數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的“平面的基本性質(zhì)”教學(xué)案例分析

仲小麗

【摘要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》界定了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的含義，教師應(yīng)結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動的全過程，不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)，努力激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，促使更多的學(xué)生熱愛數(shù)學(xué).

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，直觀想象

一、引 言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》[1]界定了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的含義，提出了六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，并闡述了每個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、價值、表現(xiàn)和目標(biāo)[2].

筆者近期參加了南京市“深度研課”項(xiàng)目活動，并有幸上了一節(jié)公開課《平面的基本性質(zhì)》.從備課、研課、磨課到上課的一系列活動經(jīng)歷中，筆者受益匪淺.在備課的過程中，筆者認(rèn)真研讀了教材、教學(xué)參考書、課程標(biāo)準(zhǔn)等相關(guān)資料，結(jié)合自己對教材的分析和理解、對學(xué)生的了解以及教材大綱的要求，筆者有了自己的教學(xué)思路，設(shè)置了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：通過實(shí)驗(yàn)1對“筆尖上的點(diǎn)與硬紙片的位置關(guān)系”的分析，讓學(xué)生能夠判斷筆所在直線與硬紙片所在平面的位置關(guān)系，并歸納出公理1，通過實(shí)驗(yàn)2分析兩個矩形硬紙片的位置關(guān)系，讓學(xué)生根據(jù)平面的“無限延展性”，從看得見的“一個公共點(diǎn)”出發(fā)，找出兩個平面的其他公共點(diǎn)，進(jìn)而歸納出公理2，通過實(shí)驗(yàn)3對“保持硬紙板的穩(wěn)定性”的探究分析，讓學(xué)生能夠初步判定“不共線的三點(diǎn)可以確定一個平面”，歸納出公理3.

二、課堂實(shí)錄1

下面是第一次試講的兩個教學(xué)設(shè)計片段：

片段1：

師：工人師傅為了檢查桌面是否“平整”，常常將一把直尺靠放在桌面上，看直尺與桌面之間是否有空隙，你知道這是為什么嗎？

我們通過一個小實(shí)驗(yàn)來尋找木工師傅這么做的原理.

實(shí)驗(yàn)探究1：如果把硬紙片看作一個平面，把手中的筆看作一條直線的話.

（1）你能使筆上的一個點(diǎn)在平面內(nèi)，而其他的點(diǎn)不在平面內(nèi)嗎？

（2）你能使筆上的兩個點(diǎn)在平面內(nèi)，而其他的點(diǎn)不在平面內(nèi)嗎？

設(shè)計意圖 將筆抽象成一條直線，硬紙片抽象成一個平面，通過筆和硬紙片的位置關(guān)系直觀感受直線和平面的關(guān)系，降低公理學(xué)習(xí)的難度，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

師：這兩個問題以及它們的答案能告訴我們什么？

生：（預(yù)設(shè)）如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線就在這個平面內(nèi).

師：很好?。ò鍟?/p>

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi).

師：現(xiàn)在能解釋工人師傅那么做的理由了嗎？

生：（預(yù)設(shè)）如果桌面是平的，那么直尺（直尺所在直線上所有的點(diǎn)）就全部落在平面內(nèi)，不會有空出來的部分，有空隙就說明桌面是不平的.

師：說得很好.其實(shí)，這條性質(zhì)是通過直線的“直”來說明平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來說明平面的“無限延展”.

對于平面的“無限延展”，大家還可以思考這個問題：一個平面可以將空間分成兩個部分，若要從平面的一側(cè)到達(dá)另一側(cè)，能否繞過去？結(jié)論是不可能，只能穿過去.

那么平面的這條性質(zhì)還有哪些作用呢？

生：（預(yù)設(shè)）這條性質(zhì)為我們提供了判斷一條直線是否在平面內(nèi)的方法，同時也為我們在平面內(nèi)畫一條直線提供了理論依據(jù).

片段2：

師：我們知道，兩點(diǎn)可以確定一條直線，那么兩點(diǎn)可以確定一個平面嗎？多少個點(diǎn)可以確定一個平面呢？

師：這樣吧，我們動手來做一個數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，看看到底多少個點(diǎn)可以確定一個平面？

實(shí)驗(yàn)探究3：用你手中的筆尖，將一塊硬紙板穩(wěn)定在空中的某一個位置，使其保持水平平衡，你能做到嗎？請同學(xué)們動手做實(shí)驗(yàn)，相互討論交流，最后請學(xué)生代表分析并展示結(jié)果.

設(shè)計意圖：學(xué)生通過做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，（用筆尖將一塊硬紙板平衡在空間某一位置，至少需要幾支筆？）體會數(shù)學(xué)源于生活又高于生活，讓學(xué)生在操作、觀察中感悟確定一個平面的條件，學(xué)生間相互合作、相互提問，從感知到認(rèn)知到理解，層層深入，挖掘出公理3的真正內(nèi)涵.

