基于知識(shí)圖譜的中考數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)

應(yīng)佳成

摘? ? 要：針對(duì)教育部關(guān)于“取消初中學(xué)業(yè)水平考試大綱，嚴(yán)格依據(jù)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)命題，不得超標(biāo)命題”的要求，在中考數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)中，教師可以利用單元知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)建原理、單元知識(shí)目標(biāo)譜的分解原理，以“圖”為綱，以“譜”為目，綱舉目張深度解讀課標(biāo)，優(yōu)化中考復(fù)習(xí)范式，提升學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)本質(zhì)的理解，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)圖;目標(biāo)譜;單元復(fù)習(xí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱課標(biāo)）是現(xiàn)行義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)，以往由于地方考綱的存在，教、學(xué)、評(píng)各方對(duì)課標(biāo)的理解往往是通過考綱的折射來體現(xiàn).2019年12月，教育部發(fā)文要求“取消初中學(xué)業(yè)水平考試大綱，嚴(yán)格依據(jù)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)命題，不得超標(biāo)命題”.教、學(xué)、評(píng)各方的目光重新聚焦于課程標(biāo)準(zhǔn)，但是課標(biāo)對(duì)教學(xué)僅做單元規(guī)劃，具體到操作層面，需要明確以下問題：?jiǎn)卧獌?nèi)具體知識(shí)之間有何關(guān)聯(lián)？如何將單元內(nèi)容準(zhǔn)確分解為具體知識(shí)點(diǎn)？分解后的知識(shí)點(diǎn)需要達(dá)成何種水平？如果對(duì)課標(biāo)理解不一致，可能會(huì)導(dǎo)致對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的把握發(fā)生偏差，增加復(fù)習(xí)成本，加重課業(yè)負(fù)擔(dān).因此，對(duì)課標(biāo)的深度理解成為當(dāng)下共同關(guān)切的核心問題.

以構(gòu)建“單元知識(shí)結(jié)構(gòu)圖”和“單元知識(shí)目標(biāo)譜”來解讀課標(biāo)，是一種創(chuàng)新解決方案.筆者以“三角形（初步認(rèn)識(shí)）”單元復(fù)習(xí)為例，展開具體闡述.

一、用結(jié)構(gòu)圖解讀單元邏輯關(guān)系

結(jié)構(gòu)圖是以系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)知識(shí)為依托，以邏輯關(guān)系為線索，并基于可視化需要所構(gòu)建的單元知識(shí)整體框架，對(duì)單元知識(shí)的學(xué)習(xí)起到宏觀指導(dǎo)作用.

結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)建需要經(jīng)歷三個(gè)層次：依據(jù)知識(shí)的整體性研究課標(biāo)要求、依據(jù)知識(shí)的研究方式確定復(fù)習(xí)邏輯、依據(jù)知識(shí)蘊(yùn)含的思想方法構(gòu)建結(jié)構(gòu)圖.具體操作步驟如下.

第一步：研究課標(biāo)要求

構(gòu)建結(jié)構(gòu)圖之前需要依據(jù)課標(biāo)研究單元內(nèi)容分布，并從數(shù)學(xué)的整體性視角挖掘分析這些內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，對(duì)內(nèi)容蘊(yùn)含的學(xué)習(xí)重難點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法、學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行全面分析，才能構(gòu)建出整體思路，確定出復(fù)習(xí)方向.“三角形（初步認(rèn)識(shí)）”的內(nèi)容，課標(biāo)中相應(yīng)要求處于“圖形與幾何→（一）圖形的性質(zhì)”板塊，涉及2個(gè)條目的內(nèi)容（詳見表1）.

表1

[單元 條目 內(nèi)容 3三角形

（初步認(rèn)識(shí)） 2條 （1）理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性

（2）探索并證明三角形的內(nèi)角和定理.掌握它的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊 ]

從表1可以看到，三角形（初步認(rèn)識(shí)）聚焦概念、要素、相關(guān)要素等知識(shí)內(nèi)容的研究.由于三角形是最主要的幾何圖形，三角形的性質(zhì)是研究其他幾何圖形的基礎(chǔ)，而且三角形的研究?jī)?nèi)容、路徑、過程和方法具有一般意義，其中的數(shù)學(xué)思想方法具有普適性，因此對(duì)三角形概念及性質(zhì)的復(fù)習(xí)是單元復(fù)習(xí)的重點(diǎn).

