支持學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

楊傳岡

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的功用是鍛煉學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的問題解決能力。保持學(xué)生獨(dú)立、持久的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生在面對(duì)新知學(xué)習(xí)時(shí)愿意思考、積極思維是教師必須要考慮的重要問題之一。從這層意義上來說，課堂應(yīng)回歸學(xué)科屬性，回歸數(shù)學(xué)常識(shí)，回歸學(xué)為中心，教師應(yīng)鼓勵(lì)和支持學(xué)生以數(shù)學(xué)的方式提問、思考、表達(dá)、運(yùn)用，讓數(shù)學(xué)思維成為學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的核心要義。

一、想思：于思考基點(diǎn)處設(shè)疑

數(shù)學(xué)知識(shí)的初始學(xué)習(xí)不是一個(gè)一蹴而就的所見即所得的過程，更不是一個(gè)由A及B的直線式的簡單過程。學(xué)生的原始觀點(diǎn)、慣性推理方式在他們接觸新知識(shí)后所產(chǎn)生的心智表征發(fā)生改變的結(jié)果，是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、系統(tǒng)化的變化過程，主要表現(xiàn)為學(xué)生對(duì)新知的理解及與舊知有效關(guān)聯(lián)形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)。顯而易見，從學(xué)生的認(rèn)知基點(diǎn)處起手不僅有助于激發(fā)學(xué)生的探究欲望，有利于學(xué)生集中精力直擊問題內(nèi)核，更有利于減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)，避免無效的周旋。

【案例1】蘇教版五上“平行四邊形面積計(jì)算”

師：你能直接算出這兩幅圖形的面積嗎？（課件出示未標(biāo)數(shù)字的長方形、正方形）

生：沒有數(shù)字，無法計(jì)算。

師：現(xiàn)在你能算出它們的面積嗎？（將圖形放置在方格圖上，方格邊長1厘米）

生：長方形的面積是6×4=24平方厘米，正方形的面積是5×5=25平方厘米。

師：這是什么圖形？（課件出示圖1）

大膽猜想一下，這個(gè)平行四邊形的面積可能是多少呢？

生反饋：6×5=30平方厘米。6×4=24平方厘米。5×4=20平方厘米。

師：這3種假設(shè)可能都正確嗎？你認(rèn)為可能會(huì)有幾個(gè)正確呢？（提示：假設(shè)有可能都不對(duì)）

學(xué)生展開討論。

師：數(shù)學(xué)思考不能只停留在假設(shè)階段，有了假設(shè)，更重要的是要尋找方法加以驗(yàn)證。

師生一起用鋪小方格的方法驗(yàn)證猜想，在實(shí)踐操作活動(dòng)中逐步厘清知識(shí)本質(zhì)，修正自己的先有概念，形成正確的知識(shí)理解。教師有的放矢地設(shè)疑，使學(xué)生的思維進(jìn)入憤悱狀態(tài)，產(chǎn)生了積極思考的欲望，并且思考有了明確方向，為最終順利發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積公式奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、會(huì)思：于問題薄弱處入手

在面對(duì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)問題時(shí)，思維敏捷者往往能及時(shí)讀懂、理解文本中所提供的信息，并加以合理組合，確定初步的問題解決路徑;思維遲緩者則相反，他們理解已知信息常常不得要領(lǐng)，無法進(jìn)行有意義的關(guān)聯(lián)，如果提供的信息過多或出現(xiàn)無關(guān)干擾信息，他們往往表現(xiàn)得較為慌亂，不知從何下手。會(huì)思考的學(xué)生善于從不同角度、不同方向思考問題，努力發(fā)現(xiàn)并判明所需解決問題的薄弱之處，通過反復(fù)試誤，繼而深入探究，直到發(fā)現(xiàn)問題解決路徑。所謂繩在細(xì)處斷，冰在薄處裂。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生會(huì)思考的能力，以便鍛煉學(xué)生解決問題的能力，提升學(xué)生的學(xué)力。

