數(shù)學(xué)+：數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的有效載體

佘路祥

所謂“數(shù)學(xué)+”，即圍繞某個(gè)主題將小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)外相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容進(jìn)行跨界整合，構(gòu)造學(xué)習(xí)內(nèi)容的交叉地帶，推進(jìn)融通創(chuàng)生，以問題解決為目的，以提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)為追求，引領(lǐng)學(xué)生開展深度學(xué)習(xí)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維載體。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“在一切平面圖形中，圓是最美的”，“圓的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課可用“尋美”作主線，從外形美、內(nèi)在美、構(gòu)造美、應(yīng)用美四個(gè)方面對(duì)圓展開研究，通過“數(shù)學(xué)+生活”“數(shù)學(xué)+實(shí)踐”“數(shù)學(xué)+語文”“數(shù)學(xué)+審美”等形式，改變學(xué)習(xí)方式，豐富學(xué)習(xí)體驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷一段充滿張力的思維旅程。其教學(xué)過程如下。

一、觀察比較，感受圓的外形美

師：（出示生活中的圓）這些物體上有圓嗎？生活中你還在哪里見到過圓？看到圓，你有什么感受？古希臘數(shù)學(xué)家曾說：在一切平面圖形中，圓是最美的。（出示常見平面圖形）這些是我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)的平面圖形，和它們相比，你覺得圓究竟美在哪里？

生1：圓沒有角，其他圖形有角。

生2：圓的線條很柔和，它的邊是一條彎曲的線，其他圖形的邊都是直的線段。

生3：圓非常飽滿，象征著圓滿。

……

師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)，圓是一種曲線圖形，柔和、飽滿、勻稱，圓的外形確實(shí)很美。

設(shè)計(jì)意圖：“數(shù)學(xué)+生活”引發(fā)學(xué)生對(duì)“圓是最美的”探究欲望，通過與其他平面圖形進(jìn)行對(duì)比，初步感知圓的外形美，從尋美的角度為新課展開做好鋪墊。

二、操作思考，體驗(yàn)圓的內(nèi)在美

1.操作

師：圓的外形為什么這樣美呢？讓我們一起走進(jìn)圓的內(nèi)部，探索其中的秘密。請(qǐng)拿出圓形紙片，沿不同的方向?qū)φ郏阌惺裁窗l(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)圓對(duì)折后能完全重合，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，折痕就是它的對(duì)稱軸。

生2：我發(fā)現(xiàn)這些折痕的長(zhǎng)度都相等。

生3：這些折痕都相交于一個(gè)點(diǎn)。

生4：每條折痕的兩個(gè)端點(diǎn)到圓中心的長(zhǎng)度是相等的。

師：真了不起！發(fā)現(xiàn)了這么多秘密！這些折痕所在的線段是圓的直徑，用字母d表示，這些直徑相交的點(diǎn)是圓心，用字母O表示，從圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段是半徑，用字母r表示。

2.思考

師：一個(gè)圓的直徑和半徑分別有多少條？它們之間有怎樣的關(guān)系呢？

生1：沿任意方向?qū)φ鄱寄苷鄢鲆粭l直徑，所以直徑有無數(shù)條，半徑是直徑的一半，半徑也有無數(shù)條。

生2：我測(cè)量后發(fā)現(xiàn)這個(gè)圓的直徑都相等，半徑也相等。

師：古人把圓的這個(gè)特征叫作“一中同長(zhǎng)”。你能理解這四個(gè)字的含義嗎？

生1：“一中”就是一個(gè)中心，也就是一個(gè)圓心，“同長(zhǎng)”就是半徑都一樣長(zhǎng)。

生2：“同長(zhǎng)”除了表示半徑相等，也可以表示直徑相等。

師：因?yàn)橛辛恕耙恢型L(zhǎng)”的特征，使得無數(shù)個(gè)離圓心距離相等的點(diǎn)匯聚成了一條完美的曲線，這樣一來圓的外形還能不美嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察、操作、推理等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)圓的特征，并歸納得出“一中同長(zhǎng)”的本質(zhì)屬性。“數(shù)學(xué)+操作”順應(yīng)了學(xué)生探索圖形特征的認(rèn)知方式，走出了先用圓規(guī)畫圓再探索“一中同長(zhǎng)”特征，導(dǎo)致出現(xiàn)循環(huán)論證、虛假發(fā)現(xiàn)的教學(xué)誤區(qū)。