第二步：確定復(fù)習(xí)邏輯

從課標(biāo)編排看，三角形（初步認(rèn)識(shí)）的內(nèi)容處在“圖形的性質(zhì)”板塊.從本質(zhì)上看，在任何一塊知識(shí)的學(xué)習(xí)和整理過程中，概念都是首要的，概念中蘊(yùn)含著研究對(duì)象的性質(zhì).基于幾何研究邏輯，還需要區(qū)分清楚哪些性質(zhì)與圖形的要素有關(guān)，哪些性質(zhì)與圖形的相關(guān)要素有關(guān).因此要將三角形復(fù)習(xí)的邏輯確定下來：三角形概念（定義、表示、分類）是起點(diǎn)，性質(zhì)的復(fù)習(xí)依據(jù)基本要素（邊、角）和相關(guān)要素（高線、中線、角平分線、外角）進(jìn)行劃分.三角形基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)邏輯就此確定.

第三步：構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

基于以上對(duì)三角形（初步認(rèn)識(shí)）學(xué)習(xí)內(nèi)容和復(fù)習(xí)邏輯的分析，整理出內(nèi)容板塊之間的架構(gòu)：將三角形（初步認(rèn)識(shí)）單元內(nèi)容分解成概念、要素、相關(guān)要素三個(gè)小板塊，用復(fù)習(xí)邏輯和思想方法對(duì)三個(gè)小板塊加以關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步構(gòu)建、繪制和顯示板塊間的相互聯(lián)系，整合成一個(gè)單元，用框圖形式直觀呈現(xiàn)，獲得如圖1的單元整體結(jié)構(gòu)圖.

圖 1

結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)建以知識(shí)為內(nèi)容，以數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯為發(fā)展脈絡(luò)，以思想方法為統(tǒng)領(lǐng).這樣的結(jié)構(gòu)圖知識(shí)點(diǎn)清晰，邏輯關(guān)系明確，各部分以合理（有序）的結(jié)構(gòu)形成整體，整體功能大于各個(gè)部分功能之和.

二、用目標(biāo)譜制定單元目標(biāo)執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)

從操作層面看，結(jié)構(gòu)圖有利于整體把握關(guān)鍵內(nèi)容和結(jié)構(gòu)體系，但每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)要求是什么？需要達(dá)成何種水平？學(xué)習(xí)目標(biāo)如何定位？評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是什么？這些問題在結(jié)構(gòu)圖中難以直觀反映出來.因此，結(jié)構(gòu)圖需要有具體內(nèi)容的細(xì)化補(bǔ)充，需要對(duì)具體知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行精確分解（目標(biāo)分解），需要對(duì)知識(shí)內(nèi)容做出明確達(dá)成度要求（標(biāo)定水平），需要為教、學(xué)、評(píng)三方提供明確的操作標(biāo)準(zhǔn)，知識(shí)點(diǎn)目標(biāo)應(yīng)運(yùn)而生.

目標(biāo)譜是對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的補(bǔ)充和詳解，是“具體化”“可操作”“可檢測(cè)”的單元目標(biāo)執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn).與圖的制作相呼應(yīng)，目標(biāo)譜的構(gòu)建需要經(jīng)歷三個(gè)層次：獲取目標(biāo)內(nèi)容、標(biāo)定目標(biāo)水平、制作目標(biāo)譜.具體操作步驟如下.

第一步：獲取目標(biāo)內(nèi)容

從具體操作看目標(biāo)分解，需要對(duì)單元目標(biāo)進(jìn)行更為具體、更為詳細(xì)的描述，需要明確學(xué)生會(huì)進(jìn)行哪些判斷，會(huì)做哪些事，掌握哪些技能，會(huì)分析解決什么問題等等，使得知識(shí)點(diǎn)目標(biāo)“具體化”“可操作”“可檢測(cè)”.分解得到的知識(shí)點(diǎn)目標(biāo)就是復(fù)習(xí)指標(biāo)，直接指向?qū)W生初中學(xué)業(yè)完成后需要達(dá)成的結(jié)果.

