箱梁底板孔洞處拉壓波散射作用下動(dòng)應(yīng)力集中的解析解

楊旭姣，馬迎瑞，王顯利

(北華大學(xué)土木與交通學(xué)院，吉林 吉林 132013)

混凝土箱梁應(yīng)用廣泛，由于施工工藝或維修加固的需要，會(huì)在箱梁底板上人為開設(shè)大量孔洞.當(dāng)?shù)卣鸢l(fā)生時(shí)，因受持續(xù)波動(dòng)力影響，箱梁底板孔洞處會(huì)產(chǎn)生動(dòng)應(yīng)力集中現(xiàn)象，進(jìn)而影響箱梁結(jié)構(gòu)的整體安全.對(duì)于箱梁孔洞問題，國內(nèi)外學(xué)者已有研究：馮志新[1]研究了任意型孔靜應(yīng)力集中問題，并給出復(fù)變函數(shù)法的解析方法；何志剛等[2]基于變分原理研究了箱梁開裂前后的剪力滯效應(yīng)，結(jié)果表明，配筋率的最大影響位置在初始開裂截面，且在均布荷載作用下開裂區(qū)段越長(zhǎng)影響越大；朱靜秋[3]用有限元分析了箱梁底板開孔對(duì)底板受力性能的影響；常立峰[4]運(yùn)用反應(yīng)譜分析法研究了在強(qiáng)震作用下箱梁橋的橫、縱向受力情況，分析了箱梁橋的破壞機(jī)制，并給出了數(shù)值模擬結(jié)果；WU Y D[5]運(yùn)用非線性時(shí)程分析法，通過建立概率地震需求模型，利用一階定界法對(duì)橋梁體系的脆性進(jìn)行了評(píng)價(jià)，得出了在地震作用下，橋梁體系比任何構(gòu)件都更加脆弱的結(jié)論；胡超[6]、LEI Z等[7]提出了厚板拉壓振動(dòng)基礎(chǔ)理論方程并給出了解析解，分析了不同參數(shù)對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中的影響；HUANG H[8]提出了一種建筑模型更新方法，量化相關(guān)參數(shù)，優(yōu)化遺傳算法，使得橋梁評(píng)估更加準(zhǔn)確.以上學(xué)者研究了箱梁開裂時(shí)不同的受力情況以及破壞機(jī)制，但均未考慮箱梁遭受持續(xù)波動(dòng)力時(shí)，孔洞造成的拉壓波散射對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中的影響.本文基于拉壓振動(dòng)方程，以含孔箱梁底板為研究對(duì)象，在復(fù)變函數(shù)法和保角映射法的基礎(chǔ)上，配以局部坐標(biāo)系法，研究拉壓波散射作用下的孔域動(dòng)應(yīng)力集中問題.本文的研究結(jié)果可為連續(xù)箱型梁橋設(shè)計(jì)和維修加固提供理論依據(jù).

1 拉壓波動(dòng)方程及其解析

為更好地分析拉壓波散射對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中的影響，需要先建立拉壓波動(dòng)基本方程，隨后進(jìn)行數(shù)值模擬，得出動(dòng)應(yīng)力集中問題的解析解.取含孔箱梁底板為研究單元，以拉壓振動(dòng)方程[6]為基礎(chǔ)，控制方程為

(1)

為了更好地研究板結(jié)構(gòu)拉壓振動(dòng)的頻散關(guān)系，保留各元素的一般性，研究該問題的諧和振動(dòng)解.設(shè)廣義位移函數(shù)分別為

(2)

式中：ω為拉壓振動(dòng)的圓頻率；i為虛數(shù)單位；t為時(shí)間因子.

將式(2)代入式(1)并省略廣義位移函數(shù)的符號(hào)～和時(shí)間因子t，可以得到

(3)

式中：αj(j=1，2)是彈性波波數(shù)，滿足方程

(4)

(5)

應(yīng)用保角映射法，將ζ平面上孔洞邊界L的外域映射成η平面上邊界S的單位圓外域.整理后可表達(dá)為

ζ=Ω(η)=cη+Φ(η)

，

(6)

式中：Φ(η)為全純函數(shù).

將式(6)寫成在極坐標(biāo)系(r，β)內(nèi)的方程形式，整理后可表達(dá)為

Nr+Nβ=Nx+Ny，
Nβ-Nr+2iNrβ=(Ny-Nx+2iNxy)exp(2iβ) ，
MQr-iMQβ=(MQx-iMQy)exp(iβ).

(7)

于是，在η=ρexp(iθ)平面上式(7)可寫成

(8)

根據(jù)式(8)，可以導(dǎo)出η平面上平板中廣義內(nèi)力的表達(dá)式為

(9)

2 拉壓波散射總波場(chǎng)

假設(shè)在箱梁底板中有一拉壓彈性波沿x軸正向入射，其表達(dá)式為

E(i)=E0eiα1xF(i)=δ1E(i)f(i)=0

，

(10)

式中：E0是入射波沿x軸方向廣義位移的幅值.

拉壓彈性波的總波場(chǎng)表達(dá)式是由入射場(chǎng)和散射場(chǎng)疊加后得出的，對(duì)于箱梁底板含多個(gè)任意形孔的情況，總波場(chǎng)方程可表達(dá)為

(11)

式中：j代表第j個(gè)開孔.

3 邊界條件與模式系數(shù)

設(shè)箱梁底板拉壓振動(dòng)時(shí)孔洞在η平面上是自由邊界，平板理論[6]可以滿足以下6個(gè)邊界條件：

(12)

式中：m=1，2；a是孔的半徑.

