建模意識：通向數(shù)學素養(yǎng)的內(nèi)設橋梁

陸佳鳳

摘? 要：學生的數(shù)學學習過程，本質(zhì)上就是學生從已有知識經(jīng)驗出發(fā)，經(jīng)歷將現(xiàn)實原型抽象、概括成數(shù)學模型并進行解釋應用的過程。在數(shù)學教學中，教師要引導學生的模型準備、模型建構和模型應用。數(shù)學建模意識，是通向?qū)W生數(shù)學核心素養(yǎng)培育的內(nèi)設橋梁。

關鍵詞：小學數(shù)學;建模意識;數(shù)學素養(yǎng);內(nèi)設橋梁

數(shù)學建模與數(shù)學教學有著相互制約、相互促進的關系。從某種意義上來說，數(shù)學教學就是數(shù)學模型的建構教學，一切的數(shù)學原理、法則、定律等都可以看成廣義的數(shù)學模型。學生的數(shù)學學習過程，本質(zhì)上就是學生從已有知識經(jīng)驗出發(fā)，經(jīng)歷將現(xiàn)實原型抽象、概括成數(shù)學模型并進行解釋應用的過程。正如東北師范大學史寧中先生所說的：“學生的數(shù)學核心素養(yǎng)主要有抽象、推理和模型?！迸嘤龑W生的數(shù)學建模意識，是走向?qū)W生數(shù)學核心素養(yǎng)培育的內(nèi)設橋梁。

一、模型準備，喚醒學生已有知識經(jīng)驗

數(shù)學建模，從整體上看就是數(shù)學化的過程。數(shù)學化，包括橫向數(shù)學化和縱向數(shù)學化。所謂“橫向數(shù)學化”，就是從生活原型到數(shù)學符號的提煉、抽象過程;所謂“縱向數(shù)學化”，就是數(shù)學符號的模塑、生成和被使用。站在學生數(shù)學學習的“最近發(fā)展區(qū)”，教師首先需要提供貼合學生經(jīng)驗的背景，激活學生的經(jīng)驗儲備，引領學生進行“橫向數(shù)學化”。在這個過程中，學生需要將生活語言轉(zhuǎn)譯為數(shù)學語言，將數(shù)學語言轉(zhuǎn)譯為數(shù)學符號。

站在學生數(shù)學建模的“最近發(fā)展區(qū)”，教師要豐富建模內(nèi)容，激發(fā)建模興趣，指導建模方法。數(shù)學建模的基點是學生，根源在于生活原型。比如教學“乘法分配律”（蘇教版四下），教師就可以通過學生在生活世界中的問題入手，引導學生從生活事理出發(fā)，通過去粗取精、去偽存真的提煉、抽象，運用數(shù)學不完全歸納方法，合情合理地進行數(shù)學猜想、驗證，從而助推學生建構數(shù)學模型。如“一種童裝，上衣每件80元，褲子每條40元，學校某個班級一共購買了50套，一共需要多少元？”“一名工人裝置一種模具，上午能裝置20個，下午能裝置30個，一周裝置5天，一共能裝置多少個？”等等。在解決問題時，引導學生說出列式的根據(jù)，也即生活事理。比如針對第一個生活實際問題，可以先算一套童裝多少元，再算50套童裝多少元;也可以先算50件上衣多少元，50條褲子多少元，再計算50套童裝多少元，等等。通過生活事理的闡釋，引導學生從生活事理向數(shù)學算理嬗變，從而引導學生建構乘法分配律。

培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識，關鍵在于教師要選取貼合學生生活的典型事例，這些事例要具有代表性、適切性，從而便于引導學生進行數(shù)學化處理，即從學生的生活原型過渡、提升到數(shù)學模型。如此，既有利于促進學生對生活事理的內(nèi)涵、屬性的理解，也有助于向?qū)W生滲透數(shù)學的符號意識、代數(shù)思想。

二、模型建構，豐富學生數(shù)學活動經(jīng)驗

數(shù)學模型的建構離不開學生的數(shù)學活動，同時數(shù)學模型的建構又有利于積累學生的數(shù)學活動經(jīng)驗。在數(shù)學模型建構過程中，教師要引導學生充分活動，讓學生在活動中建立表象。在這個過程中，要充分運用學生的已有活動經(jīng)驗，引發(fā)學生積極遷移，促發(fā)學生自由聯(lián)想，從而積極建構數(shù)學模型。作為教師，要為學生打造活動平臺，賦予學生充分的活動時空、條件，助推學生的數(shù)學建模。