比如課標(biāo)中對(duì)“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”這一定理明確了目標(biāo)要求，其中蘊(yùn)含著四方面的具體要求：“畫三角形的外角、識(shí)別三角形的外角、用符號(hào)語言表述三角形外角定理、用‘三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和定理解決問題”等.通過分解，將一條幾何定理拆分成四條具體要求，涵蓋了幾何定理學(xué)習(xí)過程中圖形、符號(hào)、邏輯推理等各個(gè)環(huán)節(jié)的要求，知識(shí)目標(biāo)一目了然.

第二步：標(biāo)定目標(biāo)水平

精準(zhǔn)分解并制定知識(shí)目標(biāo)，還需要對(duì)目標(biāo)達(dá)成水平做出明確界定，因此讀懂課標(biāo)里的目標(biāo)水平是關(guān)鍵技術(shù).課標(biāo)對(duì)目標(biāo)達(dá)成水平用了解、理解和掌握三個(gè)層次加以規(guī)定.課標(biāo)中對(duì)這三個(gè)水平的基本含義解釋見表2.

表2

[目標(biāo)領(lǐng)域 水平 基本含義 結(jié)果目標(biāo) 了解（模仿） 從具體實(shí)例中知道或舉例說明對(duì)象的有關(guān)特征;根據(jù)對(duì)象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說明對(duì)象 理解（獨(dú)立操作） 描述對(duì)象的特征和由來，闡述此對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系 掌握（應(yīng)用，遷移） 在理解的基礎(chǔ)上，把對(duì)象用于新的情境 ]

課標(biāo)中還提供了與上述術(shù)語同等水平的替換詞匯（詳見表3）.

表3

[水平

要求 課標(biāo)提供的同類詞 課標(biāo)提供的示例 了解 知道，

初步認(rèn)識(shí) 知道三角形的內(nèi)心和外心;

能結(jié)合具體情境初步認(rèn)識(shí)小數(shù)和分?jǐn)?shù) 理解 會(huì) 認(rèn)識(shí)三角形;會(huì)用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖 掌握 能 能認(rèn)、讀、寫萬以內(nèi)的數(shù)，能用數(shù)表示物體的個(gè)數(shù)或事物的順序和位置 ]

在具體分解的過程中，由于操作方式的不同，需要用到“能說出、能畫出、能運(yùn)用、能證明”等具體操作方式，類似的操作方式還有很多，表3的可替換行為動(dòng)詞詳解是課程標(biāo)準(zhǔn)提供的，便于教師、學(xué)生準(zhǔn)確把握知識(shí)點(diǎn)的要求.

“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”這一定理課標(biāo)要求，在準(zhǔn)確分解并標(biāo)定水平后的具體執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)見圖2.

圖2

第三步：制作目標(biāo)譜

目標(biāo)譜的制作可以真正在目標(biāo)體系層面系統(tǒng)地解決教、學(xué)、評(píng)一致性的問題.在制作的過程中注意不重復(fù)不遺漏，覆蓋全部知識(shí)點(diǎn);知識(shí)點(diǎn)既獨(dú)立可測(cè)又要相互關(guān)聯(lián)，形成既松散又有機(jī)關(guān)聯(lián)的整體，保持思想方法的一致性，這些源于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的理解.表4是三角形（初步認(rèn)識(shí)）單元的知識(shí)譜.與圖1相呼應(yīng)，一圖一譜，完成了對(duì)課標(biāo)“圖形與幾何→（一）圖形的性質(zhì)→三角形（初步知識(shí)）”的完整解讀.

