一類結(jié)構(gòu)張量方程解集的非空緊性

侯 印，凌 晨

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

張量方程是矩陣方程的自然推廣，在許多工程和科學計算領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，例如數(shù)據(jù)挖掘[1]、數(shù)值偏微分方程[2]和張量互補問題[3]等。與矩陣方程相比，高階張量的出現(xiàn)導致張量方程中的相關(guān)函數(shù)呈高次特性。此時，張量方程解的存在性和有效數(shù)值算法設(shè)計均需針對所涉及的張量結(jié)構(gòu)進行研究和設(shè)計。在系數(shù)張量為非奇異M-張量和正常數(shù)向量(即每一分量均為正實數(shù))的情形時，已經(jīng)證明張量方程存在唯一正解[2]，并利用張量結(jié)構(gòu)性質(zhì)設(shè)計出許多有效算法用于求此正解[4-5]。但是，許多應(yīng)用問題中的張量方程并不具有M-張量特性，從而需要進一步研究張量方程解的存在性并設(shè)計有效數(shù)值算法來求解。本文專注于研究系數(shù)張量為強H-張量時方程解的非空緊性，為進一步設(shè)計有效算法打下理論基礎(chǔ)。

1 問題描述

考慮如下形式的張量方程問題(簡記為TEs)，即求x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，使得

Axm-1=b

(1)

式中，A=(ai1i2…im)1≤i1,i2,…,im≤n是m階n維實系數(shù)張量(即對任意1≤i1,i2,…,im≤n，均有ai1i2…im∈R)，b=(b1,b2,…,bn)T∈Rn為常數(shù)向量，而Axm-1表示n維向量，其第i分量為

滿足式(1)的x為張量方程的解，其全體記為SOL(A,b)。若SOL(A,0)={0}，則A是非奇異張量，否則A為奇異張量[6]。

B為非負張量(即B中的每一元素均非負)，則A為Z-張量。進一步，若c≥ρ(B)，則A為M-張量；若c>ρ(B)，則A為非奇異M-張量[9]。對給定的A∈Tm,n，M(A)=(mi1i2…im)是張量A的比較張量[9]，其元素為

顯然，對A∈Tm,n，其比較張量M(A)必是Z-張量。基于M-張量和比較張量的概念，有如下H-張量的定義。

定義1[9]設(shè)A∈Tm,n。若M(A)為(非奇異)M-張量，則A為(強)H-張量。

顯然，若A∈Tm,n是(非奇異)M-張量，則A必是(強)H-張量。下列例子說明，反之不成立。

本文首先證明當系數(shù)張量為強H-張量時，齊次張量方程(1)(即常數(shù)向量b=0)只有唯一零解；在此基礎(chǔ)上，利用拓撲度理論證明，當系數(shù)張量為強H-張量和半正定時，非齊次張量方程(即常數(shù)向量b≠0)的解集為非空緊。

2 預備知識

首先介紹若干結(jié)構(gòu)張量的定義和相關(guān)性質(zhì)，然后引進拓撲度的概念及2個著名結(jié)論。

顯然，若A∈Tm,n是嚴格對角占優(yōu)張量，則A必是擬嚴格對角占優(yōu)張量。但下列例子說明，反之不成立。

表明A是擬嚴格對角占優(yōu)張量。

引理1[9]設(shè)A∈Tm,n。則A是強H-張量，當且僅當A是擬嚴格對角占優(yōu)張量。

下面給出2個重要引理。

deg(G,D,y)=deg(F,D,y)，

其中H(t,x)=tG(x)+(1-t)F(x)和0≤t≤1。

引理3[14]設(shè)F:Rn→Rn是連續(xù)函數(shù)，b∈Rn且D是Rn中有界開集，若deg(F,D,b)≠0，則F(x)=b在D上必有一解。

在給出使得deg(G,Br,0)≠0(其中G(x)=Axm-1，A∈Tm,n,m≥3)成立的一個充分條件前，先引入如下定義。

定義4[12]設(shè)A∈Tm,n。若存在λ∈R和x∈Rn，使得

則λ為A的Z特征值，x為A的對應(yīng)于λ的Z特征向量。

條件1設(shè)A∈Tm,n，A所有的Z特征值為正。

下面的例子表明，滿足條件1的張量A是存在的。

(2)

3 解集的非空緊性

本節(jié)討論系數(shù)張量為強H-張量時，式(1)解集的非空緊性。首先討論b=0的情形。

引理4設(shè)A∈Tm,n。若A為嚴格對角占優(yōu)張量，則A為非奇異張量。

定理1設(shè)A∈Tm,n。若A為強H-張量，則A為非奇異張量。

(3)

其次討論b≠0的情形。先給出如下命題。

命題1設(shè)A∈Tm,n。若A為半正定的強H-張量，則A滿足條件1。

下面的例子表明，半正定的強H-張量存在，且未必是正定的(而m=2時，半正定的強H-矩陣必是正定的)。

(4)

給出主要定理，它表明在系數(shù)張量為半正定強H-張量的條件下，張量方程的解集是非空緊的。

定理3設(shè)A∈Tm,n。若A為半正定的強H-張量，則對任意b∈Rn，SOL(A,b)是非空緊集。

H(t,x)=tG(x)+(1-t)P(x)，?(t,x)∈[0,1]×?Br

分情況討論：(a)若存在r>0，使得對任意(t,x)∈[0,1]×?Br，都有H(t,x)≠0，則由引理2知，deg(P,Br,0)=deg(G,Br,0)≠0。從而由引理3知，Axm-1=b在Br內(nèi)必有一解。(b)若對任意r>0，存在(tr,xr)∈[0,1]×?Br，使得H(tr,xr)=0，即

(5)

μrA(xr)m-1=b

(6)

(7)

(8)

4 結(jié)束語

張量方程是值得研究的新問題。本文簡要討論了幾類結(jié)構(gòu)張量之間的關(guān)系。當張量方程中的系數(shù)張量為強H-張量時，證明了齊次張量方程只有唯一零解。在此基礎(chǔ)上，進一步證明了系數(shù)張量為半正定的強H-張量時，非齊次張量方程解集是非空緊的。然而，因半正定張量必定是偶數(shù)階的，所以本文定理3的結(jié)論僅在偶數(shù)階情形時成立。人們自然會問：當張量階數(shù)為奇數(shù)時，張量方程(1)解的存在性質(zhì)如何？又當張量階數(shù)為偶數(shù)時，定理3中的半正定性條件可否刪除？這些均是值得進一步研究的問題。