關(guān)于數(shù)學(xué)教材中數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的研究

張玉環(huán)　姚丹

摘? ? 要：經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教材以問題為導(dǎo)向體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析的過程，以情境為依據(jù)體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析的難度，以統(tǒng)計(jì)知識(shí)體系承載數(shù)據(jù)分析的分布，借助數(shù)據(jù)挖掘提升數(shù)據(jù)收集的能力，利用統(tǒng)計(jì)思維的變異性培養(yǎng)批判性思維，借助演繹法與圖象法詮釋統(tǒng)計(jì)語言，利用教材體系設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)問題體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析的反思過程，利用情境、問題與信息技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)分析交流.這對(duì)我國(guó)高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教材在培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)方面提供了借鑒.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教材;數(shù)據(jù)分析;核心素養(yǎng)

2014年3月，教育部印發(fā)《關(guān)于全面深化課程改革 落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》，“核心素養(yǎng)”被置于課程改革、落實(shí)立德樹人目標(biāo)的基礎(chǔ)地位.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2017年版課標(biāo)”）在課程基本理念、課程目標(biāo)、課程結(jié)構(gòu)、學(xué)業(yè)質(zhì)量、實(shí)施建議等方面增加了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容.數(shù)據(jù)分析是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的素養(yǎng)[1].已有文獻(xiàn)主要從教師與學(xué)生的角度對(duì)數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)進(jìn)行研究，但教材對(duì)數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的落實(shí)與培養(yǎng)起著十分重要的作用，故有必要對(duì)教材中關(guān)于數(shù)據(jù)分析的內(nèi)容結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)加以研究.

他山之石，可以攻玉.我們可以借鑒國(guó)際上其他國(guó)家的教材對(duì)數(shù)據(jù)分析進(jìn)行處理.南非與其他非洲國(guó)家相比，不僅經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)，教育水平在非洲國(guó)家名列前茅，而且南非2006年在高中階段全面啟動(dòng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)課程，以提高公民解決現(xiàn)實(shí)問題的能力.因此，選擇“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)為研究對(duì)象，以南非Siyavula出版的高中教材（欲了解詳細(xì)的教材內(nèi)容請(qǐng)?jiān)L問www.everythingmaths.co.za）統(tǒng)計(jì)內(nèi)容為研究載體，從數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的問題與情境、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、反思與交流這四個(gè)維度，分析南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教材的設(shè)計(jì)特征，為中國(guó)高中統(tǒng)計(jì)教材的編寫提供參考.

一、基于數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的教材設(shè)計(jì)分析

（一）問題與情境

1.以問題為導(dǎo)向體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析的過程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，既是數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成發(fā)展的過程，又是發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學(xué)問題的過程.數(shù)學(xué)問題貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，對(duì)數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成具有引導(dǎo)作用，在一定程度上反映了教材對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的期望發(fā)展方向和預(yù)測(cè)形成目標(biāo).統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)，應(yīng)借助具體的案例讓學(xué)生參與數(shù)據(jù)分析的全過程，通過數(shù)學(xué)問題對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考方式進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，確保數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)正確形成或進(jìn)一步發(fā)展（見案例1）.

案例1? ?一位心臟病專家想測(cè)試靜息心率和運(yùn)動(dòng)時(shí)的峰值心率之間的關(guān)系.12名參與者在10千米/小時(shí)的跑步機(jī)上跑了10分鐘.問1：以靜息心率為x變量繪制數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;問2：使用計(jì)算器確定最佳擬合直線的方程;問3：估計(jì)靜息心率為70bpm的人在鍛煉后的心率;問4：不用計(jì)算器找到相關(guān)系數(shù)r，用計(jì)算器確認(rèn)答案;問5：關(guān)于靜息心率和運(yùn)動(dòng)后心率之間的關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？

案例1中數(shù)學(xué)問題的設(shè)置除未體現(xiàn)收集數(shù)據(jù)過程，其他數(shù)據(jù)分析的主要過程全部體現(xiàn).此外，問題中體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析主要過程的順序也遵從學(xué)生分析數(shù)據(jù)的順序，即給出了對(duì)含有兩個(gè)變量的給定數(shù)據(jù)情境進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的一般步驟為：第一，依據(jù)已知的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖;第二，選擇合適的曲線擬合;第三，計(jì)算曲線擬合的相關(guān)系數(shù);第四，通過內(nèi)插或外推進(jìn)行統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè);第五，用統(tǒng)計(jì)語言表達(dá)情境中蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.

