二次型最優(yōu)控制在小車倒立擺控制系統(tǒng)中的應(yīng)用

彭 錦, 黃 為, 熊 歡

(湖南理工學(xué)院 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 湖南 岳陽(yáng)414006)

0 引言

對(duì)于倒立擺控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究具有非常重要的工程實(shí)踐意義.任何重心在上、支點(diǎn)在下的控制問題, 都可以視為倒立擺系統(tǒng).比如, 機(jī)器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等等, 因此倒立擺的穩(wěn)定控制方法在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用[1,2].目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者將不同的控制方法引入倒立擺穩(wěn)定性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中.文[3]和[4]將云模型引入倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì), 拋棄了常規(guī)控制需要倒立擺確定的數(shù)學(xué)模型, 只需依據(jù)經(jīng)驗(yàn)規(guī)則, 將人的命令通過云模型轉(zhuǎn)換為控制算法, 從而實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的智能控制.文[5]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和模糊控制結(jié)合起來(lái), 利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算結(jié)果修正模糊規(guī)則, 從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)倒立擺的智能控制.文[6]設(shè)計(jì)了基于增強(qiáng)型算法的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器, 使倒立擺控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到了增強(qiáng).文[7]將等效控制、切換控制和模糊控制結(jié)合起來(lái), 形成了模糊滑?？刂? 可以顯著降低倒立擺穩(wěn)定控制中的抖動(dòng)問題.本文將線性最優(yōu)控制引入二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中, 對(duì)其控制性能進(jìn)行研究, 為后續(xù)實(shí)際應(yīng)用提供理論依據(jù).

1 二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

為了簡(jiǎn)化建模的過程, 忽略兩個(gè)擺桿之間的摩擦力和擺桿的空氣阻力, 只考慮小車與導(dǎo)軌之間的摩擦力.模型簡(jiǎn)化圖如圖1所示, 各部件的參數(shù)含義和數(shù)據(jù)參考文[2].

圖1 二級(jí)倒立擺的簡(jiǎn)化物理模型

拉格郎日方程為

該方程用廣義坐標(biāo)qi可表示為

其中f i(i=1,2,3…n)為倒立擺系統(tǒng)沿廣義坐標(biāo)方向的外力.

對(duì)于該二級(jí)直線倒立擺系統(tǒng), 可用拉格郎日方程推導(dǎo)其動(dòng)力學(xué)方程.設(shè)該系統(tǒng)的三個(gè)廣義坐標(biāo)分別為x,θ1,θ2.首先計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能

其中TM為小車的動(dòng)能,Tm1為擺桿1 的動(dòng)能,Tm2為擺桿2 的動(dòng)能,Tm3為質(zhì)量塊的動(dòng)能.

小車的動(dòng)能

擺桿1 的動(dòng)能Tm1=Tm′1+Tm′1, 其中

所以

擺桿2 的動(dòng)能Tm2=Tm′2+Tm′′2, 其中

所以

質(zhì)量塊的動(dòng)能為

所以系統(tǒng)的總動(dòng)能為

然后計(jì)算系統(tǒng)的勢(shì)能

可以得出拉格朗日算子為:

由于廣義坐標(biāo)θ1,θ2上無(wú)外力, 所以有

化簡(jiǎn)以上兩式, 得

式(5), (6)可表示為

2 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的能控性和能觀性分析

2.1 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的空間表達(dá)式

要使二級(jí)直線倒立擺系統(tǒng)在平衡位置時(shí)每個(gè)參數(shù)的初始數(shù)值全為0, 即=(0,0,0,0,0,0,0).將式(5)在平衡位置處使用泰勒級(jí)數(shù)展開并線性化, 各個(gè)參數(shù)記為

再代入到式(7)中, 得線性化之后的式子

同理, 將式(6)也在平衡位置處使用泰勒級(jí)數(shù)展開并線性化, 各個(gè)參數(shù)記為

再代入式(8)可得

將文[2]中參數(shù)代入可得二級(jí)直線倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

根據(jù)穩(wěn)定性的判據(jù)可知: 當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根全部位于左半s 平面時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定.

