言，目標(biāo)的設(shè)計(jì)同樣也具有共性與個(gè)性。需要在教研組、備課組集體商議的教學(xué)目標(biāo)這一共性要求的前提之下，根據(jù)教學(xué)的實(shí)際進(jìn)程和學(xué)生的發(fā)展?fàn)顩r，以及師生長(zhǎng)期共同學(xué)習(xí)而形成的班級(jí)學(xué)習(xí)特點(diǎn)，對(duì)共性的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)，使之更具適切性與實(shí)效性。目標(biāo)的制訂不是一成不變的，而是因人、因時(shí)、因地、因班而異，要在朝向目標(biāo)的行進(jìn)過(guò)程中，加以個(gè)性化地調(diào)適與修整。

2. 本位與整體對(duì)接的原則

從目標(biāo)所完成任務(wù)或發(fā)揮的作用方面分析，目標(biāo)的設(shè)計(jì)既要考慮本位性的任務(wù)的完成，也要涉及整體性作用的發(fā)揮。

從一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)這一封閉系統(tǒng)來(lái)看，教學(xué)目標(biāo)的本位性任務(wù)是指每一具體層次的教學(xué)目標(biāo)都有自己的指定任務(wù)和特定要求，完成好本位性任務(wù)，是實(shí)現(xiàn)整體性功能的前提。但是每一具體層次的教學(xué)目標(biāo)都不是孤立于系統(tǒng)之外的，而是系統(tǒng)內(nèi)部不可或缺的一部分。這就需要教師從全局思維的角度出發(fā)，通盤(pán)考慮不同層次和不同類(lèi)型的教學(xué)目標(biāo)間的關(guān)系。

而如果我們把一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)放到開(kāi)放的目標(biāo)體系來(lái)看，從學(xué)科這一維度來(lái)看，這一本體還需要與單元目標(biāo)、學(xué)期目標(biāo)、學(xué)段目標(biāo)甚至更為長(zhǎng)程的目標(biāo)整合;從兒童生命成長(zhǎng)這一角度來(lái)看，這一本體還需要與其他學(xué)科的近期學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)期目標(biāo)、學(xué)段目標(biāo)甚或?qū)W校6年的培養(yǎng)目標(biāo)、中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)目標(biāo)這一整體相對(duì)接。

二、“易數(shù)學(xué)”的內(nèi)容重組：從彌散走向聚合

1. 對(duì)核心內(nèi)容的再聚焦

小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容編排涉及六個(gè)年級(jí)十二冊(cè)，不同版本的教材每?jī)?cè)都從四大領(lǐng)域整體編排若干單元。這些單元內(nèi)容中，有核心內(nèi)容，也有關(guān)聯(lián)內(nèi)容或從屬內(nèi)容之分。從簡(jiǎn)易、變易、不易的三易角度出發(fā)，我們更需要對(duì)核心內(nèi)容進(jìn)行再聚焦。

核心內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)新知識(shí)的重要基礎(chǔ)，也應(yīng)該是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、問(wèn)題解決能力等關(guān)鍵能力的不可或缺的重要部分，能反應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科的基本問(wèn)題，也能鏈接數(shù)學(xué)學(xué)科體系中的諸多內(nèi)容。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師若能關(guān)注對(duì)少量主題的深度覆蓋，往往能起到事半功倍的效果。

例如，相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)才能直接相加減這一核心內(nèi)容，幾乎貫穿了小學(xué)六年的學(xué)習(xí)過(guò)程。在學(xué)習(xí)整數(shù)加減法時(shí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)到要末位對(duì)齊，也就是相同數(shù)位上的數(shù)對(duì)齊，即個(gè)位上的數(shù)加減個(gè)位上的數(shù)，十位上的數(shù)加減十位上的數(shù)……以此類(lèi)推。在學(xué)習(xí)小數(shù)加減法時(shí)，學(xué)生在此認(rèn)識(shí)到小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，也就是相同數(shù)位上的數(shù)對(duì)齊，再進(jìn)行計(jì)算。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，同分母分?jǐn)?shù)可以直接相加減，分母不變分子相加減，其實(shí)質(zhì)還是相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)才能直接相加減。而異分母分?jǐn)?shù)加減法不能直接計(jì)算，通分轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)即計(jì)數(shù)單位相同后才能直接相加減。這樣的核心內(nèi)容的教學(xué)，在小學(xué)一二年級(jí)就需要教師用上“放大鏡”進(jìn)行專(zhuān)題聚焦，用上“望遠(yuǎn)鏡”進(jìn)行系統(tǒng)思考。

2. 對(duì)數(shù)學(xué)模型的再解讀

數(shù)學(xué)學(xué)科，研究的往往是變化中的不變，變化是其形，不變是其核。采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言或符號(hào)，概括地或近似地表達(dá)出不變的規(guī)律，這樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就是數(shù)學(xué)模型。小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念、公式、性質(zhì)、規(guī)律都可以看作為數(shù)學(xué)模型。

