均值-方差聯(lián)合模糊不確定情況下的委托代理問題

張 琪，陳曉燕，朱元國

(南京理工大學理學院，江蘇 南京 210094)

近年來，隱藏行為的研究文獻主要是在奈特不確定下，即產(chǎn)出的分布具有模糊不確定的框架下對委托代理的最優(yōu)契約問題進行研究. 2002年Chen 和Epstein[1]利用倒向隨機微分方程和等價概率測度，在連續(xù)時間模型下考慮了產(chǎn)出存在均值模糊的情況，指出委托人和代理人在模糊厭惡的態(tài)度下會選擇相同的最悲觀的概率測度或分布.2008年Epstein和Schneider[2]在離散時間模型下考慮了產(chǎn)出方差的模糊情況，通過假定工資是產(chǎn)出的線性函數(shù)，給出不同代理人在模糊厭惡下也會選擇相同的最悲觀的概率測度或分布. 2010年Weinschenk[3]在離散時間下同樣假定工資為產(chǎn)出的線性函數(shù)，考慮委托人和代理人具有相同的模糊厭惡態(tài)度.結(jié)論是，若產(chǎn)出只有均值(或方差)模糊，那么委托人和代理人會選擇相同的最悲觀的概率測度或分布.但是，當產(chǎn)出的均值和方差聯(lián)合模糊時，該文獻發(fā)現(xiàn)委托人和代理人可能會選擇不同的概率測度或分布.2015年Miao和Rivera[4]考慮了連續(xù)時間情況下產(chǎn)出具有均值模糊的委托代理問題，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)契約是激勵與模糊分擔之間的一種權(quán)衡. 2018年Sung[5]在連續(xù)時間模型下，在均值方差聯(lián)合模糊不確定的基礎(chǔ)上，考慮了對產(chǎn)出的均值的控制.該文獻給出了最優(yōu)工資方案是產(chǎn)出和產(chǎn)出的可驗證方差的線性函數(shù)，并證明了委托人和代理人在同樣模糊厭惡的情況下會選擇相同先驗的概率測度或分布. 在該文獻的基礎(chǔ)上，2018年ChenX[6]通過假設(shè)工資為產(chǎn)出和產(chǎn)出的可驗證方差的線性函數(shù)，論證了委托人和代理人在模糊厭惡態(tài)度下會選擇相同的均值和方差所對應(yīng)產(chǎn)出的先驗概率分布，并證明了績效工資敏感度貝塔是隨預(yù)測的產(chǎn)出波動率遞減的，這與1999年Aggarwal和Samwick[7]的經(jīng)驗數(shù)據(jù)一致.

本文主要是在均值方差聯(lián)合模糊不確定的基礎(chǔ)上，考慮對均值和方差均有控制，給出了契約形式.結(jié)果表明，考慮第一最優(yōu)契約問題時，委托人與代理人關(guān)于最糟糕的先驗選擇是能達成一致的，且模糊與控制并不會影響產(chǎn)出的風險分擔和模糊補償.

1 預(yù)備知識

1.1 模型

在分析合約問題之前，定義如下的Hamiltonians式子.對于((e,μ,ν),β,θ,t,Y)∈U×Dt(Y)×R×R×[0,1]×Ω,HA(μ,ν;e,β,θ;t,Y)=-c(e,t,Y)+φA(μ,ν;e,β,θ;t,Y),

且對于(e,β,θ,(μP,νP),p,t,Y)∈U×R×R×Dt(Y)×R×[0,1]×Ω,

HP(μP,νP;e,β,θ;p,t,Y)= -c(e,t,Y)+φP(μP,νP;e,β,θ;p,t,Y)+

本文所要解決的最優(yōu)問題的一般形式為如下問題：

(1)

s.t.dYt=f(u,v,t,Y)dt+σ(u,v,t,Y)dBu,v,

其中，g,q,h,f,σ為實值函數(shù)，使得g,q,h,f:U×D×[0,1]×Ω→R,σ:U×D×[0,1]×Ω→R+

Ho表示如下的Hamiltonian式子：對于所有的(ut,vt,p,t,Y)∈Ut(Y)×Dt(Y)×R×[0,1]×Ω,

(2)

1.2 假設(shè)條件

注：在本文中，Pu,v=Pe,v=Pe,μ,ν.

假設(shè)4假設(shè)f,σ,c分別關(guān)于(e,μ,ν),(e,ν),e是連續(xù)可微的；f,c,σ關(guān)于e嚴格遞增，σ關(guān)于ν嚴格遞增.

注：Ee,μ,ν表示測度Pe,μ,ν(Pe,v)下的期望算子，記為Ee,v；Ee,ν表示測度Pe,ν下的期望算子，記為Ee,ν.

2 容許合約的表示形式

(3)

因此，由測度變換可知，代理人的期望效用等價于

s.t.dYt=σ(et,νt,t,Y)dWt,

(4)

(6)

3 第一最優(yōu)契約問題

問題1(第一最優(yōu))委托人與代理人通過解決下面的問題來簽訂一份合約.

約束(ⅱ)使得代理人選擇最糟糕的模糊參數(shù)過程.約束(ⅲ)可以保證代理人的參與，即達到他的保守效用.

(8)

證明(1)求出關(guān)于問題1的Hamiltonian式子

類似于文獻[5]定理3的證明，問題1的后兩個約束條件可以被替換為如下的約束條件：

(9)

因此，委托人的問題可以被等價地表示為如下形式：

(2) 求出最優(yōu)化問題所對應(yīng)的一階條件

由于φA和φP都是連續(xù)可微的且Dt(Y)滿足KKT(Karush-Kuhn-Tuckler)約束條件，因此,關(guān)于(μ,ν)的一階條件是委托人和代理人的最優(yōu)化問題的必要條件，且運用包絡(luò)定理得到關(guān)于(e,β,θ)的一階條件，如下：

(10)

(11)

(12)

(3)具體分析，并給出最優(yōu)解

(13)

(14)

(15)

(16)

那么，委托人和代理人問題關(guān)于(μ,ν)的一階條件如下：存在拉格朗日乘子λPt,λAt≥0,使得

(17)

(18)

λPtπ=0,π≥0

(19)

βtfμ+λAt(-πμ)=0

(20)

(21)

λAtπ=0,π≥0

(22)

根據(jù)θt=0且βt滿足式(13)，最糟糕的先驗選擇最小化φA和φP等價于解決式(8).由此可以得到定理2所給出的最優(yōu)契約的形式.命題得證.

4 結(jié)論

通過考慮產(chǎn)出的均值和方差具有模糊和控制時，定理1給出了最優(yōu)契約形式.結(jié)果表明，在定理1所給出的最優(yōu)契約形式下，考慮第一最優(yōu)契約問題時，委托人與代理人關(guān)于最糟糕的先驗選擇是能達成一致的，且模糊與控制并不會影響風險分擔和模糊補償.因此，在考慮第一最優(yōu)契約問題時，不需要考慮對產(chǎn)出均值和方差的模糊及控制，只需要考慮產(chǎn)出的風險不確定性，這大大簡化了第一最優(yōu)契約的模型.