追求深度學(xué)習(xí)的高三數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐與思考①
——以“離散型隨機(jī)變量分布列、期望與方差”復(fù)習(xí)課為例

伍春蘭 許綺菲

(1.北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100120；2.北京市第一七一中學(xué) 100013)

1 問題提出

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，很多老師以任務(wù)重、時(shí)間緊、學(xué)生差為由，讓學(xué)生長時(shí)間、高密度、低思維地刷題，選題考題做題講題成為課堂常態(tài). 可各種的題海之術(shù)，各樣的“嚴(yán)防死磕”，效益并不高，令師生苦不堪言.

實(shí)踐表明，盲目大量做題，缺少高階思維的淺層學(xué)習(xí)，既不利學(xué)生成績的提高，也有害身心的健康，更無助核心素養(yǎng)的發(fā)展. 我們認(rèn)為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，可以減輕重負(fù)低效的復(fù)習(xí)現(xiàn)狀.

深度學(xué)習(xí)可以追溯到20世紀(jì)50年代，布盧姆(Bloom)等人將認(rèn)知維度從低到高分為六層：識記(Knowledge)、理解(Comprehension)、應(yīng)用(Application)、分析(Analysis)、綜合(Synthesis)和評價(jià)(Evaluation)，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)的深淺[1]. 美國學(xué)者Ference Marton和Roger Saljo設(shè)計(jì)了學(xué)生閱讀的實(shí)驗(yàn)，針對兩種相對立的學(xué)習(xí)方式，借鑒布盧姆認(rèn)知維度層次理論，于1976年首創(chuàng)了深度學(xué)習(xí)(Deep Learning)和淺層學(xué)習(xí)(Surface Learning)概念[2]. 隨后，深度學(xué)習(xí)得到不少學(xué)者的進(jìn)一步研究和發(fā)展. 我國學(xué)者2012年前后開始關(guān)注深度學(xué)習(xí)，研究成果逐年上升. 迄今，深度學(xué)習(xí)的認(rèn)識并不統(tǒng)一，但就深度學(xué)習(xí)認(rèn)知層面上的理解，基本達(dá)成一致. 即，按照布盧姆認(rèn)知領(lǐng)域?qū)W習(xí)目標(biāo)分類，淺層學(xué)習(xí)的認(rèn)知水平只停留在“識記、理解”；而深度學(xué)習(xí)的認(rèn)知水平則對應(yīng)“應(yīng)用、分析、評價(jià)、創(chuàng)造”[3].

我們主張的學(xué)生深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)，就是學(xué)生以主動(dòng)積極的情感，將思維特別是高階思維貫穿到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的始終，不僅關(guān)注知識技能“是什么”“怎樣用”，還要探究知識技能的來龍去脈，逐步養(yǎng)成思維參與學(xué)習(xí)的自覺意識.

下面以2019年第五屆北京市示范性高中同課異構(gòu)教學(xué)研討會的“離散型隨機(jī)變量分布列、期望與方差”復(fù)習(xí)課為例，探求高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課學(xué)生深度學(xué)習(xí)的可行路徑.

2 前期分析

2.1 前測：了解學(xué)情

2.1.1前測設(shè)計(jì)

本節(jié)課的學(xué)習(xí)者為北京市某示范校高三年級中等水平學(xué)生，共計(jì)29名. 借班上課的教師，課前訪談該班任課教師，得知：學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)了概率與統(tǒng)計(jì)主線相關(guān)內(nèi)容，大部分學(xué)生在高二學(xué)習(xí)時(shí)對于一些概念沒有深入理解，沒有建立起對該部分知識的完整結(jié)構(gòu)，因而在高三復(fù)習(xí)過程中他們期待對單元知識的全面梳理、系統(tǒng)建構(gòu)和實(shí)踐指導(dǎo).

為進(jìn)一步了解學(xué)生“離散型隨機(jī)變量分布列、期望與方差”現(xiàn)有狀態(tài)，特命制考查知識點(diǎn)相對單一的A卷(共13個(gè)小題)，及需要對該部分知識總結(jié)、比較、區(qū)別、評論的B卷(共2個(gè)大題). B卷題1出自2016—2017年北京市西城區(qū)高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)理科試卷第17題，該題以試題難度為背景，考察用樣本估計(jì)總體的離散程度，以及離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義的理解(圖1)；題2選自2018—2019年北京市海淀區(qū)高三年級第二次模擬考試數(shù)學(xué)理科試卷第16題，該題以某快餐連鎖店招聘外賣騎手為背景，考察用樣本估計(jì)總體的集中趨勢，以及集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義的理解. 兩題都需要學(xué)生從大段文字中提取相關(guān)信息，利用學(xué)過的有關(guān)知識，用統(tǒng)計(jì)與概率的視角分析、解決問題.

圖1 前測B卷題1

2.1.2結(jié)果分析

(1)A卷測試統(tǒng)計(jì)結(jié)果(圖2)表明，知識點(diǎn)相對單一，只需簡單描述、記憶、復(fù)制知識的題目，學(xué)生完成得較好.

