初中數(shù)學(xué)因式分解解題技巧探究

吳向君

【摘 要】初中數(shù)學(xué)關(guān)于計算有多種優(yōu)秀的解題方式，如因式分解、配方法等。其中因式分解是具有技巧與實用特點的方法，也是考核學(xué)生能力的重要內(nèi)容。因式分解的靈活運用，有利于促進學(xué)生數(shù)學(xué)能力與思維的提升。本文主要研究因式分解，找尋其在解題過程中的特點與技巧。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);因式分解;解題技巧

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）28-0119-02

新課程教學(xué)標準明確指出，因式分解是鍛煉學(xué)生逆向思維與邏輯思維的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。但在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師更注重這一知識的理論教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生的應(yīng)用能力不強，教學(xué)效果不佳。所以新課程標準提出了淡化理論、提高實用的要求，以幫助學(xué)生快速掌握這一方法，提高解題能力。

1? ?因式分解的基本內(nèi)容

在研究因式分解時，首先需要明確因式分解的定義與要素。

1.1? 定義

因式分解，主要是指運用整式知識，將一個多項式轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄠€整式相乘的形式。這一知識是整個初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點，又因為因式分解的理論性過強，很多學(xué)生對學(xué)習(xí)這一知識有一定抵觸情緒。

1.2? 要素

運用因式分解時，要注意四點。第一，分解多項式時，最后的分解結(jié)果一定是整式。第二，分解后，各整式之間一定呈現(xiàn)乘積的形式。第三，最后建立的關(guān)系一定是等式關(guān)系。第四，因式分解是整式乘積的逆運算。因式分解要謹記這四點，才能保證其運算結(jié)果是正確的[1]。

2? ?因式分解常運用方法

2.1? 提取公因式法

因式分解最基本的方式就是提取公因式法。計算習(xí)題時，首先應(yīng)該考慮這一方法，提取其中的公因式，直接合并，從而解決問題。指導(dǎo)學(xué)生運用時，教師需要讓學(xué)生明確運用的基礎(chǔ)是乘法分配律，在計算時要清晰每一步的計算原理。運用這一方法主要分為以下幾步，首先需要找到多項式中的公因式，提出公因式，將提出后剩下的因式進行合并，最后化簡多項式[2]。

例1 分解以下兩個多項式。

、

解析：在第一個多項式中，其公因式較明顯，對比每一個同類項，找到公因式即可。首先，找到系數(shù)8和12的公因數(shù)為4，再觀察發(fā)現(xiàn)與的公因式為x，與的公因式為，最后可以得出其公因式為，最后將這個公因式提出即可。第二個多項式的公因式尋找較為困難，主要是其中多添加了與這兩項。通過前一個習(xí)題的研究，可以輕松提出部分公因式。對于與，可以進行簡單變化，將其變?yōu)橥讛?shù)的項。其中由于次冪為2，其底數(shù)不論為負數(shù)還是正數(shù)都是可以的，所以通過對底數(shù)添加一個負號將其變?yōu)?，兩者是相等的，進行比較與分析可以發(fā)現(xiàn)其中的同類項為，因此整個多項式的公因式為，最后提出公因式即可。

解題：

總結(jié)：這一習(xí)題出現(xiàn)的難點主要是對與的考查，由于兩者之間是相似的，所以需要進行簡化與統(tǒng)一，以解決問題。

例2 分解因式。

分析：初步分析會難以發(fā)現(xiàn)習(xí)題中四個項的關(guān)系，找不到其中的公因式，不能直接運用提取公因式的方法解決問題，所以需要整理多項式。運用加法交換律與結(jié)合律，與相結(jié)合得，同樣與ab也相結(jié)合得，這時可以輕松發(fā)現(xiàn)其中的公因式為，提出這個公因式即可解決問題。

解題：

總結(jié)：解題過程中會出現(xiàn)公因式不突出的現(xiàn)象，此時需要進行各項之間的整理與結(jié)合，從而找到公因式，解決問題。

2.2? 運用公式法

公式法也是解題常用的方法，但在運用中，所用的公式不同，其中主要是對于兩個乘法公式的運用，也就是平方差公式和平方公式，分別為、。對于這兩個公式的運用不僅是簡單直接的正向運用，也會適當逆向運用[3]。