師：請一名同學(xué)來談?wù)勀銈兊目捶?

生：（預(yù)設(shè)）至少需要三支筆才能將硬紙板穩(wěn)定在空中某一個位置，并且保持水平平衡.

師：如果把硬紙板看作一個平面，將筆尖看作一個點(diǎn)，能用一句話歸納你們的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：（預(yù)設(shè)）三點(diǎn)確定一個平面.

師：任意三點(diǎn)都可以確定一個平面嗎？

生：（預(yù)設(shè)）不是的，如果這三個點(diǎn)在同一條直線上就無法確定一個平面.（能舉個例子嗎？）比如，用兩個合頁可以將門軸固定，此時，經(jīng)過門軸所在直線的平面有無數(shù)多個，所以，門可以打開到任何一個位置，但是，再加一把鎖就將門固定住了，就是因?yàn)閮蓚€合頁、一把鎖可以看成是不共線的三個點(diǎn)，它們確定了一個平面，門就不好動了.

師：這名同學(xué)抓住了問題的本質(zhì)：三點(diǎn)不一定可以確定一個平面.那么，正確的表述應(yīng)該是什么呢？

生：（預(yù)設(shè)）經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有一個平面.

師：經(jīng)過不共線三點(diǎn)的平面有多少個呢？

生：（預(yù)設(shè)）只有一個.

師：很好?。ㄑa(bǔ)充規(guī)范并板書）

公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面.

師：過一點(diǎn)的平面有多少個？過兩點(diǎn)的呢？

過一點(diǎn)、兩點(diǎn)以及同一直線上的三點(diǎn)都可以有無數(shù)個平面，只有過不在同一條直線上的三點(diǎn)才有且只有一個平面，而四個（及以上的）點(diǎn)不一定在同一個平面內(nèi).

師：你能用這條性質(zhì)解釋生活中的一些現(xiàn)象嗎？

生：（預(yù)設(shè)）照相機(jī)支架只需要三條腿就夠了，自行車只要一個腳撐就能將車停穩(wěn).

師：這條性質(zhì)是確定平面的依據(jù)，其中“有且只有”的“有”是指平面存在，“只有一個”是指平面是唯一的.

三、教學(xué)思考

由于教學(xué)對象整體基礎(chǔ)一般，因此，課堂的實(shí)際生成與教學(xué)預(yù)設(shè)并不一致，導(dǎo)致教學(xué)效果并不理想.

在片段1中，首先，一些學(xué)生不會將“手中的筆看成一條直線”.對他們來說，“如果筆上有兩個點(diǎn)在平面內(nèi)”，那么還可以有無數(shù)個其他的點(diǎn)不在這個平面內(nèi)，因此，在實(shí)際教學(xué)中只能將公理1硬灌輸給學(xué)生，效果甚微，其次，學(xué)生的實(shí)際水平還達(dá)不到能夠用新學(xué)的公理1來解釋木工師傅檢查桌面是否平整的原理.

片段2的教學(xué)設(shè)計是一種比較理想的狀態(tài)，實(shí)際操作時卻出現(xiàn)了意想不到的狀況，一些學(xué)生會想辦法用一支筆的筆尖將硬紙板平衡在空中：由于硬紙板有一定的厚度，質(zhì)量分布相對均勻，因此，通過找到硬紙板的重心，將筆尖戳進(jìn)紙板就可以將硬紙板平衡在空中的某個位置了，這完全偏離了課堂的教學(xué)軌道，學(xué)生卻沾沾自喜.

（一）教學(xué)反思

課后筆者做了深刻的反思，并與同行教師做了交流探討，剖析這節(jié)課中存在的種種細(xì)節(jié)問題，試圖尋求更合理、更有效的教學(xué)方法，能夠讓學(xué)生真正理解平面的基本性質(zhì).