比如教學“長方形的面積”，筆者就給學生提供了邊長為1平方厘米的小正方形，引導學生拼擺指定規(guī)格的長方形。學生自覺地展開活動，他們或兩個一組，或三個一組，展開小組合作學習，有的小組成員負責拼擺，有的小組成員負責記錄，有的小組成員負責計算個數(shù)，等等。通過數(shù)學活動，形成關于長方形面積模型的猜想。在拼擺的過程中，學生發(fā)現(xiàn)有些規(guī)格的長方形用小組中的小正方形塑料片不夠拼，但還是能夠拼一行、一列的，也就是說，材料是“缺斤少兩”的。為此，學生就自覺地運用數(shù)學猜想解決實際的操作問題，同時借用其他小組的小正方形塑料片來拼擺，從而進行有效驗證。通過數(shù)學猜想、驗證等活動，學生就能擺脫物質(zhì)化的拼擺操作，建構數(shù)學化、符號化的模型。學生經(jīng)歷了猜想、驗證的數(shù)學活動過程，不僅能積累數(shù)學活動經(jīng)驗，還能感受、體驗到數(shù)學建模方法，形成數(shù)學建模意識。

小學生數(shù)學思維以具體形象思維為主，兼具直觀動作思維，而數(shù)學模型是理性的、抽象的。因此，引導學生進行數(shù)學活動，讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，逐步抽象概括，就能建構起清晰的、準確的數(shù)學模型。

三、模型應用，激活學生數(shù)學認知經(jīng)驗

通過數(shù)學模型的建構，學生積累了豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗，這些經(jīng)驗逐步內(nèi)化，從而成為學生認知結構的重要組成部分，這就是學生的認知經(jīng)驗。在經(jīng)歷了模型準備、模型建構的過程中，教師要引導學生的模型的解釋、表達與應用。在模型應用中，激活學生的數(shù)學認知經(jīng)驗。這個過程，就是對數(shù)學模型進行意義賦予的過程。在這個過程中，學生能感受、體驗到數(shù)學模型的意義。

比如教學“解決問題的策略——間隔排列”（蘇教版三上），當學生建構了數(shù)學模型之后，筆者出示問題，讓學生運用所建構的數(shù)學模型去解決實際問題。只有引導學生將抽象的數(shù)學模型通過解釋、表達與應用，才能彰顯出數(shù)學模型的價值。通過模型的應用，學生的數(shù)學建模意識能潛移默化地得到增強。比如“一串珠子一共有40顆，首端為黑色珠子，按照一一間隔的順序排列，末端為紅色珠子，一共有多少個黑珠子、有多少個紅珠子？”“一串珠子一共有40顆，首端為黑色珠子，按照一一間隔的順序排列，末端為黑色珠子，一共有多少個黑珠子、有多少個紅珠子？”“一串環(huán)形的珠子一共有40顆，按照黑珠子、紅珠子一一間隔順序排列，一共有多少個黑珠子、有多少個紅珠子？”等等。這樣的“一題多變”“一題多問”，能讓學生明晰各種形式的間隔排列問題。在模型的變式運用之中，學生能體會到數(shù)學模型的本質(zhì)。

如果說，從生活原型到數(shù)學模型的建構是數(shù)學化的過程，那么，從數(shù)學模型到生活原型就是生活化的過程。這兩個過程在數(shù)學建模教學中是相輔相成、相得益彰的。從一類問題拓展到另一類問題，學生對數(shù)學模型的理解更本質(zhì)、更全面、更深刻。從數(shù)學模型到現(xiàn)實原型，學生更能感受、體驗到數(shù)學模型的功能、魅力。

培養(yǎng)學生的建模意識，就是要讓學生經(jīng)歷完整的數(shù)學建模過程。在這個過程中，學生不僅經(jīng)歷了完整的行為操作，而且經(jīng)歷了充分的思維活動過程。他們不斷地猜測、不斷地驗證、不斷地探究，從而不斷地對模型進行豐富、完善。培養(yǎng)學生數(shù)學建模意識，不僅是為了獲得數(shù)學模型，更是要助推學生數(shù)學地把握、數(shù)學地處理現(xiàn)實問題，形成數(shù)學化處理問題的觀念、習慣，這是真正的數(shù)學建模意識，也是數(shù)學建模教學的最高境界。