二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)在初中教學(xué)中的幾點思考

陳悅

[摘? 要] 文章結(jié)合2019年福建中考數(shù)學(xué)的第10題、第25題進(jìn)行分析，分享在初中數(shù)學(xué)中教學(xué)二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的幾點經(jīng)驗：培養(yǎng)學(xué)生動手作圖能力;密切聯(lián)系其他數(shù)學(xué)知識;注重滲透數(shù)學(xué)思想;合理利用信息技術(shù).

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù)的圖像及性質(zhì);初中教學(xué);數(shù)學(xué)思想

問題背景

從2017年福建省開始全省統(tǒng)一中考命題以后，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)就是考查的熱點內(nèi)容之一，而且往往會與其他數(shù)學(xué)知識點結(jié)合起來，考查學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的綜合能力，對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求比較高. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提到，會用描點法畫出二次函數(shù)的圖像，通過圖像了解二次函數(shù)的性質(zhì). 初中階段學(xué)生所習(xí)得的二次函數(shù)的概念，將為高中階段進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)做鋪墊. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中提到，用函數(shù)觀點理解方程和不等式是數(shù)學(xué)的基本思想方法. 借助二次函數(shù)的圖像，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系. 二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的學(xué)習(xí)，如果能夠讓學(xué)生感悟到這些知識與技能背后更為本質(zhì)的東西，將對學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想產(chǎn)生積極的意義.

案例分析

例題1? （2019福建中考第10題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過A（m，n），B（0，y■），C（3-m，n），D（■，y■），E（2，y■）五點，則y■，y■，y■的大小關(guān)系是（? ? ?？搖）

A. y■

C. y■

評析? 本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)、二次函數(shù)的對稱軸以及軸對稱的性質(zhì). 因為二次函數(shù)的關(guān)系式中a是大于0的，所以函數(shù)的開口方向向上. 但僅憑借這個條件還不能大致確定出函數(shù)的圖像，所以我們需要從題目給的五個坐標(biāo)入手. 本題要比較的是點B，D，E的縱坐標(biāo)，這三個點的橫坐標(biāo)是已知的. 其中，A，C兩點的橫、縱坐標(biāo)都是用字母表示. 仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)A，C兩點的縱坐標(biāo)是相同的，都等于n. 所以我們可以得出一個重要的結(jié)論，即這兩個點在二次函數(shù)的圖像中是關(guān)于對稱軸成軸對稱的. 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，這兩個點的橫坐標(biāo)到對稱軸的距離相等，即可得到：x=■=■，從而得出二次函數(shù)的對稱軸x=■，此時就可以畫出二次函數(shù)的大致圖像了. 利用幾何畫板去模擬出這個函數(shù)的圖像，如圖1所示. 把B，D，E三點的橫坐標(biāo)輸入，就可以把這三個點直接在函數(shù)圖像中表示出來了. 通過觀察圖像，可以很容易發(fā)現(xiàn)B點的縱坐標(biāo)大于E點的縱坐標(biāo)大于D點的縱坐標(biāo)，即可得出：y2

觀察這個題目，我們可以發(fā)現(xiàn)其中所滲透的數(shù)學(xué)思想是很豐富的. 處理這個題目的關(guān)鍵是確定出二次函數(shù)的對稱軸，并借助二次函數(shù)的圖像來比較B，D，E三點的縱坐標(biāo)，是把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來進(jìn)行解決，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），可以借助二次項系數(shù)的正負(fù)判斷二次函數(shù)圖像的開口方向，當(dāng)a>0？圳開口向上;當(dāng)a<0？圳開口向下. 因為a>0，所以開口向上，體現(xiàn)了分類的數(shù)學(xué)思想. 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和精髓，教師在教學(xué)中應(yīng)該盡力反映和體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生了解和體會數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例題2? （2019福建中考第25題）已知拋物線y=ax2+bx+c（b<0）與x軸只有一個公共點.

（1）若拋物線與x軸的公共點坐標(biāo)為（2，0），求a，c滿足的關(guān)系式;

（2）設(shè)A為拋物線上的一定點，直線l：y=kx+1-k與拋物線交于點B，C，直線BD垂直于直線y=-1，垂足為點D.當(dāng)k=0時，直線l與拋物線的一個交點在y軸上，且△ABC為等腰直角三角形.

①求點A的坐標(biāo)和拋物線的解析式;

②證明：對于每個給定的實數(shù)k，都有A，D，C三點共線.

評析? 本題是一道代數(shù)與幾何綜合的問題，主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點式，軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，綜合考查學(xué)生對初中階段函數(shù)方面的基礎(chǔ)知識的掌握水平. 要求學(xué)生對二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖像有比較深刻的領(lǐng)悟，要能夠把相關(guān)的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號，并利用函數(shù)的圖像對其中所包含的圖形元素進(jìn)行分析.

