對(duì)“切線法”證明不等式的一種新拓展

儲(chǔ)百六

(安徽省岳西中學(xué) 246600)

定理1(1)若f(x)在區(qū)間D上二階可導(dǎo),且f″(x)>0，則對(duì)任意x,x0∈D，有f(x)≥f′(x0)(x-x0)+f(x0)；

(2)若f(x)在區(qū)間D上二階可導(dǎo),且f″(x)<0，則對(duì)任意x,x0∈D，有f(x)≤f′(x0)(x-x0)+f(x0).

該結(jié)論較為常見(jiàn)，故將證明略去.

注(1)(2)的幾何意義是凸(凹)函數(shù)的圖像在其切線的上(下)方.

證明(1)因?yàn)閒(x)為凸函數(shù)，由定理1知，對(duì)任意xi,yi∈D，有

f(xi)≥f′(yi)(xi-yi)+f(yi)，

于是aif(xi)≥aif′(yi)(xi-yi)+aif(yi)，

將這n個(gè)式子累加可得

(2)可類(lèi)似證明凹函數(shù)的情況，此處略.

下面舉例來(lái)說(shuō)明這種方法，相信讀者能從中得到啟發(fā).

證明令f(x)=xn，當(dāng)n<0或n>1時(shí)，

因?yàn)閒″(x)=n(n-1)xn-2>0，

于是f(x)在(0,+∞)上為凸函數(shù)，

依照定理2，下面尋找一組正數(shù)yi，

當(dāng)01時(shí)相類(lèi)似，此處略.

注例1與郭要紅老師在文[3]中用H?lder不等式得到的推廣3結(jié)果一致.

例2設(shè)x,y,z均為正實(shí)數(shù)，k0為方程2xyzk3+(x2y2+y2z2+z2x2)k2-x2y2z2=0的正根，則對(duì)于任意△ABC，有

xsinA+ysinB+zsinC

證明令f(x)=sinx,x∈(0,π)，

因?yàn)閒″(x)=-sinx<0,

由定理1可知對(duì)X,Ai∈(0,π),

sinx≤cosAi(X-Ai)+sinAi，

所以xsinA≤xcosA1(A-A1)+xsinA1，

ysinB≤ycosB1(B-B1)+ysinB1，

zsinC≤zcosC1(C-C1)+zsinC1；

令xcosA1=ycosB1=zcosC1=k0且

A+B+C=A1+B1+C1=π，

由三角形中熟知的恒等式

cos2A1+cos2B1+cos2C1+2cosA1cosB1cosC1=1

令g(k)=2xyzk3+(x2y2+y2z2+z2x2)k2-x2y2z2，

顯然g(k)在(0,+∞)上為增函數(shù)，

又g(0)=-x2y2z2<0，

g(x),g(y),g(z)均大于0，

由零點(diǎn)定理可知存在符合條件的唯一正根k0，

且k0

于是將上述三個(gè)不等式相加可得

xsinA+ysinB+zsinC

≤xsinA1+ysinB1+zsinC1

注本題是2011年大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的推廣，原題為：“在△ABC中，求3sinA+4sinB+18sinC的最大值”.在文[4][5][6]中給出了它的其它各種證法，也用柯西不等式給出了它的另一推廣，但配湊需要很好的技巧，讀者可自行查看.

例3在△ABC中，求證：

證明當(dāng)C為鈍角時(shí)，顯然成立.

當(dāng)C為銳角時(shí)，考查函數(shù)f(x)=lnsinx,g(x)=lnsin 2x的凸性，

因?yàn)閒″(x)=-(1+cot2x)<0,

g″(x)=-4(1+cot22x)<0，

A+B+C=x1+x2+x3=π，

由三角形中常見(jiàn)恒等式

tanx1+tanx2+tanx3

=tanx1tanx2tanx3

可得

所以 lnsinA+lnsinB+lnsin 2C

≤lnsinx1+lnsinx2+lnsin 2x3，

于是 sinAsinBsin 2C

注此不等式來(lái)自文[7]，利用此方法還可類(lèi)似證明出文[6]中的另外兩個(gè)不等式：

(1)在△ABC中，有

(2)在△ABC中，有

讀者可自行證之.

例4已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，求證：

證明設(shè)f(x)=lnx，因?yàn)?/p>

由定理1可得對(duì)任意x,xi∈(0,+∞)，有

x1+x2+x3=a+b+c，

代入上述三個(gè)不等式再累加可得

(a+b)lna+(b+c)lnb+(c+a)lnc

≤(a+b)lnx1+(b+c)lnx2+(c+a)lnx3,

從以上例子中可看出，本文的方法極大的拓展了切線法，使其不僅可解決對(duì)稱(chēng)不等式問(wèn)題，也可解決不對(duì)稱(chēng)的不等式問(wèn)題.此法非常類(lèi)似于拉格朗日乘數(shù)法，能將多元函數(shù)的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程組的問(wèn)題，將不等式轉(zhuǎn)化為等式來(lái)解決.