面積法推導(dǎo)數(shù)列{n}、{n2}、{n3}的前n項(xiàng)和公式①

王 彬 王 占 侯曉婷 李春蘭

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 010022)

數(shù)列與函數(shù)、不等式等有著密切的聯(lián)系，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一.其中等差數(shù)列作為一種特殊的數(shù)列，是高中生探究特殊數(shù)列的開(kāi)始，它對(duì)后續(xù)數(shù)列的學(xué)習(xí)無(wú)論是在內(nèi)容上還是在方法上都具有積極的意義.

古文獻(xiàn)中關(guān)于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，如倒序相加法、數(shù)形結(jié)合法等，也是我國(guó)高中數(shù)學(xué)教科書中慣用的方法.在我國(guó)現(xiàn)行6套高中數(shù)學(xué)教科書中關(guān)于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，人教A版(2007年)、滬教版(2007年)是利用高斯的算法推導(dǎo)得出公式；北師大版(2010年)是先通過(guò)如何計(jì)算圓木料堆中木料的總數(shù)，引出如何計(jì)算等差數(shù)列的前n項(xiàng)和這個(gè)問(wèn)題，再介紹高斯的算法最后推導(dǎo)得出公式.(6)劉紹學(xué),錢珮玲,章建躍.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)5必修(A版)[M].北京:人民教育出版社,2007:48-49.人教B版(2007年)和蘇教版(2005年)先呈現(xiàn)某倉(cāng)庫(kù)堆放的鋼管總數(shù)圖(如圖1)，再通過(guò)求鋼管總數(shù)推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；湘教版(2007年)是呈現(xiàn)某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式的隊(duì)列站法圖(如圖2)，再通過(guò)求隊(duì)列總?cè)藬?shù)推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

圖1

圖2

這6套教科書中關(guān)于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，無(wú)論是通過(guò)高斯的算法進(jìn)行公式推導(dǎo)，還是先觀察鋼管圖或者隊(duì)列圖再進(jìn)行公式推導(dǎo)，它們本質(zhì)上都是應(yīng)用了加法結(jié)合律，首末兩端距離相等的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的和都等于首末兩數(shù)的和，屬于代數(shù)方法中的倒序相加法.但是只通過(guò)高斯算法來(lái)推導(dǎo)公式，學(xué)生僅僅是利用倒序相加法對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行死記硬背；若加入圖形來(lái)理解倒序相加法再推導(dǎo)公式，可以建立學(xué)生對(duì)于形與數(shù)的聯(lián)系，借助幾何直觀更好的理解公式的推導(dǎo)過(guò)程.

本文主要介紹民國(guó)時(shí)期著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、出版家劉薰宇(7)劉薰宇(1896—1967)貴州貴陽(yáng)人，又名心如.畢業(yè)于北京高等師范數(shù)理系，受過(guò)法國(guó)教育的熏陶.他畢生論著頗豐，以小品文、科普著作、數(shù)學(xué)教科書為著稱.先生在其科普著作《數(shù)學(xué)趣味》(8)《數(shù)學(xué)趣味》是劉薰宇于1934年出版的數(shù)學(xué)科普著作.本書是由11篇發(fā)表在《中學(xué)生》《一般》《春暉》三個(gè)雜志中的論文集結(jié)成的單行本.中如何推導(dǎo)數(shù)列{n}、{n2}、{n3}的前n項(xiàng)和公式，即從“面積法”視角推導(dǎo)每個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

1 數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)

對(duì)于等差數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，劉薰宇在《數(shù)學(xué)趣味》中由堆羅漢(9)“堆羅漢”是學(xué)校中常見(jiàn)到的一種游戲，它是從最下面一排起數(shù)上去，每排都少一個(gè)人，直到頂上只有一個(gè)人為止.在數(shù)學(xué)中像這類依序相差同樣的數(shù)的一列數(shù)，在數(shù)學(xué)上我們稱它為等差級(jí)數(shù)，最簡(jiǎn)單的等差級(jí)數(shù)就是我們所學(xué)的等差數(shù)列.游戲引出問(wèn)題，將堆羅漢游戲中的每個(gè)人抽象為邊長(zhǎng)為1的正方形，通過(guò)求面積得出數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和公式.此方法是利用數(shù)形結(jié)合，從特殊到一般，將求數(shù)與數(shù)之和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求幾何圖形的面積問(wèn)題，方法簡(jiǎn)單易懂，妙趣橫生.