2.以情境為依托體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析的難度

數(shù)據(jù)主要來源于客觀現(xiàn)實(shí)世界，任何數(shù)據(jù)不僅僅是包含數(shù)量、文字、符號(hào)、圖形等抽象信息，必然還包含了與現(xiàn)實(shí)情境有關(guān)的背景信息，這些背景信息中的人或事物就構(gòu)成了數(shù)據(jù)的情境.鑒于數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與情境的高度依賴性，有必要對(duì)南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教材的情境進(jìn)行分析研究.南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教材的情境運(yùn)用水平不高，創(chuàng)設(shè)的情境多是熟悉的生活情境，諸如學(xué)校、超市、商店、公共交通等，涉及科學(xué)情境的題目較少，即自然界或是科學(xué)技術(shù)中的問題（綜合情境）較少.

（二）知識(shí)與技能

1.以統(tǒng)計(jì)知識(shí)體系承載數(shù)據(jù)分析的分布

南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容分布在10、11、12年級(jí)的教材中.統(tǒng)計(jì)內(nèi)容主線為：數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)分析、構(gòu)建模型、進(jìn)行推斷，涵蓋了數(shù)據(jù)分析的主要過程，形成了較為完善的統(tǒng)計(jì)知識(shí)體系.進(jìn)一步，通過具體的數(shù)據(jù)精確地反映南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教材的完善性，將教材中知識(shí)點(diǎn)數(shù)量作為衡量教材廣度的指標(biāo)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果為：南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的廣度為67;依據(jù)2017年版課標(biāo)對(duì)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的要求，估算中國(guó)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的廣度為27，即南非統(tǒng)計(jì)內(nèi)容更廣.

南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容知識(shí)體系的完善性承載了數(shù)據(jù)分析知識(shí)的完善性，而數(shù)據(jù)分析知識(shí)的完善性體現(xiàn)在對(duì)樣本離散程度的數(shù)字量化和借助統(tǒng)計(jì)圖表可視化的有關(guān)知識(shí)的完善.

2.借助數(shù)據(jù)挖掘提升數(shù)據(jù)收集的能力

數(shù)據(jù)挖掘是從大量、不完全、有干擾、模糊、隨機(jī)的數(shù)據(jù)中提取隱含在其中、人們事先不知道但又是潛在有用的信息和知識(shí)的過程.

南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容中涉及的異常值與極端數(shù)是對(duì)樣本的預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生影響的錯(cuò)誤數(shù)據(jù)值，屬于數(shù)據(jù)挖掘知識(shí).因此，學(xué)會(huì)排除干擾數(shù)據(jù)的影響是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)挖掘能力的關(guān)鍵.挖掘數(shù)據(jù)不僅要求排除干擾數(shù)據(jù)，還需要學(xué)會(huì)挖掘隱形的數(shù)據(jù)信息.

（三）思維與表達(dá)

1.利用統(tǒng)計(jì)思維的變異性培養(yǎng)批判性思維

高中數(shù)學(xué)課程依賴統(tǒng)計(jì)思維生成數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)，2017年版課標(biāo)在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)水平二的表現(xiàn)中也提到“能夠用統(tǒng)計(jì)或概率的思維來分析隨機(jī)現(xiàn)象”.Moore曾說：“變異是統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，沒有它統(tǒng)計(jì)學(xué)將不會(huì)存在.”變異性的產(chǎn)生主要與數(shù)據(jù)、隨機(jī)性有關(guān)，而統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的變異性主要來自于數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)思維的變異性主要體現(xiàn)在數(shù)據(jù)收集與數(shù)據(jù)分析兩個(gè)方面（比如案例2）.

案例2? ?測(cè)量10個(gè)學(xué)習(xí)者的身高，隨后又增加了一個(gè)身高為181厘米的學(xué)習(xí)者.比較增加第11個(gè)學(xué)習(xí)者前后學(xué)習(xí)者身高的平均值和中位數(shù).