(13)

在方程(13)的兩端都乘以e-isθ，可得無窮代數(shù)方程組

(14)

其中，邊界處入射波的表達(dá)式為

(15)

第j個(gè)孔洞邊界處散射波的表達(dá)式為

(16)

動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)表達(dá)式

(17)

與以往只考慮0到t短時(shí)間內(nèi)沖擊荷載和有限元方法的數(shù)值模擬不同，本文是在明確提出動(dòng)彈性狀態(tài)下得出的完備解.

4 數(shù)值算例

取n=10，泊松比ν=0.3，孔徑與板厚比a/h=0.1～5.0，無量綱波數(shù)α1a=0.1～5.0.動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)沿孔邊的分布情況見圖1～6，圖中上半部分是t=0時(shí)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)沿孔邊的數(shù)值分布，下半部是t=T/4時(shí)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)沿孔邊的數(shù)值分布.圖7是動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)受入射波波數(shù)影響的變化曲線.

圖1底板孔邊動(dòng)應(yīng)力分布(α1a=0.1,a/h=0.1,L/a=2.1)Fig.1Dynamic stress distribution of bottom hole(α1a=0.1,a/h=0.1,L/a=2.1)圖2底板孔邊動(dòng)應(yīng)力分布(α1a=0.1,a/h=5.0,L/a=4.0)Fig.2Dynamic stress distribution of bottom hole(α1a=0.1,a/h=5.0,L/a=4.0)圖3底板孔邊動(dòng)應(yīng)力分布(α1a=1.0,a/h=0.1,L/a=2.1)Fig.3Dynamic stress distribution of bottom hole(α1a=1.0,a/h=0.1,L/a=2.1)圖4底板孔邊動(dòng)應(yīng)力分布(α1a=5.0,a/h=0.1,L/a=2.1)Fig.4Dynamic stress distribution of bottom hole(α1a=5.0,a/h=0.1,L/a=2.1)圖5底板孔邊動(dòng)應(yīng)力分布(α1a=0.1,a/h=5.0,L/a=4.0)Fig.5Dynamic stress distribution of bottom hole(α1a=0.1,a/h=5.0,L/a=4.0)圖6底板孔邊動(dòng)應(yīng)力分布(α1a=5.0,a/h=0.1,L/a=4.0)Fig.6Dynamic stress distribution of bottom hole(α1a=5.0,a/h=0.1,L/a=4.0)

對(duì)比圖1和圖2可以明顯看出：當(dāng)α1a=0.1時(shí)，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)較為穩(wěn)定，在θ=π/2方向上出現(xiàn)最大值，且數(shù)值分布關(guān)于θ=π/2大致對(duì)稱.對(duì)比圖1和圖3可知：當(dāng)a/h=0.1，L/a=2.1時(shí)，α1a增大，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)分布逐漸變化，最大值仍在θ=π/2方向上，但在θ=-2π/3方向上出現(xiàn)了負(fù)應(yīng)力.對(duì)比圖2和圖5可知：當(dāng)a/h=5.0，L/a=4.0時(shí)，α1a值增大，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)分布逐漸變化，最大值仍在θ=π/2方向上，但在θ=-2π/3和θ=π方向上都出現(xiàn)了負(fù)應(yīng)力.對(duì)比圖3和圖4可知：a/h、L/a不變，α1a依舊增大，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)分布呈現(xiàn)不規(guī)則變化，多方向出現(xiàn)負(fù)應(yīng)力，對(duì)構(gòu)件穩(wěn)定性影響極大.對(duì)比圖4和圖6可知：α1a值較大，a/h卻較小，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)變化波動(dòng)依舊強(qiáng)烈.

由圖7可見：在入射波波數(shù)和孔徑與板厚比較小時(shí)，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)最大值為3.3.當(dāng)入射波波數(shù)和孔徑與板厚之比逐漸增大時(shí)，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)波動(dòng)也隨之加劇，最終趨近于1.

5 結(jié) 論

本文基于拉壓振動(dòng)精確化方程，采用復(fù)變函數(shù)法、保角映射法和局部坐標(biāo)系法，導(dǎo)出了箱梁底板的拉壓波動(dòng)方程，給出了孔洞處動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的解析解.結(jié)合算例分析了入射波波數(shù)、孔徑與板厚之比和孔間距對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響情況，得出以下結(jié)論：隨著入射波波數(shù)的不斷增大，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)呈現(xiàn)無規(guī)則分布.當(dāng)入射波波數(shù)逐漸增大到某一定值時(shí)，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)經(jīng)過波動(dòng)后最終趨近于單位1；孔徑與板厚比過大或過小對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)都有影響，加劇了數(shù)值波動(dòng)，出現(xiàn)負(fù)應(yīng)力；孔洞間距的變化使得動(dòng)應(yīng)力分布發(fā)生復(fù)雜變化，當(dāng)孔間距與孔徑比小于2.1時(shí)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)變化更加劇烈.

本次研究結(jié)果可為箱型梁橋設(shè)計(jì)施工、維修加固決策提供理論依據(jù)，在應(yīng)力集中區(qū)域采取補(bǔ)強(qiáng)措施可維持地震作用下的結(jié)構(gòu)安全.因箱型梁橋的受力影響因素種類繁多，在后續(xù)研究中將會(huì)繼續(xù)考慮其他因素進(jìn)行綜合分析.