3.延伸

師：（出示圖1）這個(gè)圓內(nèi)畫了4條線段，哪條線段最長(zhǎng)？

生：直徑最長(zhǎng)。

師：你是怎么知道的？

生：我是看出來的，也可以量一量。

師：觀察、測(cè)量可以知道結(jié)果，其實(shí)推理也能幫我們進(jìn)行判斷。從圓心畫兩條半徑和④號(hào)線段構(gòu)成一個(gè)三角形，有沒有受到什么啟發(fā)？繼續(xù)觀察，和③號(hào)線段也構(gòu)成一個(gè)三角形（見圖2）。有什么想說的？

生1：因?yàn)槿切蝺蛇呏痛笥诘谌叄@兩條半徑的和大于③號(hào)線段的長(zhǎng)。

生2：兩條半徑拉直了就是一條直徑，所以直徑比其他線段都要長(zhǎng)。

師：由此可見，連接圓上兩點(diǎn)的線段中，直徑最長(zhǎng)。

設(shè)計(jì)意圖：探究圓上最長(zhǎng)線段時(shí)，淡化了傳統(tǒng)的用直尺固定一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)比對(duì)的方法，從圓跨界到三角形，借助三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行推理，學(xué)科內(nèi)部縱向聯(lián)通，凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯演繹，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

三、探究作圖，體會(huì)圓的構(gòu)造美

1.啟發(fā)

師：如果我們要畫一個(gè)圓，運(yùn)用什么工具才能畫出具有“一中同長(zhǎng)”特征的圓呢？

生1：用圓規(guī)來畫圓。

生2：先把圓規(guī)的兩只腳叉開，然后把針尖固定在紙上，捏住手柄旋轉(zhuǎn)一周就能畫一個(gè)圓。

師：能說說理由嗎？

生3：圓規(guī)針尖對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就是圓心，兩只腳之間的距離就是圓的半徑，滿足“一中同長(zhǎng)”的特征。

師：除了用上面的方法，我們可不可以創(chuàng)造一個(gè)工具來畫圓呢？

生4：把直尺的一端固定，另一端裝上筆，旋轉(zhuǎn)一周就可以畫一個(gè)圓。

生5：把棉繩的一端固定，然后拉直，另一端套上鉛筆旋轉(zhuǎn)一周就能畫圓。

生6：握緊兩支筆，一支筆的筆尖固定做圓心，另一支筆轉(zhuǎn)一圈就行了。

師：真不簡(jiǎn)單，想到這么多種方法，這些方法是不是都能成功畫圓呢？每人選擇一種方式，嘗試畫一個(gè)圓。

2.交流

師：我們用不同的方法畫圓時(shí)，分別要注意什么呢？

生1：用圓規(guī)畫圓時(shí)兩腳之間的距離不能變化。

生2：用棉繩畫圓時(shí)，固定的一端一定不能動(dòng)，畫的過程中繩子要拉緊，不能松，不然就做不到“一中同長(zhǎng)”，也就畫不成圓了。

3.內(nèi)化

師：如果把棉繩換成皮筋，也能畫圓嗎？誰來試一試。

生：皮筋有彈性，畫圓時(shí)長(zhǎng)度會(huì)變化。

師：看來要想成功畫圓，必須滿足“一中同長(zhǎng)”的特性。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生提出用圓規(guī)或圓形物體可以畫圓后，要求學(xué)生創(chuàng)造一種畫圓的工具，讓“數(shù)學(xué)+實(shí)踐”打開學(xué)生思維，畫圓不一定用圓規(guī)，感悟不同畫法之間的共同屬性。而后讓學(xué)生用有彈性的皮筋畫圓，一番努力之后不能成功，在對(duì)比沖突中感受畫圓時(shí)定點(diǎn)和定長(zhǎng)的必要性，深刻感悟圓的構(gòu)造之美。