本題的第（1）問，已知拋物線與x軸的公共點只有一個，交點坐標(biāo)（2，0），可以推出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（2，0）. 可以代入二次函數(shù)的頂點式，得到y(tǒng)=a（x-2）2=ax2-4ax+4a，所以c=4a.

本題第（2）問的①小問要求點A的坐標(biāo)和拋物線的解析式. 已知直線l的解析式y(tǒng)=kx+1-k可以變形為y=k（x-1）+1，會過定點（1，1）. 當(dāng)k=0時，直線l變?yōu)閥=1，平行于x軸，與y軸的交點為（0，1）. 因為（0，1）也是拋物線上的一點，所以c=1. 又因為△ABC為等腰直角三角形，且A，B，C三點都在拋物線上，由于二次函數(shù)的圖像具有對稱性，所以點A為拋物線的頂點. 因為c=1，所以頂點坐標(biāo)為A（1，0）. 設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）2，把（0，1）代入解析式可得a=1，拋物線的解析式：y=x2-2x+1.

本題第（2）問的②小問要求證明A，D，C三點共線，這個問題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì). 這個題目的難度較大，首先本題沒有配圖，需要學(xué)生自己動手作出函數(shù)的圖像;其次對學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力要求比較高，要能夠把相關(guān)的數(shù)學(xué)元素經(jīng)過理解、表征之后呈現(xiàn)出來;最后，要能夠借助函數(shù)的圖像，把幾何問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的代數(shù)問題進(jìn)行解決. 因為直線l與拋物線相交于B，C兩點，可以聯(lián)立方程組，解得點B橫坐標(biāo)：x■=■（2+k-■），點C的橫坐標(biāo)：x■=■（2+k+■）. 因為點C在一次函數(shù)的圖像上，代入后可以得到點C的坐標(biāo)為1+■，1+■，畫出函數(shù)的大致圖像之后，如圖2所示，可以觀察得到，直線BD垂直于直線y=-1，點B和D的橫坐標(biāo)相同，點D的縱坐標(biāo)為-1，所以D1+■，-1. 已求得A（1，0），可以得到k■=■=■，同理可得k■=■，所以k■=k■，點A，C，D三點共線.

在初中教學(xué)的具體實踐

1. 在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的動手作圖能力

在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的教學(xué)中，教師應(yīng)該充分給學(xué)生動手作圖的時間，讓學(xué)生掌握描點法的基本步驟. 教師應(yīng)通過創(chuàng)設(shè)具有實際背景的問題，讓學(xué)生在理解兩個變量的基礎(chǔ)之上，通過列表、計算、描點等過程，畫出二次函數(shù)的大致圖像. 動手作圖是一種數(shù)學(xué)實踐活動，也是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的重要方法. 學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動的過程中，不僅僅能夠促進(jìn)其對二次函數(shù)的掌握，還可以幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗.

2. 在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的教學(xué)中密切聯(lián)系其他數(shù)學(xué)知識

在初中階段，對二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的學(xué)習(xí)是基于笛卡兒坐標(biāo)系進(jìn)行的，其實質(zhì)就是把一些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題. 在問題轉(zhuǎn)化的過程中，往往需要借助到其他的數(shù)學(xué)知識，同時它并不是單一的數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，可能涉及多種數(shù)學(xué)方法，因此對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求比較高. 另一方面，在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的學(xué)習(xí)中就需要用到其他的數(shù)學(xué)知識. 例如，在研究二次函數(shù)軸對稱性的時候，就需要用到軸對稱的性質(zhì).

3. 在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)教學(xué)中應(yīng)注重滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和文化在更高層次上的抽象與概括. 在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)教學(xué)中，我們也可以充分挖掘其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在教學(xué)實踐活動中，通過獨立思考，動手操作，合作交流，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)思想. 特別是二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)所蘊含的函數(shù)思想，可以說是為高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)做了很重要的鋪墊. 依據(jù)解析式可以描繪出圖像，從圖像特征又可以讀出函數(shù)的形態(tài)結(jié)構(gòu). 解決問題時，更重要的是利用函數(shù)的形態(tài)結(jié)構(gòu)，量化地處理問題. 因此，函數(shù)形態(tài)結(jié)構(gòu)的架構(gòu)在初中階段可以慢慢滲透，為高中的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

4. 在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)教學(xué)中合理運用信息技術(shù)

在二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)教學(xué)中，合理地利用信息技術(shù)進(jìn)行輔助教學(xué)，可以幫助學(xué)生直觀地獲取數(shù)學(xué)知識，也有助于提高學(xué)生的課堂效率. 比如，在研究二次函數(shù)的增減性時，可以結(jié)合幾何畫板動態(tài)模擬兩個變量之間的變化情況，這樣將幫助學(xué)生更加直觀地感受二次函數(shù)的增減性. 又比如，在探究二次項系數(shù)a與二次函數(shù)圖像的開口大小時，如果能夠結(jié)合幾何畫板，學(xué)生就能更有效地、更快速地去理解它們之間的關(guān)系，這也有助于提高課堂效率.