二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的特征方程為det(λ-A)=0, 通過MATLAB 求解特征根可得系統(tǒng)的特征根為-10.0438, 10.0438, -5.0265, 5.0265, 0, 0.

可以看出二級(jí)直線倒立擺系統(tǒng)的特征根不全位于左半s 平面, 因此二級(jí)直線倒立擺系統(tǒng)不穩(wěn)定.

2.2 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的能控性和能觀性分析

線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件是 rank(B,AB, L,An?1B)=n, 其中n為系統(tǒng)矩陣A的維數(shù).由式(11)可知:

故rank(B,AB, L,A n?1B)=6, 所以系統(tǒng)完全可控.

線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充要條件是 rank(C,CA, L,CAn?1)T=n, 其中n為系統(tǒng)矩陣A的維數(shù).由式(11)及式(12)可知

故rank(C,CA,L,CAn?1)T=6, 所以系統(tǒng)完全可觀測(cè).

由此, 可以確定狀態(tài)反饋增益向量為

通過改變K的值去改變特征方程的系數(shù), 從而實(shí)現(xiàn)對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置.

在MATLAB 中可以通過acker(A,B,J) 或place(A,B,J) 求得狀態(tài)反饋增益向量K, 其中J為由n個(gè)期望極點(diǎn)組成的矩陣.

3 二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的線性二次型最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)

如果某個(gè)控制系統(tǒng)是一個(gè)線性系統(tǒng), 那么可以對(duì)其使用線性二次型最優(yōu)控制理論來(lái)進(jìn)行控制.二次型性能函數(shù)是由控制變量和狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分構(gòu)成的, 線性二次型最優(yōu)控制就是利用二次型性能函數(shù)來(lái)尋找最優(yōu)控制的過程.控制過程中所用的控制能量最小是使用二次型性能指標(biāo)最小化的體現(xiàn).也就是運(yùn)用二次型的性能指標(biāo)J表示系統(tǒng)的控制能量與控制目標(biāo)間的關(guān)系, LQR 算法原理圖如圖2所示[8～10].

圖2 LQR 算法原理圖

假設(shè)給定的線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

LQR 最優(yōu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是要設(shè)計(jì)出能使二次型目標(biāo)函數(shù)J取最小值的狀態(tài)反饋向量K.二次型目標(biāo)函數(shù)J為

其中Q是對(duì)于狀態(tài)向量的加權(quán)矩陣,R為正定矩陣.

因?yàn)橐剐阅苤笜?biāo)J最小, 所以可以先使用Hamilton 函數(shù), 即

對(duì)u求取偏微分, 得

由此可以得到系統(tǒng)的最優(yōu)控制信號(hào)為u(t)=-R-1BTP(t)x(t), 其中

當(dāng)tf→∞時(shí),P(t)趨于常數(shù)矩陣, 所以(t) →0.故式(13)可化簡(jiǎn)為

通過求解上式可以得出正定矩陣P, 又由K=R-1B TP, 可以求得最佳狀態(tài)反饋矩陣K.在MATLAB中可以通過lqr(A,B,C,D,J)求得線性二次型反饋增益向量K.

4 二級(jí)倒立擺標(biāo)準(zhǔn)LQR 控制器系統(tǒng)的仿真研究

LQR 控制器的作用是在輸入階躍信號(hào)時(shí), 用最小的能量、較快的速度對(duì)其作出反應(yīng), 驅(qū)動(dòng)小車使擺桿1 和擺桿2 保持平衡和豎直向上的狀態(tài).當(dāng)性能指標(biāo)函數(shù)的值越小時(shí), 控制的效果越好.在MATLAB 中可以通過lqr(A,B,C,D,J)求得線性二次型反饋增益向量K, 其中Q為加權(quán)矩陣, 是一個(gè)半正定的對(duì)角矩陣.對(duì)角線上的值為狀態(tài)變量的加權(quán)值, 權(quán)值越大時(shí)其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量衰減速度越快.在MATLAB 的Simulink 工具箱中進(jìn)行仿真, LQR 控制的仿真模型如圖3所示.