例如，對(duì)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第一冊(cè)出現(xiàn)的加法模型的再解讀，就意味著不僅能讀出教材的顯性表述，還要能讀出編者的隱性表達(dá)。小丑將右手的3個(gè)氣球與左手的1個(gè)氣球放到一起，這是一個(gè)看得見(jiàn)摸得到的合并過(guò)程。從形象的氣球的合并，到半抽象的3個(gè)磁珠與1個(gè)磁珠的合并，再到抽象的數(shù)3和數(shù)1的合并，加法的意義就在這樣的過(guò)程中逐步呈現(xiàn)了出來(lái)。而“做一做”中把兩部分的汽車(chē)推到一起，把兩部分的筆放到一起，把兩部分的飛機(jī)擺到一起，都是加法這一模型的核心——合并的具象表達(dá)。當(dāng)學(xué)生從多樣的情境中不斷體會(huì)到合并的寓意，加法的模型就逐步從模糊走向了清晰。從情境中抽象、提取并建立模型，還只是數(shù)學(xué)建模的第一步。能夠借助數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋?zhuān)菙?shù)學(xué)建模的第二步。看到3+1=4，學(xué)生能根據(jù)圖示完整表達(dá)其實(shí)際意義，“右手有3個(gè)氣球，左手有1個(gè)氣球，一共有幾個(gè)氣球？把3個(gè)氣球和1個(gè)氣球合起來(lái)。用3+1=4計(jì)算?！痹诖嘶A(chǔ)上，教師還需要引領(lǐng)學(xué)生思考：“除了表示把3個(gè)氣球和1個(gè)氣球合起來(lái)，什么情況也可以用3+1=4來(lái)計(jì)算呢？”當(dāng)情境足夠豐富、 素材足夠充足時(shí)，最為重要的是引導(dǎo)學(xué)生再次回歸模型的數(shù)學(xué)本質(zhì)?！靶∨笥延械恼f(shuō)了貼花，有的說(shuō)到小鳥(niǎo)，有的說(shuō)的是蘋(píng)果……事物各不相同，怎么都是用3+1=4來(lái)計(jì)算呀？”在討論中，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)事物在變，但是3和1不變，把3個(gè)和1個(gè)合并起來(lái)的過(guò)程也不變，所以都要用加法，都是3+1=4?！澳氵€能說(shuō)出其他的加法算式嗎？它們又表示怎樣的意義？”從3+1的模型再次拓展到一般的加法模型，對(duì)加法模型的理解也在不斷升華。

3. 對(duì)基本思想的再關(guān)注

從易者三義來(lái)看，變易是方式，簡(jiǎn)易是形態(tài)，不易是核心。在小學(xué)數(shù)學(xué)基本思想方法中，聚焦“轉(zhuǎn)化”的思想方法對(duì)“三易”也能有更深刻的理解。

小學(xué)階段關(guān)于數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化，就有很多應(yīng)用。例如，小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法計(jì)算、異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算，等等。形的計(jì)算，也有很多例子。例如，求圖形的周長(zhǎng)時(shí)，需要在周長(zhǎng)不變的前提下，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。求圖形的面積時(shí)，又需要緊扣面積不變，將新知轉(zhuǎn)化已知。在計(jì)算體積時(shí)，轉(zhuǎn)化的路徑也非常豐富。立體圖形的體積復(fù)習(xí)一課中，有教師就設(shè)計(jì)了這樣一道題（如圖2）。學(xué)生既可以用“補(bǔ)”的思路，先求2倍大小的完整的長(zhǎng)方體的體積，再除以2;也可以“先割后補(bǔ)”，先求下部的標(biāo)準(zhǔn)的長(zhǎng)方體的體積，再求上部的非標(biāo)準(zhǔn)的部分，補(bǔ)成完整的小長(zhǎng)方體的體積再除以2，再把兩部分體積加起來(lái);與第二種思路類(lèi)似的還可以補(bǔ)成最小長(zhǎng)方體后減去上部增加的非標(biāo)準(zhǔn)部分的體積。更難能可貴的是，學(xué)生能溝通直柱體統(tǒng)一的體積公式，換個(gè)視角轉(zhuǎn)化為底面為梯形的直棱柱進(jìn)行體積計(jì)算。而在這樣的相互討論、相互碰撞、相互啟發(fā)的過(guò)程中，收獲的不僅是知識(shí)的強(qiáng)化、技能的增長(zhǎng)，更有思想的生長(zhǎng)。

三、“易數(shù)學(xué)”的方式選擇：從單一走向統(tǒng)整

1. 多教到多學(xué)的理念轉(zhuǎn)變

傳統(tǒng)意義上的課堂教學(xué)，教師“教什么”學(xué)生就“學(xué)什么”，教師“教多少”學(xué)生就“學(xué)多少”，教師“怎樣教”學(xué)生就“怎樣學(xué)”，往往忽視了學(xué)生的學(xué)習(xí)恰恰是主體自我吸納、自我建構(gòu)、自我完善的過(guò)程。教育的目的，是幫助學(xué)習(xí)者學(xué)以為人、學(xué)以成己。因此在學(xué)習(xí)方式的整合策略上，教師應(yīng)當(dāng)主動(dòng)從“多教”向“多學(xué)”轉(zhuǎn)變。