案例2通過增添數(shù)據(jù)改變數(shù)據(jù)集使數(shù)據(jù)分析后樣本的數(shù)字特征發(fā)生了改變，表明對(duì)同一事件的分析會(huì)由于樣本數(shù)據(jù)的不同而得到不同的推論預(yù)測(cè)，是統(tǒng)計(jì)思維的變異性在數(shù)據(jù)收集上的體現(xiàn).

理解統(tǒng)計(jì)思維的變異性，從而接受統(tǒng)計(jì)推斷的差異，不僅使學(xué)生感悟確定性思維與統(tǒng)計(jì)思維的區(qū)別，也是發(fā)展學(xué)生批判性思維的一個(gè)途徑，并進(jìn)一步借助批判性思維培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

2.借助演繹法與圖象法詮釋統(tǒng)計(jì)語言

表達(dá)是用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)，對(duì)于數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)就是統(tǒng)計(jì)圖表與統(tǒng)計(jì)語言的表達(dá).南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教材的統(tǒng)計(jì)圖表涉及直方圖、頻數(shù)分布折線圖、盒式圖等，統(tǒng)計(jì)語言包括定性數(shù)據(jù)、定量數(shù)據(jù)、均值、眾數(shù)等.

南非教材中“p分位數(shù)”這個(gè)概念的給出是演繹的過程，是基于演繹法表達(dá)統(tǒng)計(jì)語言.

（四）反思與交流

1.利用教材體系設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)問題體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析的反思過程

南非課程標(biāo)準(zhǔn)在對(duì)教材的編寫建議中，明確強(qiáng)調(diào)復(fù)習(xí)回顧的重要性，除了在教材的體系設(shè)計(jì)上體現(xiàn)反思，南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教材的例題和習(xí)題中也注重培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣.比如利用信息技術(shù)對(duì)學(xué)生所求答案的檢查驗(yàn)證，反思計(jì)算結(jié)果是否正確.一方面，學(xué)生只有養(yǎng)成反思的習(xí)慣，才會(huì)在解決問題后主動(dòng)地判斷步驟的正確性，亦是反思解題錯(cuò)誤的原因，這個(gè)過程是學(xué)生對(duì)自我的一種批判，也是批判性思維形成的一個(gè)契機(jī).另一方面，教材無形地滲透反思思想，學(xué)生內(nèi)化為反思習(xí)慣，不僅在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面，甚至在各個(gè)方面的學(xué)習(xí)以及為人處事上都受益匪淺，真正體現(xiàn)了核心素養(yǎng)的育人價(jià)值.

2.利用情境、問題與信息技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)分析交流

交流包括師生交流、生生交流、人機(jī)交流，與教學(xué)方式、情境創(chuàng)設(shè)以及數(shù)學(xué)問題的提出有關(guān).教材中影響交流的因素有情境創(chuàng)設(shè)與數(shù)學(xué)問題.參與度高、體驗(yàn)感強(qiáng)的情境會(huì)激發(fā)學(xué)生交流的興趣.南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教材為讓學(xué)生理解“標(biāo)準(zhǔn)差是刻畫數(shù)據(jù)穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)量”這一概念，創(chuàng)設(shè)了加油站汽油價(jià)格情境，讓學(xué)生通過計(jì)算平均值、標(biāo)準(zhǔn)差判斷哪個(gè)城市汽油價(jià)格更穩(wěn)定.通過題目輔以可接觸、參與的現(xiàn)實(shí)情境，學(xué)生借以生活常識(shí)，討論交流得出結(jié)論.

開放性的數(shù)學(xué)問題更容易引發(fā)學(xué)生進(jìn)行交流討論.設(shè)疑是教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)提出問題、交流解決問題，質(zhì)疑是學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)提出問題、交流解決問題.在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程中，統(tǒng)計(jì)思維的變異性導(dǎo)致問題的開放性，開放性問題答案的不確定性引起學(xué)生的質(zhì)疑，從而引導(dǎo)學(xué)生討論交流，形成交流的習(xí)慣.