四、實(shí)例分析，理解圓的應(yīng)用美

1.研究

圓在生活中有著廣泛的應(yīng)用，各種車輪，很多蓋子都設(shè)計(jì)成圓形，這是為什么呢？請(qǐng)學(xué)生拿出車輪模型和奶粉罐，開始研究。

2.交流

師：哪一組來匯報(bào)車輪的研究結(jié)果？

生1：車輪設(shè)計(jì)成圓形，滾動(dòng)時(shí)摩擦力比較小，所以滾得快。

生2：我發(fā)現(xiàn)車軸安裝在圓心，車輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)車軸與地面的距離相等，從而比較平穩(wěn)。

師：車輪設(shè)計(jì)成圓形應(yīng)用了圓的什么特征呢？

生：圓心到地面的距離就是圓的半徑，用了同一個(gè)圓的半徑都相等的特征。

師：奶粉罐的蓋子為什么設(shè)計(jì)成圓形呢？

生1：圓沒有棱角，不容易傷到小朋友。

生2：不管從哪個(gè)角度，都能很容易把蓋子蓋上去。

師：這又是應(yīng)用了圓的什么特征呢？

生1：直徑是圓上最長(zhǎng)的線段。

生2：同一個(gè)圓的直徑都相等。

設(shè)計(jì)意圖：能用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋生活現(xiàn)象是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理想境界，選擇車輪和蓋子兩種素材，放手讓學(xué)生去研究為什么設(shè)計(jì)成圓形，“數(shù)學(xué)+實(shí)踐”培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。學(xué)生的回答不全是數(shù)學(xué)角度的，借助課件演示，很快就能悟出其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，上升到圓的應(yīng)用之美，對(duì)接生活，實(shí)現(xiàn)跨界。

五、總結(jié)提升

1.回顧并拓展

（課件依次出示風(fēng)旋渦、水旋渦、樹干截面、鳥窩）圓是美的圖形，美在外形、美在內(nèi)在、美在構(gòu)造、美在應(yīng)用，圓的美風(fēng)知道、水知道、樹知道、鳥兒也知道。（課件依次出現(xiàn)和圓有關(guān)的詞語、詩句、名言、數(shù)學(xué)思想）圓的美還在于思美、言美、詩美……圓的美還期待著同學(xué)們?nèi)ヌ剿鳌⑷グl(fā)現(xiàn)！

2.延伸

出示實(shí)踐作業(yè)：（1）測(cè)量一棵大樹的直徑。（2）做一個(gè)尺規(guī)可以畫大小不同的圓。

設(shè)計(jì)意圖：課尾從數(shù)學(xué)上的圓到自然現(xiàn)象中的圓再到文學(xué)作品中的圓，“數(shù)學(xué)+自然”“數(shù)學(xué)+語文”“數(shù)學(xué)+審美”，引領(lǐng)學(xué)生打破學(xué)科壁壘，從數(shù)學(xué)之外觀察圓，感悟圓的美，再回到圓出于方、化圓為方等數(shù)學(xué)思想。實(shí)踐作業(yè)以期學(xué)生學(xué)以致用，帶著問題離開課堂，去追尋更美的境界。

“數(shù)學(xué)+”作為數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的有效載體，正是通過跨界整合、融通創(chuàng)生，重組學(xué)習(xí)材料，優(yōu)化學(xué)習(xí)資源，改變學(xué)習(xí)方式，向?qū)捥幮?，促深處思，使?shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再停留于各種具體的知識(shí)和技能，注重通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，成為學(xué)習(xí)的主人，為學(xué)生的終身成長(zhǎng)奠基。

（作者單位：江蘇省如皋師范學(xué)校附屬小學(xué)）

責(zé)任編輯：肖佳曉

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