本節(jié)課的知識是立體幾何的邏輯起點(diǎn)，在教學(xué)設(shè)計中要體現(xiàn)立體幾何的整體意識，給學(xué)生足夠的時間去思考分析，針對學(xué)生的實(shí)際情況設(shè)計臺階，循循善誘，因人施教.因此，教學(xué)的落腳點(diǎn)不能僅定位于性質(zhì)的應(yīng)用，而應(yīng)借助平面基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)，滲透公理化思想，形成有理有據(jù)、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的學(xué)習(xí)態(tài)度.在此基礎(chǔ)上，筆者設(shè)計了有利于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)：（1）通過生活中熟悉的模型，提煉、抽象、概括出平面的描述性定義，（2）通過作圖活動“在平面內(nèi)畫一條直線”，能夠利用直線的“無限延伸”說明平面的“無限延展”，從而歸納出公理1，（3）通過作圖活動“用圖形表示空間當(dāng)中兩個不重合的平面”，從看得見的“一個公共點(diǎn)”出發(fā)，找出兩個平面的其他的公共點(diǎn)，進(jìn)而歸納出公理2，（4）通過觀察、猜想，感悟“不在同一條直線上的三點(diǎn)可以確定一個平面”，再通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，在合作學(xué)習(xí)和相互提問中從感知到認(rèn)知到理解，體會公理3的真正內(nèi)涵，（5）通過知識與能力的螺旋式上升，逐步理解文字語言與符號語言、圖形語言之間的一一對應(yīng)，建立和提升學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力，為知識的進(jìn)一步發(fā)生奠定生長點(diǎn).

（二）課堂實(shí)錄2

最后呈現(xiàn)出來的部分課堂實(shí)錄如下：

學(xué)生活動1：你認(rèn)為平面是什么樣的？請你用直尺和鉛筆在學(xué)案上畫一個平面.

設(shè)計意圖：學(xué)生對平面是有一些感覺的，只是很難用語言表示出來，這里筆者做了一個大膽的嘗試，根據(jù)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識的積累，給予學(xué)生足夠的時間來分析和思考問題，讓學(xué)生自己畫一個平面，提升直觀想象素養(yǎng).

學(xué)生活動2：請在你剛剛畫的平面內(nèi)畫一條直線.（學(xué)生畫圖，教師收集、展示.）

下面展示幾種學(xué)生具有代表性的作圖（圖3）：

問題1：怎樣說明你畫的直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)呢？

問題2：請歸納一下我們剛才的發(fā)現(xiàn)：

補(bǔ)充、規(guī)范得到公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi).

公理1實(shí)際上是用直線的無限延伸來說明平面的無限延展.

設(shè)計意圖：根據(jù)學(xué)生的作圖，以啟發(fā)式的語言展開師生之間的對話，展示學(xué)生的想法，在分析交流中一步步引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的語言和圖形來描述直線和平面，感知通過直線的“無限延伸”來說明平面的“無限延展”，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

公理1的符號語言：

根據(jù)公理1，我們可以判斷一條直線是否在一個平面內(nèi)，同時，我們也有了在一個平面內(nèi)畫一條直線的依據(jù)：只要有兩個點(diǎn)就可以了.

學(xué)生活動4：

（1）我們知道兩點(diǎn)可以確定一條直線，那么兩點(diǎn)可以確定一個平面嗎？

（2）多少個點(diǎn)可以確定一個平面？

（3）過任意的三點(diǎn)都有一個平面嗎？

（4）你能用一個例子來說明你的觀點(diǎn)嗎？

（5）經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)的平面有多少個？

（5）請用數(shù)學(xué)語言來描述剛才的發(fā)現(xiàn).

設(shè)計意圖：從學(xué)生熟悉的“兩點(diǎn)確定一條直線”出發(fā)，提問學(xué)生“兩點(diǎn)是否可以確定一個平面？”“多少個點(diǎn)可以確定一個平面？”等等.以問題串合理設(shè)計臺階，問題層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生一步一步深入思考，在師生、生生的對話交流間將問題層層剖析，既符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，又能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和興趣.

教師補(bǔ)充規(guī)范并板書：

公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面.

過一點(diǎn)的平面有多少個？過兩點(diǎn)的呢？

過一點(diǎn)、兩點(diǎn)以及同一直線上的三點(diǎn)都可以有無數(shù)個平面，只有過不在同一條直線上的三點(diǎn)才有且只有一個平面，而四個（及以上的）點(diǎn)不一定在同一個平面內(nèi).

你能用這條性質(zhì)解釋生活中的一些現(xiàn)象嗎？

這條性質(zhì)是確定平面的依據(jù)，其中“有且只有”的“有”是指平面存在，“只有一個”是指平面是唯一的.

四、寫在課后

基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，教學(xué)活動的設(shè)計要以學(xué)生為主體，要符合學(xué)生現(xiàn)有的知識水平、遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，否則，看似“理想”的教學(xué)設(shè)計在課堂上會遭到“破壞”.實(shí)踐表明，經(jīng)過重新設(shè)計的教學(xué)活動更加尊重學(xué)生的思維發(fā)展，更有利于學(xué)生形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，增強(qiáng)交流能力，學(xué)生在問題探究中領(lǐng)悟知識，形成能力，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題，直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，貫穿在整節(jié)課堂中，讓學(xué)生在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]羅增儒.基于核心素養(yǎng)的教學(xué)研修——在“核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展”（南京）會議上的發(fā)言（整理）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（9）：5-10.