劉薰宇將一個(gè)從1起到某一個(gè)數(shù)為止的若干個(gè)連續(xù)整數(shù)的和用下面的(1)式來(lái)表示.

1+2+3+4+5+6+7+…+n

(1)

借助堆羅漢游戲，將7人為底的堆羅漢抽象為圖3，再將圖3變形為圖4.他利用圖5中的A部分表示了式子(1)中的前7項(xiàng)之和，B部分恰好是A部分的倒置，A、B兩部分組合成了圖中的矩形，圖中每一方格的邊長(zhǎng)記為單位1，即每一小方格的面積也為1.所以，A、B兩部分的面積分別記為

圖3

圖4

圖5

圖6

A=1+2+3+4+5+6+7,

B=7+6+5+4+3+2+1,

此時(shí)，求式子(1)的前7項(xiàng)之和，轉(zhuǎn)化為求圖5中A部分的面積，因A、B部分的面積相等，且各部分面積等于圖5這個(gè)矩形面積的一半.該矩形的長(zhǎng)是7，寬是7+1，因此面積便是

7×(7+1)=7×8=56,

將上式推廣到一般情形變?yōu)?/p>

上式也就是等差數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和(n∈N*).

我們?cè)購(gòu)奶厥獾揭话?如圖6，其中a1和d都代表了小方格的面積，且d為單位正方形的面積)，可得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

劉薰宇借助“堆羅漢”游戲?qū)Φ炔顢?shù)列{n}的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行了推導(dǎo)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，直觀形象地將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求矩形的面積問(wèn)題，化數(shù)為形，體現(xiàn)了圖形之美，數(shù)形之幻.若在教學(xué)中將“堆羅漢”游戲與圖形加入到等差數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和公式的理解中，會(huì)為教學(xué)增添些許趣味與生動(dòng)性，還可滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法.讓學(xué)生親身經(jīng)歷探索數(shù)列求和公式的旅程，既培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維、提高直觀形象的能力，還能感受數(shù)學(xué)公式之美.

2 數(shù)列{n2}、{n3}的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)

教科書中數(shù)列{n2}、{n3}的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)一般是以課后拓展題的形式給出，老師的講解多數(shù)是利用代數(shù)方法，公式推導(dǎo)過(guò)程十分繁瑣.而劉薰宇不僅運(yùn)用“堆羅漢”游戲直觀形象地推導(dǎo)出等差數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和公式，還對(duì)數(shù)列、{n2}{n3}的前n項(xiàng)和公式利用面積方法進(jìn)行了推導(dǎo).

2.1 數(shù)列{n2}的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)

從1起到某數(shù)為止的各整數(shù)的平方和用式子表示出來(lái)就是下面的(2)式.

12+22+32+42+52+62+72+…+n2

(2)

圖7

如圖7，每個(gè)小方格均為單位正方形，(2)式的前7項(xiàng)可用圖5表示出來(lái)，而22恰好等于從1起的2個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和；32等于從1起的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和；以此類推，72就是從1起的7個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和.因此求12+22+32+42+52+62+72，只需要將上面7個(gè)式子的右邊相加即可.雖然這個(gè)方法能夠得到正確答案，但不夠簡(jiǎn)便，而且不易從中找出一般性的式子.因此劉薰宇利用堆羅漢的方法，將上面式子的右邊用堆羅漢的方式堆起來(lái)，為了敘述簡(jiǎn)便，n只取到4，抽象出圖8.

圖8

圖9

圖10

圖11

則可以得到

上式就是求數(shù)列{n2}的前n項(xiàng)和.

2.2 數(shù)列{n3}的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)

從1起到某數(shù)為止的各整數(shù)的立方和用下面(3)式表示出來(lái).