二、思考與啟示

基于數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教材的分析不僅對(duì)統(tǒng)計(jì)教材的編寫提供建議，而且對(duì)落實(shí)數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)具有重大意義.關(guān)于南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教材的研究，對(duì)中國(guó)高中統(tǒng)計(jì)教材設(shè)計(jì)有以下啟示.

（一）適當(dāng)增加開放性的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

常規(guī)封閉習(xí)題的已知和結(jié)論都有確定要求.已知開放的數(shù)學(xué)問題是諸如“計(jì)算你所在班級(jí)的平均身高”之類的問題，已知開放的數(shù)學(xué)問題要求學(xué)生挖掘有用或隱性信息，可以提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力;結(jié)論開放的數(shù)學(xué)問題是諸如“你還能得出什么結(jié)論？”之類的問題，結(jié)論開放的數(shù)學(xué)問題一方面可以促進(jìn)學(xué)生的討論交流，滲透批判思想，另一方面可以提升教材的數(shù)據(jù)分析水平，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).數(shù)學(xué)問題的開放程度對(duì)學(xué)生可容納的思維活動(dòng)空間有一定的影響，開放程度越大，可容納的思維活動(dòng)空間越大，創(chuàng)新便由此產(chǎn)生.

（二）滲透統(tǒng)計(jì)思維的變異性，促進(jìn)批判性思維的形成

統(tǒng)計(jì)中的變異性無處不在，體現(xiàn)在數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)分析等環(huán)節(jié)中，教材的編寫中要有所體現(xiàn)，教師在統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的講解過程中更要處處滲透變異思想.分析數(shù)據(jù)的變化，理解其中的變異性，做出統(tǒng)計(jì)推斷，這是發(fā)展學(xué)生批判性思維的階梯.培養(yǎng)批判性思維是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的本質(zhì)要求.對(duì)數(shù)據(jù)分析結(jié)果的思考、質(zhì)疑、批判，奠定大數(shù)據(jù)公民批判能力、創(chuàng)新能力、問題解決能力、自我反省能力的基礎(chǔ)[2].

（三）重視統(tǒng)計(jì)語言的直觀化，提供易理解的統(tǒng)計(jì)語言

統(tǒng)計(jì)語言是數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).用統(tǒng)計(jì)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的前提是從本質(zhì)上理解統(tǒng)計(jì)語言.但統(tǒng)計(jì)語言由于太過概括、專業(yè)的特點(diǎn)而不易理解，需要教材更加直觀地進(jìn)行解釋.南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教材中的統(tǒng)計(jì)語言或是通過創(chuàng)設(shè)情境了解統(tǒng)計(jì)語言的現(xiàn)實(shí)意義，或是通過演繹的方法給出，或是通過圖表直觀給出.中國(guó)統(tǒng)計(jì)教材可以選擇借鑒適當(dāng)?shù)姆椒ǎ档蛯W(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)語言的學(xué)習(xí)難度，提供易理解的統(tǒng)計(jì)語言.

（四）增加綜合情境，加大數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系

綜合情境屬于數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的最高水平，增加教材中綜合情境的占比，可以從增加數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系入手，增加諸如醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)、生物統(tǒng)計(jì)、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)、管理統(tǒng)計(jì)、工程統(tǒng)計(jì)等等之類的題目.情境的話題、成分、結(jié)構(gòu)、表征形式、信息容量、開放程度、可容納的思維活動(dòng)空間等都會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)產(chǎn)生密切影響，考慮從上述方面提升統(tǒng)計(jì)教材的數(shù)據(jù)分析水平.

（五）注重反思，體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)形成的連續(xù)性

反思是以一種審慎、吸收與批判的態(tài)度思考自己的行為、策略等，促進(jìn)自身發(fā)展.南非高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教材中反思的途徑有兩種：在教材體系中通過復(fù)習(xí)回顧滲透反思;在解題過程中通過數(shù)學(xué)問題滲透反思.教材體系中的反思可以調(diào)整學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以促使學(xué)生形成一個(gè)系統(tǒng)性強(qiáng)、相互聯(lián)系的知識(shí)系統(tǒng)，體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)在內(nèi)容上的連續(xù)性;然后，在解題過程中進(jìn)行反思還可以優(yōu)化調(diào)整學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

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