圖3 LQR 控制器仿真模型圖

輸入的階躍信號(hào)的幅值為0.1, 狀態(tài)變量的初始值為(0, 0, 0, 0, 0, 0).下面通過試湊法來(lái)確定加權(quán)矩陣Q的值:

(1)令Q11=1,Q22=1,Q33=1,Q44=0,Q55=0,Q66=0,R=1, 可求得:K=(1.0000, 76.0260, - 82.4403, 2.0165, 4.6197, - 12.7021), 仿真結(jié)果如圖4所示.

由圖4可以看出, 小車位移的調(diào)節(jié)時(shí)間為7s, 上升時(shí)間為3s, 擺桿1 和擺桿2 的調(diào)節(jié)時(shí)間為6s, 系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間過長(zhǎng), 控制效果很差, 所以繼續(xù)增大Q的值.

(2)令Q11=300,Q22=1,Q33=1,Q44=0,Q55=0,Q66=0,R=1, 可求得K=(1.0000, 76.0260, - 82.4403, 2.0165, 4.6197, - 12.7021), 仿真結(jié)果如圖5所示.

圖4 系統(tǒng)階躍仿真圖

圖5 系統(tǒng)階躍仿真圖

由圖5可知, 增加了Q11的值后, 三個(gè)輸出量的調(diào)節(jié)時(shí)間都降低到了4.5s 左右, 但是三個(gè)輸出的超調(diào)量都增大了, 且系統(tǒng)的震蕩比較大, 所以繼續(xù)調(diào)節(jié)加權(quán)矩陣Q的值.

(3) 令Q11=300,Q22=500,Q33=500,Q44=0,Q55=0,Q66=0,R=1, 可求得:K=(17.3205, 116.5703, - 194.6000, 18.5650, 3.5456, - 31.4350), 仿真結(jié)果如圖6所示.

圖6 系統(tǒng)階躍仿真圖

由圖6可知, 經(jīng)過調(diào)整后, 小車位移、擺桿1 和擺桿2 曲線的調(diào)節(jié)時(shí)間為2.5s, 系統(tǒng)的快速性比較好, 相比于圖4和圖5, 系統(tǒng)的超調(diào)量明顯降低, 且震蕩也減小了.擺桿1 和擺桿2的擺動(dòng)幅度都比較小, 控制的效果比較理想.

為了檢驗(yàn)系統(tǒng)的抗干擾能力, 在系統(tǒng)仿真模型中加入Pulse Generator 模塊, 在5s 時(shí)產(chǎn)生一個(gè)脈沖干擾信號(hào).仿真模型如圖7所示.

在Q11=300,Q22=500,Q33=500,Q44=0,Q55=0,Q66=0,R=1的情況下, 仿真模型的階躍響應(yīng)如圖8所示.

圖7 系統(tǒng)仿真模型圖

圖8 加入擾動(dòng)后的階躍響應(yīng)圖

由圖8可知, 在擾動(dòng)的作用下, 兩個(gè)擺桿的角度偏移都不大, 在短時(shí)間內(nèi)都恢復(fù)了穩(wěn)定狀態(tài), 所以系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾能力和較好的魯棒性.

5 結(jié)論

本文以二級(jí)倒立擺為實(shí)驗(yàn)對(duì)象, 建立了倒立擺裝置的數(shù)學(xué)模型, 同時(shí)進(jìn)行了線性化處理, 得到了系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式, 分析了系統(tǒng)在階躍輸入下的響應(yīng)情況.在得到狀態(tài)空間表達(dá)式的基礎(chǔ)上, 分析了其能控性與能觀測(cè)性.最后將二次型最優(yōu)控制引入控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中, 通過仿真結(jié)果分析得出: 二次型最優(yōu)控制具有較強(qiáng)的干擾能力, 可以應(yīng)用于要求比較高的場(chǎng)合.