13+23+33+43+53+63+73+…+n3

(3)

因?yàn)閿?shù)是立方的關(guān)系，先想到的可能是用立體圖形來(lái)表示，但在平面上不利于表示.若能聯(lián)想到乘法的意義，用平面圖形來(lái)表示一個(gè)立方，也是有可能的.為了敘述簡(jiǎn)便，n仍只取到4.例如23的意義是3個(gè)2相乘，式子表示為2×2×2，同時(shí)這個(gè)式子也可以記為(2×2)×2，可以理解它表示的是2個(gè)22的意思.

所以23用圖形可表示為圖12中的A，再將圖12A變換一下可得出圖12B.同理，33=(3×3)×3可用圖13A或B表示，43=(4×4)×4可用圖14A或B表示.

圖12

圖13

圖14

仔細(xì)觀察圖12、圖13、圖14中的B，可得出如下關(guān)系：圖12B的缺口恰好是13，所以13能填補(bǔ)23的缺口.圖13B的缺口，每個(gè)邊都是3，這和圖12B的外邊緣相等，可知13和23可將其缺口填滿.圖14B的缺口每邊都是6，又恰好等于圖13B的外邊，因此13和23和33拼在一起能將圖14B的缺口填滿.按照此填法，便得到圖15，它恰巧是13+23+33+43的總和.

圖15

圖15是邊長(zhǎng)為1+2+3+4的正方形，它的面積是(1+2+3+4)2，因而得到：13+23+33+43=(1+2+3+4)2，該等式右邊括號(hào)中1+2+3+4按照數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和公式得

因此

13+23+33+43=(1+2+3+4)2

將上式推廣到一般的情形去，得到

13+23+33+43+…n3=(1+2+3+4+…n)2

上式也就是數(shù)列{n3}的前n項(xiàng)和.

同(1)式的推導(dǎo)方法類似，(2)和(3)式也僅僅是用1，2，3，4為代表進(jìn)行觀察推導(dǎo)，便得到一般性結(jié)論，結(jié)果不一定完全可靠，因此劉薰宇也用了數(shù)學(xué)歸納法對(duì)其進(jìn)行論證，此不贅述.

對(duì)于數(shù)列{n2}、{n3}的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，劉薰宇首先將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，即代數(shù)求和轉(zhuǎn)為求矩形面積.圖形以不同的方式羅列起來(lái)，也像“堆羅漢”一樣.隨后變換幾何圖形的形狀，拼湊成一個(gè)大矩形，求出大矩形的面積，數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題也就迎刃而解.

3 結(jié)語(yǔ)

追溯劉薰宇推導(dǎo)數(shù)列{n}、{n2}、{n3}的前n項(xiàng)和公式的思想方法之源，他應(yīng)該是受到我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝的方法啟發(fā)，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非.”劉薰宇將代數(shù)問(wèn)題幾何化，利用面積法推導(dǎo)數(shù)列{n}、{n2}、{n3}的前n項(xiàng)和公式，直觀、形象、易懂，只可惜他的這種方法在我們當(dāng)今的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中卻幾乎無(wú)人問(wèn)津.

我國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中對(duì)于“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”提出的教學(xué)目標(biāo)為：“探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.”(10)中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn):2017年版[S].北京:人民教育出版社,2017:38.在這部分內(nèi)容的課堂教學(xué)中，完全可以將楊輝、劉薰宇的思想方法融入到教學(xué)中，這不但有助于學(xué)生真正理解和掌握數(shù)列{n}、{n2}、{n3}的前n項(xiàng)和公式，而且可以展示我國(guó)傳統(tǒng)文化的魅力，實(shí)現(xiàn)德育之效.正如汪曉勤所言：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)史可以揭示知識(shí)之諧，呈現(xiàn)方法之美，營(yíng)造探究之樂(lè)，達(dá)成能力之助，展示文化之魅，實(shí)現(xiàn)德育之效.”(11)汪曉勤.基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵課例分析[J].上海課程教學(xué)研究,2019:37.另外，在公式的探究過(guò)程中學(xué)生也可以感受到數(shù)學(xué)的趣味，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，將數(shù)學(xué)“冰冷的美麗轉(zhuǎn)化為火熱的思考”.