實(shí)現(xiàn)學(xué)生的“多學(xué)”，有三個(gè)非常重要的路徑——課前先學(xué)、課中共學(xué)、課后研學(xué)。課前先學(xué)是教學(xué)過(guò)程的前置，是引領(lǐng)學(xué)生自主、自覺(jué)、自發(fā)探求新知的過(guò)程。先學(xué)的方式不應(yīng)僅僅是簡(jiǎn)單地布置學(xué)生看書(shū)、做題，更需要設(shè)計(jì)實(shí)踐、訪問(wèn)、調(diào)查等綜合性學(xué)習(xí)任務(wù)。預(yù)學(xué)單的設(shè)計(jì)要引導(dǎo)學(xué)生邊學(xué)習(xí)邊思考，邊實(shí)踐邊感悟，充分展示出自己的學(xué)習(xí)過(guò)程、思考方法與疑難之處。課中共學(xué)，則要從每一位學(xué)生先學(xué)的基礎(chǔ)、先學(xué)的狀態(tài)、先學(xué)的水平出發(fā)，設(shè)計(jì)出重在提煉方法、提升策略、激發(fā)思考、激活思維、體驗(yàn)過(guò)程、體悟思想的共學(xué)過(guò)程。因此共學(xué)單的設(shè)計(jì)，需要聚焦在核心內(nèi)容、關(guān)鍵問(wèn)題、疑問(wèn)困惑上。課后研學(xué)是一個(gè)自我選擇、自我反思、自我拓展、自我提升的過(guò)程，設(shè)計(jì)形式多樣的作業(yè)套餐，引領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展對(duì)自我的階段性評(píng)價(jià)。

2. 個(gè)體與群體的學(xué)習(xí)融合

在課中導(dǎo)學(xué)上，我們聚焦了課堂學(xué)習(xí)的三種方式：個(gè)學(xué)（個(gè)體學(xué)習(xí)）、互學(xué)（同桌學(xué)習(xí)）、合學(xué)（小組學(xué)習(xí)）。從我與自身、我與同伴、我與團(tuán)隊(duì)三個(gè)層面來(lái)思考每一種學(xué)習(xí)方式的適用方式、內(nèi)容及范圍。個(gè)學(xué)，強(qiáng)調(diào)自我關(guān)照的重要性。在與書(shū)本的對(duì)話(huà)、與知識(shí)的對(duì)話(huà)、與自我的對(duì)話(huà)中，鞏固掌握點(diǎn)、聚焦疑惑點(diǎn)?；W(xué)，強(qiáng)調(diào)同伴學(xué)習(xí)的重要性，在與同伴的交流、同桌的分享、相互的解惑中，開(kāi)發(fā)潛能點(diǎn)、獲得增長(zhǎng)點(diǎn)。合學(xué)，強(qiáng)調(diào)團(tuán)隊(duì)合作的重要性。不同學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)能力的學(xué)生，面對(duì)小組合作任務(wù)都需先行獨(dú)立思考，然后責(zé)任分工有效合作，不斷提升團(tuán)隊(duì)共學(xué)共研的能力。教師需要根據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù)的不同，在個(gè)體學(xué)習(xí)、同桌學(xué)習(xí)、小組學(xué)習(xí)中進(jìn)行合理選擇與整體調(diào)配。

3. 線上與線下的方式鏈接

在5G引領(lǐng)生活潮流的當(dāng)下，日新月異發(fā)展的新技術(shù)正在重新定義學(xué)習(xí)的概念、學(xué)習(xí)的邊界與學(xué)習(xí)的方式。定制化學(xué)習(xí)、個(gè)性化學(xué)習(xí)、一對(duì)一學(xué)習(xí)……各種學(xué)習(xí)方式正以線上線下彌散式融合的方式不斷進(jìn)入我們的視線。

線上自主學(xué)習(xí)與線下課堂學(xué)習(xí)兩種方式并非兩元對(duì)立，而是可以相互借鑒、相互補(bǔ)充、相互影響、共同迭代的。從這一角度思考“易數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)方式，就可以組合出更為豐富的學(xué)習(xí)方式套餐。從單純的線上與線下的方式簡(jiǎn)單疊加，還可以走向更高層面的線上與線下的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。線下可以借鑒線上學(xué)習(xí)的情境性、個(gè)別化、自適應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)，而線上則需要借鑒線下學(xué)習(xí)的交互性、生成性、靈活性等優(yōu)點(diǎn)。根據(jù)內(nèi)容的特點(diǎn)、師生的需求、時(shí)間成本的核算等，選擇最為適合的組合方式。

在這個(gè)日新月異的時(shí)代，變化是唯一的不變。在變化中堅(jiān)守，在傳承中迭代，“易數(shù)學(xué)”的研究與實(shí)踐，我們?cè)诼飞稀?/p>