圖2 前測A卷統(tǒng)計(jì)結(jié)果

(2)B卷兩題的第二問，正確率各為70%及84%(圖3)，原因之一就是部分學(xué)生超幾何分布和二項(xiàng)分布概率模型混淆. 比如，有兩名學(xué)生試卷顯示，在兩種概率分布模型中徘徊后，選擇了超幾何模型. 部分學(xué)生對不同概率模型的適用情境分辨不清，因此也無法選擇恰當(dāng)模型求解. 兩題的第三問，正確率僅各為28%及46%(圖3)，說明大部分學(xué)生不能區(qū)分呈現(xiàn)材料的相關(guān)與無關(guān)部分及重要與次要部分，不能準(zhǔn)確確定呈現(xiàn)材料背后的觀點(diǎn)，傾向或意圖.

圖3 前測B卷統(tǒng)計(jì)結(jié)果

總之，在具體問題情境中，學(xué)生基本上能讀懂可視化表格呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)，會簡單地判斷或推斷，解決簡單問題尚可. 如前測A卷除去第6題(正確率85%)及第13題(正確率89%)外，正確率均在90%以上；前測B卷兩個(gè)題目第一問，正確率分別達(dá)到97%與96%. 但是大部分學(xué)生把多個(gè)信息恰當(dāng)聯(lián)系使用困難，不同數(shù)據(jù)表示形式之間的靈活轉(zhuǎn)換不及，所解讀到的數(shù)據(jù)信息清晰表達(dá)以及推斷不足，對不恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)處理或說法主動(dòng)提出質(zhì)疑不夠，靈活選用理論或?qū)嶒?yàn)的途徑解決概率問題欠缺.

2.2 教法：深度學(xué)習(xí)

教師訪談和學(xué)生調(diào)研，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)困惑，以此確定了3個(gè)教學(xué)任務(wù).

任務(wù)1以B卷題1第二問的學(xué)生解答為情境，期望幫助學(xué)生辨別、區(qū)分超幾何分布及二項(xiàng)分布概率模型的適用情境，選擇恰當(dāng)模型求解. 其教學(xué)流程是：感性判斷—回憶提取—解釋舉例—比較—區(qū)分—檢查. 任務(wù)2以B卷題1第三問的學(xué)生解答為資源，通過生生、師生對話交流，區(qū)分呈現(xiàn)材料的相關(guān)與無關(guān)部分及重要與次要部分，確定呈現(xiàn)材料背后的觀點(diǎn)，傾向或意圖；嘗試判斷、評論，初步獲得自主復(fù)習(xí)的能力. 其教學(xué)流程是：感性認(rèn)知—推斷總結(jié)—區(qū)別—組織—實(shí)施—檢查評論. 任務(wù)3課下研究并完善B卷題2解答，達(dá)成鞏固復(fù)習(xí)效果、累積活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，及提升思考水平的目標(biāo).

3 片斷回顧

3.1 迷失概念(misconception)的轉(zhuǎn)化

迷失概念是概念偏離科學(xué)性或產(chǎn)生遷移(應(yīng)用)障礙的一種現(xiàn)象. 利用前測B卷第二問兩位學(xué)生的錯(cuò)答和正答(圖4)，針對學(xué)生超幾何分布與二項(xiàng)分布概率模型的迷失，設(shè)計(jì)了問題情境與遞進(jìn)的4個(gè)問題(圖5).

圖4 B卷題1第二問兩位學(xué)生的錯(cuò)答和正答

圖5 任務(wù)一情境與問題

3.1.1誘導(dǎo)思考

以同伴的作答為情境，點(diǎn)燃了學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，因?yàn)槎鄶?shù)學(xué)生都沒有十足的把握區(qū)分兩種不同概率模型. 無論是否做對，學(xué)生都渴求知道“為什么”. 此時(shí)學(xué)生完全沉浸在兩個(gè)概率模型的探究中，思維被激活.

3.1.2由淺及深

學(xué)生L(先選擇二項(xiàng)分布概率模型計(jì)算，后劃掉，再利用超幾何模型計(jì)算者)，回顧解題過程時(shí)說：開始只是直覺，后再看題目(20人中選取2人)，覺得應(yīng)該用超幾何模型計(jì)算. 但無法進(jìn)一步解釋，其他同學(xué)也沒有更好地補(bǔ)充. 于是教師逐次拋出問題1至問題4(圖5).

學(xué)生Z(圖4錯(cuò)答者)積極要求回答問題3，“圖4中右側(cè)答案正確，因?yàn)槌瑤缀畏植际遣环呕爻槿?，二?xiàng)分布是有放回抽取(獨(dú)立重復(fù))；計(jì)算超幾何分布中事件{X=k}發(fā)生的概率時(shí)需要知道總體的容量；當(dāng)總體容量非常大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布. ”看到學(xué)生臉上洋溢的收獲的喜悅，教師也由衷的夸獎(jiǎng)：“你把老師要說的話都說了”.