【案例2】蘇教版五上第20頁思考題

師：你能從題目中獲得哪些信息？要求什么問題？

生：知道原來長方形的長和寬，能算出它的面積。一個(gè)長方形被分成了一個(gè)三角形和一個(gè)梯形。

師：三角形和梯形的相關(guān)數(shù)據(jù)都有嗎？

生：知道三角形的一條直角邊，知道梯形的下底和高。

師：可以直接求出它們的面積嗎？你還知道什么信息？

生：三角形面積比梯形少180平方厘米。

師：從這個(gè)信息，你能聯(lián)想到什么信息？

生：大長方形的面積可以看成三角形和梯形的面積之和，而三角形面積比梯形小180平方厘米。這樣就能分別求出它們的面積。

師：大家聽懂了他的方法嗎？誰還有不同想法？

生1：三角形面積比梯形小180平方厘米。我想把梯形分成兩部分，一部分和三角形一樣大，剩下的小長方形面積就是180平方厘米。它的長是20厘米，可以先求寬，再求原來三角形和梯形的面積。（圖3）

生2：小長方形面積是180平方厘米，我們只要從原來的大長方形面積中減去180，把剩下的面積平均分成兩份，每份都是小三角形的面積，小三角形的面積加上180平方厘米就是梯形面積。

生3：把大長方形分成兩個(gè)一樣大的三角形，這樣就知道陰影部分面積是90平方厘米。（圖4）

師：為什么這塊陰影部分的面積是90平方厘米呢？

教師從學(xué)生讀題、理解題意起，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行充分聯(lián)想，嘗試為已知信息建立有意義關(guān)聯(lián)，進(jìn)而對(duì)問題薄弱之處——三角形的面積比梯形小180平方厘米展開探索性思考。學(xué)生獨(dú)立思考后，在畫圖建模、交流對(duì)話中激活了更多的問題解決思路，優(yōu)化了問題解決方案，學(xué)會(huì)了思考問題的方法。

三、善思：于經(jīng)驗(yàn)方法處喚醒

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是信息和資料的簡單堆砌，理解一個(gè)新知識(shí)，就意味著將之納入自己已有的思維結(jié)構(gòu)之中，并能用自己的話語體系加以表述。學(xué)習(xí)更是一種變形，是對(duì)學(xué)生先有概念的改造甚至是顛覆性改變，這種先有概念有時(shí)表現(xiàn)得比較頑固，很可能成為學(xué)生思維的絆腳石，束縛他們思考的深度與廣度，阻礙他們的認(rèn)知進(jìn)程。只有當(dāng)學(xué)生主動(dòng)在自己的思維系統(tǒng)內(nèi)對(duì)新知進(jìn)行闡釋時(shí)，學(xué)習(xí)才會(huì)真正發(fā)生。一旦學(xué)生已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法能被及時(shí)喚醒、有效調(diào)用，他們對(duì)新知的學(xué)習(xí)與掌握的進(jìn)程就會(huì)變得順暢。

【案例3】蘇教版五上第48頁

師（出示圖5）：同學(xué)們根據(jù)題目提出了很多一步計(jì)算的數(shù)學(xué)問題，哪些問題已經(jīng)學(xué)過？

生：買一個(gè)計(jì)算器和一支鋼筆一共多少元？

師：請(qǐng)同學(xué)們自己算一算，并把你的計(jì)算過程和同桌說一說。

學(xué)生自主完成后，板演并說明138+16的計(jì)算過程，其間注意表揚(yáng)學(xué)生正確的算理：數(shù)位對(duì)齊，個(gè)位算起，滿十進(jìn)一。

師：如果買一個(gè)講義夾和一本筆記本一共要多少元？該怎樣列式？

師：你會(huì)列豎式解答嗎？算之前，先在心里估一估結(jié)果。

師：老師收集了幾位同學(xué)的算法，一起來看一看。

師：同一道計(jì)算題，怎么會(huì)出現(xiàn)三種不同結(jié)果呢？先想一想，再把自己的想法在小組里交流。

教師出示思考提示：（1）比一比，對(duì)比算式，三種豎式有什么不同？（2）辯一辯，你覺得哪種列式方法是對(duì)的，為什么？（3）議一議，錯(cuò)誤的列式方法，可能是怎樣想的？