平方差公式為，對這個公式探究發(fā)現(xiàn)以下幾個特點，首先，對于x與y，不僅僅只限制于數(shù)字，也可是整式。其次，等式的一側(cè)一定是整式或者數(shù)字的平方差，另一側(cè)必須具有這一特征。最后，對于常運用的數(shù)1到20的平方數(shù)，要讓學(xué)生牢記。

例3 分解以下兩個因式：，。

解析：第一個式子主要考查公式的逆向運用，所以可以將其中看為，同理，輕松運用逆向公式，可直接解決問題。第二個式子相比于第一個復(fù)雜一些，需要先將多項式整理為，然后結(jié)合第一個式子的分析方法，將其轉(zhuǎn)化，但轉(zhuǎn)化中因有更高的次冪，所以需要注意次冪的變化，最后再結(jié)合公式解決問題。

解題：

總結(jié)：觀察以上兩個式子，可以發(fā)現(xiàn)平方差公式的運用更加廣泛，且其中具有的變化特點更多，需要學(xué)生解題時具有更強的觀察能力，同時積累運算經(jīng)驗。

平方公式為，觀察其特點。第一，算式等號兩邊所具有的形式特點，左邊為兩個未知數(shù)或者整式相加減后的平方。第二，右邊為兩個未知數(shù)或者整式的平方和，再加上或減去兩倍的兩者乘積。第三，其中與可以為整式。

例4 分解因式。

分析：這一多項式具有一定的陷阱，其中在初次看到第一項為時，容易將其打開，造成問題更難解答。所以需要將其中看作一個整體，從而運用公式解答問題。

解題：

總結(jié)：因式分解時，要將看作一個整體，不要直接將其打開，否則會提高解題的難度。

2.3? 分組分解法

運用分組分解法主要是將公因式法與公式法兩者結(jié)合，所以解題中需要學(xué)生注意多項式的特點或者差異，從而選擇不同的解題方式。因此，針對于不同問題，需要學(xué)生做到具體問題具體分析，把握方法和習(xí)題所具有的特點。一般所運用的方法為二二分法和三一分法[4]。

例5 化簡多項式。

分析：觀察首項發(fā)現(xiàn)，這一習(xí)題可以運用平方公式，再結(jié)合習(xí)題中兩個平方項，可以直接整理習(xí)題，并運用公式解決問題。這一習(xí)題主要運用三一分法，二二分法的運用可參考例2。

解題：

總結(jié)：通過兩個例題的分析講解，可以發(fā)現(xiàn)，很多習(xí)題都有一定特點，結(jié)合這些特點整理多項式，再結(jié)合解題公式，就可以解決問題。

2.4? 十字相乘法

這一方法的運用主要是解答二次三項式，但在問題解答中，不同的方程有不同的解題方法，主要是二次項系數(shù)的不同，其可以分為系數(shù)為1和系數(shù)不為1兩種情況。

實際教學(xué)中，這兩部分內(nèi)容都有一定難度，導(dǎo)致學(xué)生在解答相似問題時，很難得到正確答案。所以教師講解時，對這一部分內(nèi)容，更多是讓學(xué)生將其作為理解內(nèi)容，并不要求學(xué)生完全掌握。十字相乘法主要運用的方程為，對于系數(shù)不為1的二次三項式，應(yīng)該首先將二次項的系數(shù)化為1，再運用公式解決問題。

綜上所述，要從分析因式分解的定義與要素出發(fā)，找尋題目的特點。解題過程中，主要有四種方法，分別為公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法。這四種方法主要涉及公式的運用，所以教師必須讓學(xué)生掌握扎實的基礎(chǔ)知識。只有夯實基礎(chǔ)，學(xué)生才能在解題時，有系統(tǒng)的認知，并選擇更正確的方式。

【參考文獻】

[1]王娟，李保臻.基于數(shù)學(xué)運算能力培養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2019（5）.

[2]張素紅.整合教材，問題引領(lǐng)，讓概念教學(xué)厚重而靈巧——以《多項式的因式分解》為例[J].數(shù)學(xué)之友，2019（4）.

[3]王娟，李保臻.基于數(shù)學(xué)運算能力培養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計研

究——以初中“因式分解”內(nèi)容為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2019

（4）.

[4]王玲玲.重視初中數(shù)學(xué)概念的生成過程——以“因式分解”的教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（6）.