師生在課堂活動(dòng)中建立積極、友善的心理環(huán)境，提升學(xué)習(xí)興趣和積極的情感體驗(yàn). 學(xué)生通過回憶提取、解釋舉例、區(qū)分辨別，評價(jià)創(chuàng)造等思維活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了超幾何分布與二項(xiàng)分布概率模型這一組迷失概念的轉(zhuǎn)化.

3.2 高階思維(higher-orderthinking)的發(fā)展

教師以B卷題1第三問的學(xué)生C作答(圖6)為情境，兩次引導(dǎo)學(xué)生判斷、評論. 第一次評議時(shí)，教師適時(shí)提出問題：能否體會C同學(xué)的統(tǒng)計(jì)量設(shè)置的想法？這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的設(shè)置是否能體現(xiàn)樣本數(shù)字特征，為決策提供依據(jù)？在思維碰撞中，學(xué)生對于“方差”在結(jié)構(gòu)中的合適位置與作用，對于設(shè)置更能反映樣本數(shù)字特征的統(tǒng)計(jì)量有了進(jìn)一步認(rèn)識，同時(shí)有了探究試題預(yù)估難度標(biāo)準(zhǔn)的訴求. 在學(xué)生合作得出評分標(biāo)準(zhǔn)后，教師第二次引導(dǎo)學(xué)生評議學(xué)生C的“作品”.

圖6 B卷題1第三問學(xué)生C的作答

學(xué)生C的分享得到老師、同學(xué)充分肯定后，也對自己作答進(jìn)行了反思：我做法的問題是沒有對試卷整體合理性做出評價(jià)，如果加上“若5個(gè)題目都預(yù)估合理，則整張?jiān)嚲眍A(yù)估合理”就可以了. 教師及時(shí)點(diǎn)評：我認(rèn)同你的統(tǒng)計(jì)量設(shè)置思路和剛才的修正，統(tǒng)計(jì)思想與確定性思想，歸納推斷與演繹證明存在差異，我們尋求更科學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果為決策提供依據(jù).

4 回顧啟示

4.1 復(fù)習(xí)教學(xué)的定位

提升解題能力需要累積活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，需要融會貫通、舉一反三，而缺少思考的大量重復(fù)練習(xí)的復(fù)習(xí)課，很難擔(dān)此重任. 因此復(fù)習(xí)要設(shè)計(jì)有思維含量的活動(dòng)，組織、引導(dǎo)和激勵(lì)學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)：構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)；拓展知識技能；感悟思想方法；提升學(xué)習(xí)能力；發(fā)展核心素養(yǎng).

4.2 學(xué)生調(diào)研的利用

前期調(diào)研，不僅暴露了學(xué)生部分問題，也成為教學(xué)的真正起點(diǎn). 前測B卷，密切聯(lián)系學(xué)生生活和現(xiàn)實(shí)生活，半開放題型具有挑戰(zhàn)性又在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，使學(xué)生愿意卷入其中. 通過查閱標(biāo)準(zhǔn)答案、借助于學(xué)習(xí)軟件等方法，學(xué)生無法判斷自己的作答是否正確，他們希冀得到教師與學(xué)習(xí)同伴的幫助. 利用B卷題1的學(xué)生作答，引發(fā)學(xué)生思維沖突，教師的適度跟進(jìn)與點(diǎn)撥，使學(xué)生學(xué)習(xí)過程中思維高度參與.

4.3 交流水平的提升

學(xué)會數(shù)學(xué)地交流是我國數(shù)學(xué)教育的重要課程目標(biāo)之一，是深度學(xué)習(xí)的體現(xiàn). Kimberly Hufferd-Ackles等學(xué)者從問題的提出、數(shù)學(xué)思考的闡述、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的來源、學(xué)習(xí)的責(zé)任，就學(xué)習(xí)共同體中師生的參與程度，劃分了數(shù)學(xué)交流的4個(gè)水平(0級-3級)[4]. 本節(jié)課數(shù)學(xué)交流處于較高水平(2級)，即教師將學(xué)生的錯(cuò)誤生成為學(xué)習(xí)資源，持續(xù)地以探究性和開放性的問題促進(jìn)學(xué)生的思考與交流，支持學(xué)生暴露自己的所思所想，深入地了解學(xué)生的思維，進(jìn)而采用相應(yīng)策略以加深學(xué)生對知識的理解；學(xué)生則分享、解釋、澄清自己的想法和策略，其他學(xué)生認(rèn)真傾聽以相互理解，并在結(jié)對交流和全班討論中實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

在教學(xué)實(shí)踐中，引導(dǎo)學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)，會用數(shù)學(xué)的眼光觀察、數(shù)學(xué)的思維分析、數(shù)學(xué)的語言表達(dá)，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動(dòng)的全過程，這是我們?yōu)橹Φ姆较?