教師課始從整數(shù)加法筆算引入，先喚醒學(xué)生已有的算法經(jīng)驗(yàn)，再現(xiàn)場(chǎng)展示學(xué)生的不同算法，把不同層次思維能力學(xué)生的先有概念完全暴露出來，引發(fā)學(xué)生從“比一比、辯一辯、議一議”三個(gè)層次進(jìn)行深度思考，在思考、交流、討論中破解困惑，明晰新舊知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別，順利建構(gòu)新的知識(shí)體系。

四、思成：于思考難點(diǎn)處突破

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)對(duì)已有概念、性質(zhì)、定理、公式的內(nèi)化掌握，并能熟練運(yùn)用這些基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問題的過程。當(dāng)學(xué)生接觸到一個(gè)待解決的新問題后，就會(huì)積極調(diào)動(dòng)各種感官投入到緊張的思考之中。學(xué)生解決問題的思維進(jìn)程一般不會(huì)特別通暢，總會(huì)遇到程度不同的思維阻力。這種阻力既可能是共性的，大家普遍都會(huì)感到困難的“思維暗礁”;也可能是個(gè)性的，不同學(xué)生在思考過程中可能會(huì)遇到各自獨(dú)特的“思維盲點(diǎn)”，學(xué)習(xí)最需要突破的就是這些思維難點(diǎn)。

面對(duì)“思維暗礁”或“思維盲點(diǎn)”，學(xué)生常常會(huì)陷入思維困頓，無法逾越障礙。教師可以適時(shí)拋出核心問題，組織學(xué)生聚力攻關(guān)、破解思維難點(diǎn);亦可在學(xué)疑之處予以精當(dāng)啟發(fā)或點(diǎn)撥，幫助學(xué)生理順?biāo)季w，觸發(fā)學(xué)生新舊知識(shí)的主動(dòng)銜接，實(shí)現(xiàn)正向遷移，打破思維瓶頸，貫通整體解決思路，形成較為完整的解決方案，讓成功思考成為可能的現(xiàn)實(shí)。

【案例4】蘇教版四下“射線、直線和角的認(rèn)識(shí)”

師：老師課前請(qǐng)大家畫了一條2厘米的線段，畫好了嗎？是這樣的嗎？（展示一位同學(xué)的作品）。

師：你是怎樣畫的呀？（及時(shí)提煉學(xué)生發(fā)言：直直的，有兩個(gè)端點(diǎn)，用尺量長度等）

師：這是一支激光筆，如果把發(fā)光點(diǎn)看成是一個(gè)端點(diǎn)，（將激光射到天花板上）現(xiàn)在，你在天花板上看到了什么？（另一個(gè)光點(diǎn)）

師：如果把這兩個(gè)光點(diǎn)用一條直直的線連接起來，就得到一條？（線段）

師：現(xiàn)在，老師把激光筆射出的紅色光線射向天空，你還能找到光線盡頭的那個(gè)光點(diǎn)嗎？（不能）

師：那這條線是直的嗎？有幾個(gè)端點(diǎn)？還能量出長度嗎？先獨(dú)立想一想，再和同學(xué)議一議。（反饋略）

師小結(jié)：這條線只有一個(gè)端點(diǎn)，是直直的，無限長，數(shù)學(xué)上稱為射線。

師（出示一位同學(xué)的預(yù)習(xí)案）：我們可以畫出一條長3厘米的射線嗎？

教師課前讓學(xué)生畫線段、射線、直線，將學(xué)生對(duì)線段、射線、直線長度的元認(rèn)知充分放大，再通過課堂小組活動(dòng)碰撞、質(zhì)疑、交流，教師對(duì)學(xué)生的疑難之處及時(shí)點(diǎn)撥，讓學(xué)生在觀察、思考的基礎(chǔ)上深入體會(huì)“直線兩端可以無限地延長”“射線一端可以無限地延長”的具體涵義，盡量給出充足的時(shí)間讓學(xué)生用“沒有盡頭”這樣的兒童語言對(duì)新知做出自己的描述。

（作者單位：江蘇省鹽城市第二小學(xué)）