表4

[知識(shí)點(diǎn)名稱 單元目標(biāo)描述 知識(shí)點(diǎn)目標(biāo) 水平 三角形的概念 理解三角形概念 1.理解三角形的概念，會(huì)用符號(hào)表示三角形及其組成元素 水平一 2.能對(duì)三角形進(jìn)行分類 水平二 三角形的基本要素 理解“三角形任何兩邊的和大于第三邊”的性質(zhì) 能用有關(guān)基本事實(shí)證明三角形兩邊之和大于第三邊，并用于解決有關(guān)問題（①如判斷給定的三條線段能否構(gòu)成三角形;②已知三角形兩條邊的長度求第三條邊的取值范圍等） 水平三 探索并證明三角形的內(nèi)角和定理 1.能識(shí)別三角形的內(nèi)角 水平一 2.能用幾何推理的方式證明三角形內(nèi)角和定理 水平三 3.能用符號(hào)語言表述三角形內(nèi)角和定理 水平二 4.能用三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單問題 水平三 三角形的相關(guān)要素 理解三角形的中線、高線、角平分線等概念 1.能說出三角形的高線、中線、角平分線的概念 水平一 2.知道三角形三條高所在直線交于一點(diǎn)，三條中線交于一點(diǎn)，三條角平分線交于一點(diǎn) 水平二 3.能用三角形的高線、中線、角平分線的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問題 水平三 掌握：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 1.能畫出三角形的外角 水平二 2.能在圖形中識(shí)別出三角形的外角 水平一 3.能用符號(hào)語言表述三角形外角定理 水平二 4.能用“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”定理解決問題 水平三 ]

知識(shí)點(diǎn)目標(biāo)的分解是綜合考慮單元教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)及學(xué)情的結(jié)果，這些目標(biāo)用“譜”的形式呈現(xiàn)：“譜”中的“知識(shí)點(diǎn)目標(biāo)”是單元目標(biāo)的分解，可以使教師備課和制作質(zhì)量檢測(cè)工具具有高度的一致性，更可以使中考復(fù)習(xí)方式具有“可復(fù)制”性，為區(qū)域教學(xué)質(zhì)量獲得保障提供可能.

從 “結(jié)構(gòu)圖”和“目標(biāo)譜”可以看出它們之間具有如下關(guān)系：“圖”宏觀引領(lǐng)教學(xué)，可以使中考復(fù)習(xí)的整體結(jié)構(gòu)清晰明了;“譜”精準(zhǔn)分解知識(shí)目標(biāo)，可以使復(fù)習(xí)靶向?qū)嵤?“圖”育“譜”，“譜”釋“圖”，“圖”為綱，“譜”為目，綱舉目張，有效實(shí)施教學(xué)和精準(zhǔn)復(fù)習(xí)，使時(shí)間效率最大化，復(fù)習(xí)成果最優(yōu)化.

以結(jié)構(gòu)圖和目標(biāo)譜對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行深度解讀，是基于教、學(xué)、評(píng)一致性原理，為教、學(xué)、評(píng)一體化提供共同的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)，不但有效解決取消考綱后對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行準(zhǔn)確解讀的需求，更是落實(shí)核心素養(yǎng)的一種創(chuàng)新操作途徑.從課程標(biāo)準(zhǔn)中分解出教學(xué)目標(biāo)圖譜為教、學(xué)、評(píng)各方達(dá)成一致提供頂層引領(lǐng)，可以有效解決由于理解課標(biāo)不到位可能產(chǎn)生的偏差、不對(duì)標(biāo)甚至不公平等現(xiàn)象.

以結(jié)構(gòu)圖和目標(biāo)譜為引領(lǐng)進(jìn)行中考復(fù)習(xí)的操作模式可復(fù)制、易理解、易推廣、易操作，這是改變復(fù)習(xí)范式的先決條件.在圖和譜統(tǒng)領(lǐng)下的中考復(fù)習(xí)，是基于廣泛需求的水到渠成的復(fù)習(xí)范式創(chuàng)新.這樣的復(fù)習(xí)方式以目標(biāo)譜為基本驗(yàn)收標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)，同時(shí)可以借助目標(biāo)譜對(duì)所有知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行基礎(chǔ)排查，對(duì)已經(jīng)達(dá)成的目標(biāo)不再浪費(fèi)時(shí)間增加負(fù)擔(dān)，將精力聚焦于目標(biāo)達(dá)成存在困難的且具有共性的問題上，有針對(duì)性地突破難點(diǎn)，使復(fù)習(xí)更加精準(zhǔn)高效.